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1 BCC 101 – Matemática Discreta I Indução / Recursão BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP.

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1 1 BCC 101 – Matemática Discreta I Indução / Recursão BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

2 O outro lado da moeda  Como podemos calcular de …+n, dado o valor de n? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 2

3 Proque precisamos de uma prova?  … + n Alguns resultados são mostrados na tabela: Será que podemos garantir que, para qualquer n ∈ N … + n = n (n+1)/2 ? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 3

4 Indução  Combina raciocínio indutivo e dedutivo  buscar um padrão a partir de observações  formular esse padrão como uma conjectura  testar se a conjectura pode ser deduzida (provada) a partir de leis já conhecidas  O último passo é necessário porque é muito frequente que se façam conjecturas falsas. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 4

5 Porque precisamos de uma prova?  Se uma afirmação é verdadeira para todos os valores que testamos, será que podemos concluir que ela é verdadeira sempre?  Considere a seguinte proposição: Proposição 3. Se p é primo, 2 p − 1 também é primo. Testando alguns casos: Entretanto… 2 11 −1 = 2047 = 23×89. A proposição 3 é falsa! BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 5

6  Universo de discurso: N = {0, 1, 2, …}  Predicado P  P(n) é uma proposição (uma P(n) para cada n  N )  Queremos provar:  n≥a. P(n)  Princípio de Indução  Prove: P(a)  Prove:  n.(P(n)  P(n+1))  Conclua:  n≥a. P(n) princípiodeindução Principio de Indução Matemática Essa é uma idéia sutil. Apenas P(a) ié provado diretamnente. O resto da prova nos dá um padrão para construir uma prova de P(1) … ou P(1000) ou …  Provar a implicação P(n)  P(n+1)The implication is T  Significa provar P(n+1) supondo P(n) em algum passo da prova 6

7 Exemplo 1 Proposição: Base: Se n = 1, a soma é 1 = 1(1+1)/2. Indução: Hipótese Indução: ···+n = n(n+1)/2(1) Queremos provar: ···+n+(n+1)= (n+1)(n+2)/2(2) Como podemos usar (1) para obter (2) ? Note que: ···+n+(n+1) = (1+2+3+···+n) + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) (de 1) = (n+1)(n+2) /2 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 7

8 Exercícios  Prove que a soma dos n primeiros números inteiros positivos ímpares é n 2.  Prove que para todo n ∈ N.  Prove que n! 1.  Prove que n 3 – n é divisível por 3, para todo n≥0.  Prove que (1+x) m > 1 + mx, para todo inteiro m≥2. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 8 P(0)  n.P(n)  P(n+1)  {Ind}  n. P(n) Inducão

9 Erros comuns em provas  Considere a seguinte prova de que, em qualquer conjunto de n  1 cavalos, todos os cavalos são da mesma cor.  Caso base (n=1): Trivial  Caso indutivo: Considere um conjunto de (n+1) cavalos: 1,2,3,…,n,(n+1). Pela hipótese de indução, os n primeiros cavalos são todos da mesma cor e os n últimos cavalos são todos da mesma cor. Como o conjunto dos n primeiros e dos n últimos cavalos se sobrepõem, os (n+1) cavalos são necessariamente da mesma cor.  Onde está o erro nessa prova? 9

10 Colorindo regiões do plano  Um determinado número de linhas retas são desenhadas em um papel, de maneira que o papel seja dividido em um determinado número de regiões. Mostre que é possível colorir cada região de preto ou de branco, de modo que regiões adjacentes tenham cor distinta. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 10

11 Colorindo regiões do plano  O que é o “tamanho” do problema?  o número de retas no plano  Caso base (0 retas): Trivial. Basta colorir o plano todo de uma mesma cor  Passo indutivo: Resolver o problema no caso do plano ser cortado por n+1 retas, supondo que se sabe a solução para o caso do plano ser cortado por n retas BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11

12 Colorindo regiões do plano  Passo indutivo:  Suponha que sabemos como colorir um plano cortado por determinado no. de retas, de modo que regiões adjacentes tenham cores distintas BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 12 Suponha que mais uma reta é traçada hipótese de indução

13 Colorindo regiões do plano  Passo indutivo:  QUIZ:  Quantas colorações distintas são possíveis?  Qual é o número de regiões? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 13

14 Exemplo 2 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 14 polígono convexopolígono não convexo Proposição 2. Em um polígono convexo com n vértices, o maior número de diagonais que podem ser traçadas é n(n−3)/2, para n ≥ 4.

15 Exemplo 2 (continuação) Base: Se n = 4, o polígono é um quadrilátero, que tem 2 diagonais; e n(n − 3)/2=(4)(1)/2 = 2. Indução: Hipótese de indução: o no. de diagonais de um polígono de n vértices é n(n−3)/2. (1) Queremos provar que o no. de diagonais de um polígono com n+1 vértices é (n+1)(n-2)/2. (2) Como obter (2) a partir de (1)? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 15

16 Exemplo 2 (continuação) A resposta é “adicione mais um vértice”. Quantas diagonais podem ser traçadas agora? Quando adicionamos 1 vértice, todas as diagonais do polígono original são ainda diagonais do novo polígono, mas há ainda outras diagonais. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 16 poligono com k véricespoligono com k+1 vérices

17 Exemplo 2 (continuação) A hipótese de indução nos dá que o no. de diagonais do polígono original é n(n-3)/2. Novas diagonais podem ser traçadas, do vértice extra P k+1 a cada um dos outros vértices não adjacentes (P 1 e P k ), dando (n−1) diagonais extras e um dos lados do poligono de n vértices passa a ser uma diagonal do polígono de n+1 vértices. Isso dá um total de n(n−3)/2+(n−1) diagonais. Mas, n(n−3)/2+(n−1) = [n(n−3)+2(n−1)]/2 = (n+1)((n+1)-3)/2 Isso completa o passo indutivo. Portanto, a proposição é true para todo n ≥ 4. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 17

18 Exercício  Em uma festa entre amigos, cada um cumprimenta cada um dos demais com um aperto de mãos. Se a festa tem n amigos, quantos apertos de mão ocorrem? Prove o seu resultado usando o princípio de indução.  Prove que o número máximo de regiões em que pode ser dividido um plano cortado por n retas é (1/2) n 2 +n+2 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 18


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