Demontrações Do Teorema de Pitágoras

Apresentação em tema: "Demontrações Do Teorema de Pitágoras"— Transcrição da apresentação:

1 Demontrações Do Teorema de Pitágoras
Acção de Formação em Power point, CNED 2002

2 Teorema: Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos.

3 Prova 1 Comecemos por construir quadrados sobre os lados do triângulo. E consideremos as suas áreas Como se pode observar e...

4 Prova 2 Comecemos construindo a figura.
                                              Posso agora construir na figura dois triângulos com catetos a e b. Transformando a figura facilmente sai o resultado

5 c2 = (a-b)2+2ab = a2-2ab+b2+2ab = a2+b2
Prova 3 Comecemos por considerar quatro triângulos iguais de área ab/2 Rodando três dos triângulos obtém-se a figura O quadrado central tem de lado (a-b). Somando a sua área (a-b)2 com 2ab (área dos quatro triângulos) vem: c2 = (a-b)2+2ab = a2-2ab+b2+2ab = a2+b2

6 Prova 4 Considerando novamente os triângulos anteriores
Dando-lhes a disposição. Facilmente vem que: (a+b)2=4·ab/2+c2 Ou seja a2 +b2=c2

7 Igualando as áreas sai o resultado
Prova 5 Dando um novo arranjo à figura Área= Área= Igualando as áreas sai o resultado

8 Prova 6 Curiosamente,descoberta por J.A Garfield, presidente dos EUA em 1876 Considere-se a figura: A área do trapésio é (a+b)/2·(a+b). Que é igual ab/2 + ab/2 + c·c/2, a soma das áreas dos três triângulos. Fazendo (a+b)/2·(a+b)= ab/2 + ab/2 + c·c/2 resulta que a2 +b2=c2

9 Prova 7 Comecemos por considerar a figura:
Observe-se que os triângulos ABC, BDA e ADC são semelhantes. Assim: AB/BC=BD/AB e AC/BC=DC/AC. ou seja: AB·AB=BD·BC e AC·AC=DC·BC . Somando as expressões vem: AB·AB+AC·AC=BD·BC+DC·BC=(BD+DC)·BC=BC·BC. O que prova o Teorema.

10 O que provará o resultado
Demonstração atribuída a Leonardo da Vinci ( ) Prova 8 Note-se que os quadriláteros ABHI, JHBC, ADGC e EDGF são iguais. Observe-se que o ângulo ABH mede 45º... área(ABHI)+área(JHBC)=área(ADGC)+área(EDGF) Cada uma das somas contém a área de dois triângulos iguais a ABC O que provará o resultado

11 Prova 9 Observe-se na igualdade dos triângulos ABC, FLC, FMC, BED, AGH e FGE Por um lado: área(ABDFH)= AC2 + BC2 + área( ABC +  FMC +  FLC). Por outro área(ABDFH) = AB2 + área( BED +  FGE +  AGH). Donde sai agora o resultado facilmente.

12 Agora que várias demonstrações foram de apresentadas
Fica um desafio... Encontrem outra possível demonstração...