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Econometria Aula 2 – 20/9/2013 1. Exemplo da técnica MQO 2. Hipóteses do Modelo de RLM 3. Ajuste do Modelo 4. Modelo Restrito.

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1 Econometria Aula 2 – 20/9/ Exemplo da técnica MQO 2. Hipóteses do Modelo de RLM 3. Ajuste do Modelo 4. Modelo Restrito

2 Econometria 1. Exemplo da técnica MQO

3 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 MQO

4 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 MQO

5 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Resíduos

6 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Resíduos MQO

7 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 MQO M = I- X(X’X) -1 X’

8 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 MQO

9 Econometria 1. Exemplo da técnica MQO Modelo de Regressão Linear Múltipla

10 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 O Modelo  Utilizado para estudar a relação entre uma variável dependente e uma ou mais variáveis independentes.  Forma genérica do modelo de regressão linear: y = f(x 1,x 2,…,x K,  1,  2,…  K ) + ε = x 1  1 + x 2  2 + … + x K  K + ε  f(x 1,x 2,…,x K,  1,  2,…  K ) é a equação de regressão populacional de y em x 1,x 2,…,x K.  Y é o regressando  x 1,x 2,…,x K regressores ou controles  ε é o distúrbio aleatório

11 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Exemplo  Função de consumo keynesiana  Não existe uma relação determinística entre consumo e renda.  C = f(X, ε)  Onde ε é o elemento estocástico  Como incorporar este elemento estocástico ao modelo? De forma aditiva:  C = α + βX + ε  Contrapartida empírica do modelo teórico de Keynes.

12 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Exemplo

13 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Exemplo  A reta do gráfico anterior é distorcida pelo racionamento do período de guerra.  Especificação mais apropriada: acomodar a natureza estocástica do dado e as circunstâncias especiais dos anos  Dummy que identifica este período

14 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Estimando o modelo de consumo Variável dependente Consumo(1)(2) mqo1mqo2 Renda0.685**0.858*** (0.249)(0.0853) Dummy anos de Guerra-50.69*** (5.932) Constant (80.84)(27.30) Observations11 R-squared Standard errors in parentheses *** p<0.01, ** p<0.05, * p<0.1

15 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Hipóteses do modelo A.1. Linearidade significa ser linear nos parâmetros. A.2. Identificação: Só existe um único conjunto de parâmetros que produz E[y|x]. A.3. Média condicional zero A.4. Forma da matriz de variância covariância A.5. Geração dos dados A.6. Hipóteses sobre a distribuição de probabilidade.

16 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Linearidade do Modelo  f(x 1,x 2,…,x K,  1,  2,…  K ) = x 1  1 + x 2  2 + … + x K  K  Notação: x 1  1 + x 2  2 + … + x K  K = x .  E[y|x] =  1 *1 +  2 *x 2 + … +  K *x K. (  1 *1 = intercepto).

17 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Linearidade  Modelo linear simples, E[y|x]=x’β  Modelo Quadrático: E[y|x]= α + β 1 x + β 2 x 2  Modelo Loglinear, E[lny|lnx]= α + Σ k lnx k β k  Modelo Semilog, E[y|x]= α + Σ k lnx k β k  Modelo Translog: E[lny|lnx]= α + Σ k lnx k β k + (1/2) Σ k Σ l δ kl lnx k lnx l Todos modelos são lineares e existe um infinito número de variações de modelos lineares.

18 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Linearidade  Linearidade significa ser linear nos parâmetros, não nas variáveis  E[y|x] =  1 f 1 (…) +  2 f 2 (…) + … +  K f K (…). f k () pode ser qq função dos dados.  Exemplos:  Logs  Variáveis Dummy  Funções quadráticas, interações, etc.

19 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Unicidade da média condicional A relação da média condicional pode ser válida para qualquer conjunto de n observações, i = 1,…,n. Se n  K E[y 1 |x] = x 1  E[y 2 |x] = x 2  … E[y n |x] = x n  Para todas n observações temos que : E[y|X] = X  = E .

20 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Unicidade de E[y|X] Suponha que exista um    que produz o mesmo valor esperado, E[y|X] = X  = E . Se  =  - . Temos que: X  = X  - X  = E  - E  = 0. Isto é possível? X é uma matriz n  K. O que significa X  = 0? Por hipótese, isto não é possível. Hipótese de ‘posto cheio’ – hipótese de ‘identificação’. Podemos ‘estimar’  com n  K.

21 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Dependência Linear  Exemplo: x = [i, renda não trabalho, renda do trabalho, renda total] Não existe dependência linear: Nenhuma variável pode ser escrita como uma função linear de outras variáveis do modelo. Condição de identificação. A teoria não necessariamente elimina a possibilidade de dependência linear, contudo, é importante para fazer a estimação possível. y =  1 +  2 N +  3 S +  4 T + , onde T = N+S. y =  1 + (  2 +a)N + (  3 +a)S + (  4 -a)T +  para qualquer a, =  1 +  2 N +  3 S +  4 T + .  O que está sendo estimado…?  Não eliminamos a possibilidade de dependência não linear. Ex: x e x 2.

22 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Média condicional zero O y observado é igual a E[y|x] + variável aleatória. y = E[y|x] +  (distúrbio)  Existe alguma informação sobre  em x? Ou seja, algum movimento em x dá informação sobre  ? Caso sim, não especificamos corretamente a média condicional, a função ‘E[y|x]’ não é a média condicional (não é a regressão populacional)  Existe informação sobre  em outras variáveis. Se E[  |x]  0 segue que Cov[ ,x]  0.  Violação da hipótese de ‘independência’

23 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Média condicional zero  E[  |todos dados em X] = 0  E[  |X] = 0 é mais forte que E[  i | x i ] = 0  O segundo diz que o conhecimento de x i não dá nenhuma informação sobre a média de  i.  O primeiro diz que nenhum x j dá informação sobre o valor esperado de  I.  “nenhuma informação” é similar a nenhuma correlação.

24 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Homocedasticidade e não Autocorrelação  Var[  |X] =  2 I.  Var[  ] =  2 I? Prova: Var[  ] = E[Var[  |X]] + Var[E[  |X]].

25 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Distribuição Normal de ε  Usada para facilitar as derivações de estatísticas de testes em amostras finitas.  Derivação das distribuições exatas das estatísticas t, F.

26 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 O Modelo Linear  y = X  +ε, N observações, K colunas em X, incluindo a coluna de um.  Hipóteses sobre X  Hipóteses sobre ε|X  E[ε|X]=0, E[ε]=0 and Cov[ε,x]=0  Regressão?  Se E[y|X] = X   Aproximação: projeção linear.

27 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009

28 Ajuste da Regressão  “Variação:” No contexto do “modelo”, significa a variação de uma variável como resultado do movimento de outra variável  Variação total = yM 0 y =  M 0 = I – i(i’i) -1 i’ = transforma uma matriz em desvios com relação a média.

29 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Decomposição da Variação de y Decomposição: y = Xb + e M 0 y = M 0 Xb + M 0 e = M 0 Xb + e. (Desvios com relação à média. M 0 e = e ) yM 0 y = b(X’ M 0 )(M 0 X)b + ee = bXM 0 Xb + ee. (e’ M 0 X = e’X = 0.) Uma das colunas de X é i. Soma quadrado total = Soma quadrado da regressão (SSR)+Soma quadrado dos resíduos (SSE)

30 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Medida de ajuste R 2 = bXM 0 Xb/yM 0 y = R 2 é limitado a zero e um sss: (a) Existe um termo constante em X e (b) O método utilizado é o MQO.

31 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Adicionando variáveis  R 2 nunca é reduzido quando uma variável z é adicionada na regressão:

32 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Adicionando variáveis ao modelo

33 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Adicionando variáveis ao modelo

34 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 R 2 ajustado = 1 - [(n-1)/(n-K)](1 - R 2 )  inclui uma penalidade para variáveis que não acrescentam muito ao ajuste do modelo. Pode cair quando uma variável é incluída no modelo.

35 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 R 2 ajustado O que está sendo ajustado? Penalidade por estar inserindo mais variáveis explicativas. = 1 - [ee/(n – K)]/[yM 0 y/(n-1)] = 1 – [(n-1)/(n-K)(1 – R 2 )]

36 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Transformações lineares dos dados  Como uma transformação linear pode afetar os resultados derivados do MQO?  Com base em X, b = (XX) -1 X’y.  Os coeficientes de y regredido em Z são c = P -1 b  “Valor predito” é Zc = XPP -1 b = Xb. O mesmo!!  Resíduos: y - Zc = y - Xb. Os mesmos!!  Soma quadrado dos resíduos – idêntica y-Xb = e = y-Zc.  R 2 será igual pois R 2 = 1 - ee/y’M 0 y (!!).

37 Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009 Transformação Linear  Xb é a projeção de y no espaço coluna de X. Zc é a projeção de y no espaço coluna de Z. Mas, como as colunas de Z são simplesmente combinações linearers das de X, o espaço coluna de Z deve ser idêntico ao de X. Consequentemente, a projeção de y em Z será igual a em X.  Quais implicações práticas deste resultado?  Transformação não afeta o ajuste do modelo.  Transformação afeta as “estimativas.” Se b é uma estimativa de , c não pode ser a estimativa de  - será a estimativa de P -1 .


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