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TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 7. Técnicas de Projeto de Filtros Introdução: -Filtro seletor de frequências: Importante classe de sistemas.

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1 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 7. Técnicas de Projeto de Filtros Introdução: -Filtro seletor de frequências: Importante classe de sistemas LTI -Sistema realizável: -Estável e Causal (não necessariamente) -Requer complexidade computacional limitada - Realização de filtros contínuos por meio de sistemas digitais:

2 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 2 Classificação dos filtros digitais: Quanto à resposta em frequência: PB PA PF RF Quanto a duração da Resposta ao Impulso: IIR FIR Quanto à forma de realização: Recursiva Não-Recursiva DFT

3 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3 Especificações de um filtro seletor:

4 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Projeto de filtros discretos a partir de filtros contínuos -Projetos de filtros contínuos estão bem consolidados -Possuem formulação matemática fechada (não-iterativo) -As técnicas usadas em projetos de filtros contínuos não podem ser diretamente aplicadas p/ filtros discretos. Gabarito: A max A min p s [rad/s] A[dB]

5 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Invariância ao Impulso A resposta ao impulso caracteriza completamente um sistema LTI. Objetivo: Obter um sistema amostrado cuja reposta ao impulso seja uma amostragem da resposta ao impulso de um sistema contínuo que satisfaz as especificações. Procedimento: Gabarito H(s) h(t) C/D h[n] H(z) -Butterworth-Chebyshev Inverso -Chebyshev-Cauer (eliptico) -Bessel- Gauss -Legendre-...

6 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 6 Ex.: Amostragem: Observe que: C/D

7 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 7 Comparando com a transformada Z Concluímos que esta aproximação corresponde à relação:

8 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 8 Análise do mapeamento: 1) Suponha:Número real 2) Suponha: Número imaginário puro Circunferência unitária, porém: P/ Há réplica do mapeamento! Mapeamento não unívoco

9 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 9 Logo: Ocorre efeito Aliasing!

10 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 10 Conclusão: Mapeamento bom p/ filtros com zeros no infinito (PB,PF) Onde o efeito aliasing é reduzido.

11 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 11

12 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 12

13 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 13 Invariância ao Degrau C/D -Filosofia a mesma da resposta ao impulso -Dado H(s) projetado: H(s) Se G(z) é a resposta ao degrau do sistema discreto: Logo:

14 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 14 Vantagem: Como a função é amostrada O efeito do recobrimento é reduzido! PB. Generalização: -Invariância à rampa -Invariância à parábola -Invariância de ordem n

15 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 15 Transformação Z - Casada Consiste no mapeamento direto dos pólos e zeros do plano s para pólos e zeros no plano z usando a relação: Ex.:Pólos:

16 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Mapeamentos s z Características desejáveis: 1)H(s) racional H(z) racional 2)S=j mapeado em z=e j t 3)SPLE dentro do círculo unitário H(s) estável H(z) estável

17 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 17 Métodos baseados na aproximação da integração numérica: ou

18 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 18 Forward Euler

19 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 19 Como : Temos: Obs.: Melhor a aproximação da integral quanto menor for T, isto é, maior for f s

20 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 20 Teste das condições: 1) H(s) racional gera H(z) racional : OK 2) Válido apenas p/ T<<1 3) H(s) estável gera H(z) estável: Falso!

21 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 21 Backward Euler

22 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 22 Como : Temos: Obs.: Melhor a aproximação da integral quanto menor for T, isto é, maior for f s

23 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 23 Teste das condições: 1) H(s) racional gera H(z) racional : OK 2) Válido apenas p/ T<<1 3) H(s) estável gera H(z) estável: OK! Circunferência de raio 1/2

24 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 24 Transformação Bilinear Método dos trapézios

25 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 25 Como : Temos:

26 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 26 Teste das condições: 1) H(s) racional gera H(z) racional : OK 2) 3) H(s) estável gera H(z) estável: OK!

27 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 27 Porém: p/ s=j z varia sobre a circunferência Lembrando Euler: Temos: Logo: Distorção das frequências!

28 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 28 Ex.: Desejo realizar o filtro: Com: Através da transformação Bilinear Sei que há distorção (warping), logo devo projetar o filtro analógico previamente distorcido (pre-warping) de modo a compensar a distorção da Bilinear e o resultado ser o desejado.

29 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 29 No exemplo: ao invés de projetar o filtro analógico p/ 10k e 30k devo projetá-lo p/: Pre-warping

30 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 30 Aproximações usadas p/ projeto de Filtros Analógicos: -Butterworth -Chebyshev -Chebyshev Inverso -Cauer -Bessel -Gauss -Legendre -Multiplicidade n -....

31 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Projetos de Filtros FIR -São sempre estáveis: Pólos em z=0 posições dos zeros que definem suas características -Podem ter resposta de fase perfeitamente linear -Pode-se sintetizar filtros com especificações de amplitude arbitrários (não apenas filtros seletores) -P/ mesma especificação (gabarito), a ordem do FIR é, em geral, mais elevada do que um IIR (5 a 10 vezes) - aumento da complexidade computacional - Filtros FIR não tem equivalente analógico (contínuo)

32 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 32 Métodos de Síntese a)Janelamento: Amostragem no tempo Cálculo dos M coeficientes da sua resposta ao Impulso b) Amostragem em Frequência Amostra N pontos da sua resposta em frequência e faz-se a IDFT p/ encontrar sua resposta ao impulso c) Métodos de otimização numérica

33 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 33 Síntese por Janelamento Objetivo: Gerar H(z) Sabemos que p/ sistemas FIR: Logo: necessito conhecer h[n] Lembrando: Filtro Ideal -duração infinita -não-causal

34 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 34 O método tem como princípio tornar h[n] finita de Comprimento M e causal, de modo que Truncamento através da utilização de uma janela No domínio frequência: Convolução Periódica No limite: Logo: Quanto > o M melhor será a aproximação

35 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 35 Metodologia: Resposta em Freq. Ideal

36 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 36 Escolha da Janela:

37 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 37 Características de W( ) que influem em a)Largura do Lóbulo Principal: Influencia no tamanho da banda de transição Quanto M, complexidade

38 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 38 b) Razão de Ripple: É a relação entre a amplitude do lóbulo principal e o 1 lóbulo secundário. Determina a mínima atenuação da banda de rejeição e o ripple da banda de passagem Controla-se através da escolha da janela. M não influencia nesta característica

39 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 39 Principais tipos de janelas: Retangular: Bartlett: Hanning: Hamming: Blackman:

40 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 40

41 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 41 Procedimento: -Dado um gabarito -Escolher o tipo de janela que satisfaça a atenuação Na banda de rejeição -Escolher o M p/ satisfazer a banda de transição Método de tentativa e erro.

42 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 42 Janela de Kaiser Kaiser em 1966 desenvolveu um procedimento próximo Do ótimo p/ projeto de filtros FIR baseado em janelamento - Vantagem: Técnica procedural Onde: I o (x) é a função de Bessel modificada de primeira espécie e ordem zero. Série de convergência rápida

43 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 43 Dado o gabarito: A max A min p s Temos: Determinados: M, e, calcula-se w[n] e H(z)=Z{h[n].w[n]}

44 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 44 Compensação da Distorção sen(x)/x do conversor D/A Outros tipos de de projetos otimizados: Parks-McClellan

45 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 45 FIR ou IIR ? 1) 2) 3) 4) Estabilidade 5) Projeto 6) Complexidade 7) Estruturas 8) Erros de Quantização 9) Filtros Adaptativos


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