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1 Seja f(t) uma funcão definida para t ≥ 0, sua transformada de Laplace se define como: Se disser que a transformada de Laplace de f(t) existe se a integral.

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1 1 Seja f(t) uma funcão definida para t ≥ 0, sua transformada de Laplace se define como: Se disser que a transformada de Laplace de f(t) existe se a integral converge e o resultado é uma função de S. A transformada de Laplace

2 2 Note que a transformada de Laplace é uma Integral imprópria, um de seus limites é infinito: Notação:

3 3 Condicões suficientes de existência da a TL Se f (t) é contínua por partes em [0, ∞) Isto é, f (t) é de ordem exponencial no infinito: Então: L{f(t)} = F(s) existe  s > a.

4 4 Calcular a transformada de f(t) = 1:

5 5 Calcular a transformada de f(t) = t n :

6 6 Calcular a transformada de f(t) = e -t :

7 7 Calcular a transformada de f(t) = Ae at :

8 8 Calcular a transformada de f(t) = sen(at): Exercício: Calcula F(s) para f(t) = cos(at)

9 9 Tabla de transformadas de Laplace  as e s n t t s t at n n    1 ! s 

10 10 Linearidade: Se c 1 e c 2 são constantes, f 1 (x) e f 2 (x) são funções cujas transformadas de Laplace são F 1 (x) e F 2 (x), respectivamente; então: Demostração: OBS:A transformada de Laplace é um operador lineal.

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12 12 O processo inverso de encontrar f (t) de F (s) é chamada de transformada de Laplace inversa e é dada por: Transformada inversa de Laplace

13 Transformada de uma Derivada

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16 16 Exemplo 3: Obter a solução do problema de valores iniciais, mediante o método operacional de Laplace.

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19 19 2. Primeiro Teorema da Translação: (Translação sobre o eixo s) Se a é um número real, então

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21 21 Ex e): Usando a transformada de Laplace, resolva a equação y” – 6y’+9y = t 2 e 3t, y(0) = 2, y’(0) = 6. Solução: L{y”} –6 L{y’} +9L{y} = L{t 2 e 3t } s 2 L{y} – sy(0) – y’(0) –6 [sL{y} – y(0)] + 9L{y} = Como L(y} = Y(s), temos: s 2 Y(s) – sy(0) – y’(0) – 6[sY(s) - y(0) ]+ 9Y(s) = Y(s)(s 2 – 6s +9) +(–2 s -5) = (s – 3) 2 Y(s)= 2 s +5+

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