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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA LABORATÓRIO DE ENSINO - 2 Desenvolvido por: Cristiano De Angelis.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA LABORATÓRIO DE ENSINO - 2 Desenvolvido por: Cristiano De Angelis

2 1 - INTRODUÇÃO É comum, no nosso dia-a-dia, nos depararmos com situações nas quais precisamos rever o passado, trabalhar com o presente e prever o futuro. No caso da Matemática, que é o nosso instrumento de trabalho neste momento, fazemos estas atividades por meio de cálculos. Quem nunca calculou o quanto pagará em uma prestação? E se ocorrerem aumentos progressivos? Vejamos um exemplo:

3 1) Pagamos uma prestação de R$ 500,00 mensais. Se a prestação aumenta 50 reais a cada mês, qual será o seu valor ao final de 2 anos? 2) E se quiséssemos calcular o quanto pagamos no total, somando todos os meses?

4 Estas duas perguntas, com certeza, tem uma solução viável até por meios práticos. Mas se a prestação fosse 501,23 e o aumento mensal 51,88? Iríamos fazer da mesma forma? Poderíamos ficar uma tarde somando e, ao final, existiria grande chances de ocorreu algum errinho.

5 Questões como estas são comuns na nossa vida. E as provas, sobretudo os vestibulares, exploram estas questões, porém, de forma mais sofisticada. Vejamos os casos:

6 Em todas as questões, temos uma situação inicial: ACRESCENTANDO ALGUMA COISA, TEREMOS: ACRESCENTANDO NOVAMENTE ESSA MESMA COISA, TEREMOS: E ASSIM SUCESSIVAMENTE.

7 Mas e daí?

8 Parece engraçado, mas este simples joginho provoca verdadeiros estragos. Vejamos alguns:

9 A nossa situação inicial ( ), chamamos de “primeira situação”, ou “situação 1”, ou “termo inicial”, ou, etc. A fim de padronizar este nome, que tal chamarmos de a1!!!! Ora, se a primeira é a1, qual será a segunda? Muito Bem, a2. E assim por diante, a3, a4, a5, etc..., até o último. Como chamaremos o último termo? “A último”, ou “an”.

10 Vamos, agora, estabelecer relações: a 1 a2 = a3 = a1 + 1 ACRÉSCIMO a1 + 2 ACRÉSCIMOS

11 Então: a2 = a1 + 1 acréscimo a3 = a1 + 2 acréscimos a4 = a1 + 3 Acréscimos a10 = a1 + 9 acréscimos a100 = a acréscimos... an = a1 + (n-1) acréscimos

12 Vamos chamar acréscimos de RAZÃO ACRESCIDA, ou simplesmente razão. Abreviamos razão pela letra R.

13 Chegamos, então até a primeira fórmula importante desta aula an = a1 + (n-1).r de onde concluímos, também an = a2 + (n-2).r an = a3 + (n-3).r... Chamaremos esta situação de Progressão Aritmética, ou simplesmente P. A, onde : an = último termo da P.A a1 = primeiro termo da P.A n = nº de termos da P.A, indicado também pelo an.

14 Uma outra consideração importante sobre p.a, ainda ~e que, em qualquer p.ª, é que, um número menos o seu antecessor, é igual ao antecessor menos o antecessor seguinte, e assim por diante, ou seja, a6 - a5 = a5 - a4 = a4 - a3 =... = r

15 Como resolver os exercícios!!!! a) São dados duas variáveis de uma p.ª e é pedida a outra, diretamente com a fórmula conhecida. A1 - em uma p.ª sabemos que o primeiro termo é = 5 e a razão = 2. Calcule o 10º termo. A2 - em uma p.ª sabemos que o 30º termo = 62 e a razão = 2, calcule o 1º termo. A3 - em uma p.ª o primeiro termo = 2 e o 20º termo = 42. Qual o valor da razão: b) São dados também duas variáveis, mas pedido outro termo. Nesse caso diviremos o exemplo em duas partes. Primeiro encontramos o a 1 e a razão. A seguir, encontraremos o termo, ou os termos pedidos, ou então, usando a outra versão da nossa fórmula, encontraremos diretamente o temo solicitado!! B1 - em um p.ª o quinto termo = 10 e a razão = 2. Encontre o oitavo termo. B2 - em uma p.ª o vigésimo termo é 60 e o décimo é 40. Encontre o primeiro termo.

16 C) São dados a soma, subtração, divisão ou produto de dois termos (geralmente a soma) e nos é solicitado algum termo ou a razão da p.ª c1) (unb-95) Em uma p.a, a soma do primeiro com o décimo termo é igual a 28 e a soma do quinto com o oitavo termo é igual a 22. Qual a razão desta p.a d) Existe, também, muitas outras maneiras de exercícios. Por exemplo d1) Inserindo 3 termos em uma p.ª... D2) sabendo que a-1, a+5, a+11 formam uma p.ª, calcule o valor de a.

17 PARTE 2 - SOMA DOS TERMOS Voltemos a nossa p.ª a1 a2a3 a4 Como podemos encontrar uma fórmula para somarmos uma p.a.

18 Que tal formarmos uma figura geométrica!!! Base = a1 + an Altura = n Base x altura = (a1 + an).n

19 Como a nossa p.a é a metade da figura, então também dividimos por dois, e chegamos a Sn = (a1 + an). n 2

20 Com estas duas fórmulas (do termo geral e da soma), mas os nosso conceitos básicos, resolvemos qualquer exercício sobre p.ª Vejamos alguns exemplos de vestibular:

21 (unicamp-sp) A soma dos dois primeiros termos de uma p.ª é igual a 13 e dos cinco primeiros é igual a 55. Determine o 31º termo a) 95 b) 245 c) 105 d) 235 e) 253 (Fuvest-sp) Em uma progressão aritmética de termos positivos, os 3 primeiros são 1 - a, -a, raiz O quarto termo é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

22 (Fuvest-sp) A soma do 4º com o 8º termo de uma P.ª é 20. O 31º é o dobro do 16º. A P.ª é: a) -5, -2, 1 b) 5, 6, 7 c) 0, 2, 4 d) 0, 3, 6 e) 1, 3, 5

23 (Fuvest-sp) Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem uma distancia x. No segundo, o dobro do primeiro no terceiro o triplo do primeiro, e assim sucessivamente. Ao final de 20 dias percorreu uma distancia de km. A distancia do primeiro dia foi de: a) 15 b) 30 c) 20 d) 25 e) 35

24 CONCLUSÃO “Não é possível errarmos ou permitir que nossos alunos errem qualquer questão sobre p.a “ Ricardo da Silva Gelak


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