Moda É o valor de maior freqüência em um conjunto de dados.

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1 Moda É o valor de maior freqüência em um conjunto de dados.
Notação: A moda será denotada por mo. CÁLCULO DE MODA 1º CASO) Dados Brutos ou Rol Basta indicar o elemento de maior freqüência. Exemplos : 1. X: 2, 8, 3 ,5 ,4 ,5, 3, 5, 5, 1 O elemento de maior freqüência é 5. Portanto, mo=5. É uma seqüência unimodal. 2. X: 6, 10, 5, 6, 10, 2

2 Esta freqüência apresenta o elemento 6 e o elemento 10 como elementos de maior freqüência. Portanto, mo=6 e mo=10. É uma seqüência bimodal. Poderemos encontrar seqüências trimodais, tetramodais e assim sucessivamente. Estas seqüências serão chamadas de forma genérica por seqüências polimodais. 3. X: 2, 2, 5, 8, 5, 8 Observe que todos os elementos da série apresentam a mesma freqüência. Nesta situação, não há um elemento que se destaque pela maior freqüência, e diremos que a série é amodal. 2º CASO) Variável discreta Este caso é ainda mais simples. Note que na apresentação da variável discreta, as freqüências já estão computadas na segunda coluna. Basta identificar o elemento de maior freqüência.

3 Exemplos : 1. A maior freqüência observada na segunda coluna é 8 e corresponde ao elemento 3 da série. Portanto é, uma série unimodal com mo=3. 2.

4 A maior freqüência observada na segunda coluna é 5 e corresponde aos valores 2 e 4. Portanto é, uma série bimodal com mo=2 e mo=4. 3. Observe que todos os elementos da série possuem a mesma freqüência. Portanto, a série é amodal. 2º CASO) Variável contínua Para determinar a moda de uma variável contínua, podemos optar por vários processos. Daremos destaque para a moda de Pearson, a moda de King e a moda de Czuber.

5 1º Processo: MODA DE PEARSON
Segundo PEARSON, a moda de uma variável contínua pode ser obtida através do valor da média e da mediana. Exemplo: Calcule a moda de Pearson para a distribuição de freqüência.

6 Solução: Cálculo da média:
fi= xifi=270 Cálculo da mediana:

7 n=12  n = 12 = 6 A mediana corresponde ao sexto elemento da série. O sexto elemento da série está na terceira classe. Esta é a classe mediana. A mediana vale:

8 Conseqüentemente : Note que a moda está situada na terceira classe que é a classe de maior freqüência da série. A classe de maior freqüência será chamada de classe modal. 2º Processo: MODA DE KING King levou em consideração, em sua fórmula, a freqüência simples da classe anterior e a freqüência simples da classe posterior à classe modal. Onde :

9 Imo - limite inferior da classe modal
fpost- freqüência simples da classe posterior à classe modal fant - freqüência simples da classe anterior à classe modal h - amplitude do intervalo de classe Exemplo: Calcule a moda de King para a distribuição: Solução: A classe modal é a de maior freqüência, portanto, é a terceira classe e a moda vale: Interpretação: 24 é o valor mais freqüente nesta distribuição

10 3º Processo: MODA DE CZUBER
CZUBER levou em consideração, em sua fórmula a freqüência simples da classe anterior, a freqüência simples da classe posterior, além da freqüência simples da classe modal. É, portanto, uma fórmula mais completa que a fórmula de King. Onde: Imo - limite inferior da classe modal fmo - freqüência simples da classe modal fant - freqüência simples da classe anterior à classe modal fpost- freqüência simples da classe posterior à classe modal h - amplitude do intervalo de classe

11 Exemplo: Calcule a moda de Czuber para a distribuição:
Solução: A classe modal é a terceira classe, portanto, a moda vale: Interpretação: 24,29 é o valor mais freqüente nesta distribuição

12 A fórmula de King é a mais simples delas, mas não é a mais precisa.
Comentário: A fórmula de Pearson tem normalmente interesse teórico. Se não dispusermos da média e da mediana da distribuição, a fórmula de Pearson é a mais trabalhosa. A fórmula de King é a mais simples delas, mas não é a mais precisa. A fórmula de Czuber é a mais precisa que a fórmula de King, pois leva também em consideração a freqüência da classe modal. Observe que no exemplo utilizado o cálculo da moda pelos três processos determinou três valores diferentes. É claro que os três valores obtidos são valores aproximados do verdadeiro valor da moda. Normalmente o mais confiável é o valor da moda de Czuber. As fórmulas de King e Czuber podem ser justificadas, de modo semelhante, com o histograma da distribuição. Solução: A classe modal é a terceira classe, portanto, a moda vale: Interpretação: 24,29 é o valor mais freqüente nesta distribuição

13 a) Fórmula de King Identifica-se a classe modal como sendo a de maior altura (freqüência) e caracteriza-se o seu limite inferior Imo e seu limite superior Lmo. Projeta-se a freqüência da classe posterior na reta represen-tativa da freqüência da classe anterior obtendo-se o ponto A. Em seguida projeta-se a partir do Lmo, no sentido vertical, uma distância igual à freqüência da classe anterior obtendo o ponto B. fi fant fpost Int.cl. Imo Lmo A C D P x h-x B

14 O segmento de reta unindo os pontos A e B intercepta o eixo horizontal no ponto P, que identifica-se como sendo a moda da distribuição. A amplitude do intervalo de classe é h e está dividida em duas partes. Se chamarmos a primeira parte de x, então a segunda parte será h-x. Assim, observando a figura concluímos que: Como os triângulos ACP e PDB são semelhantes (A,A,A) os lados são proporcionais. Então, Usando propriedades das proporções, podemos afirmar:

15 Ou de onde conclui-se que: Lembrando que AC = fpost e que DB = fant, obtém-se: Substituindo o valor de x na expressão mo=Imo + x obtém-se:

16 b) Fórmula de Czuber Identifica-se a classe modal e caracteriza-se o seu limite inferior Imo e seu limite superior Lmo. Unindo-se os pontos A e D e os pontos B e C, os segmentos de reta determinados se interceptam no ponto P. Em seguida projeta-se verticalmente este ponto no eixo horizontal obtendo o ponto M, que identifica-se como sendo a moda da distribuição. fi Int.cl. Imo A C F M x h-x P B D E x h-x Lmo

17 A amplitude do intervalo de classe é h e está dividida em duas partes
A amplitude do intervalo de classe é h e está dividida em duas partes. Se chamarmos e primeira parte de x, então a segunda parte será h-x. Estes valores correspondem às alturas dos triângulos ABP e CDP respect6ivamente. Como estes triângulos são semelhantes (A, A, A), os lados e as alturas são proporcionais. Então: Usando a propriedade das proporções, podemos afirmar: ou de onde se conclui que:

18 Lembrando que AB = AE - BE = fmo - fant e que CD = CF - DF = fmo - fpost, obtém-se:
Como a moda é identificada como sendo o ponto M da figura, podemos afirmar que: Substituindo o valor de x obtido anteriormente nesta expressão, a moda fica escrita: Observação: Se a classe modal for a primeira classe, então fant = 0 e se a classe modal for a última então fpost = 0.

19 Utilização das Medidas de Tendência Central
Na maioria das situações, não necessitamos calcular as três medidas de tendência central. Normalmente precisamos de apenas uma das medidas para caracterizar o centro da série. Surge, então, a questão: qual medida deve ser utilizada? A medida ideal para cada caso é aquela que melhor representa a maioria dos dados da série. Quando todos os dados de uma série estatística são iguais, a média, a mediana e a moda coincidirão com este valor e, portanto qualquer uma delas representará bem a série. No entanto, este caso dificilmente ocorrerá na prática. Na maioria das vezes, teremos valores diferenciados para a série e conseqüentemente a medida irá representar bem, apenas os dados da série que se situam próximos a este valor. Os dados muito afastados em relação ao valor da medida não serão bem representados por ela.

20 Desta forma, se uma série apresenta forte concentração de dados em sua área central, a média, a mediana e a moda ficam também situadas em sua área central representando bem a série como na figura a. Como a mais conhecida é a média, optamos por esta medida de tendência central. Concluindo, devemos optar pela média, quando houver forte concentração de dados na área central da série. a) x

21 Se uma série apresenta forte concentração de dados em seu início, a mediana e a moda estarão posicionadas mais no início da série, representando bem esta concentração. A moda que é fortemente afetada por alguns valores posicionados no final da série se deslocará para a direita desta concentração não a representando bem. Como a mais conhecida entre mediana e moda é a mediana, esta será a medida indicada neste caso. A mesma situação ocorre se a série apresenta forte concentração de dados em seu final. Concluindo, devemos optar pela mediana, quando houver forte concentração de dados no início ou no final da série. A moda deve ser a opção como medida de tendência central apenas em séries que apresentam em elemento típico, isto é, um valor cuja freqüência é muito superior à freqüência dos outros elementos da série.