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Acção de Formação em Power point, CNED 2002 Demontrações Do Teorema de Pitágoras.

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1 Acção de Formação em Power point, CNED 2002 Demontrações Do Teorema de Pitágoras

2 Teorema: Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos.

3 Comecemos por construir quadrados sobre os lados do triângulo. E consideremos as suas áreas Prova 1 Como se pode observar e...

4 Comecemos construindo a figura. Posso agora construir na figura dois triângulos com catetos a e b. Transformando a figura facilmente sai o resultado Prova 2

5 Comecemos por considerar quatro triângulos iguais de área ab/2 Rodando três dos triângulos obtém-se a figura O quadrado central tem de lado (a-b). Somando a sua área (a-b) 2 com 2ab (área dos quatro triângulos) vem: c 2 = (a-b) 2 +2ab = a 2 -2ab+b 2 +2ab = a 2 +b 2 Prova 3

6 Considerando novamente os triângulos anteriores Dando-lhes a disposição. Facilmente vem que: (a+b) 2 =4·ab/2+c 2 Ou seja a 2 +b 2 =c 2 Prova 4

7 Área= Dando um novo arranjo à figura Igualando as áreas sai o resultado Prova 5

8 Considere-se a figura: A área do trapésio é (a+b)/2·(a+b). Que é igual ab/2 + ab/2 + c·c/2, a soma das áreas dos três triângulos. Fazendo (a+b)/2·(a+b)= ab/2 + ab/2 + c·c/2 resulta que a 2 +b 2 =c 2 Prova 6 Curiosamente,descoberta por J.A Garfield, presidente dos EUA em 1876

9 Comecemos por considerar a figura: Observe-se que os triângulos ABC, BDA e ADC são semelhantes. Assim: AB/BC=BD/AB e AC/BC=DC/AC. ou seja: AB·AB=BD·BC e AC·AC=DC·BC. Somando as expressões vem: AB·AB+AC·AC=BD·BC+DC·BC=(BD+DC)·BC=BC·BC. O que prova o Teorema. Prova 7

10 Note-se que os quadriláteros ABHI, JHBC, ADGC e EDGF são iguais. Observe-se que o ângulo ABH mede 45º... área(ABHI)+área(JHBC)=área(ADGC)+área(EDGF) Cada uma das somas contém a área de dois triângulos iguais a ABC Prova 8 Demonstração atribuída a Leonardo da Vinci ( ) O que provará o resultado

11 Observe-se na igualdade dos triângulos ABC, FLC, FMC, BED, AGH e FGE Por um lado: área(ABDFH)= AC 2 + BC 2 + área( ABC + FMC + FLC). Por outro área(ABDFH) = AB 2 + área( BED + FGE + AGH). Donde sai agora o resultado facilmente. Prova 9

12 Agora que várias demonstrações foram de apresentadas Fica um desafio... Encontrem outra possível demonstração...


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