BCC 101 – Matemática Discreta I

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1 BCC 101 – Matemática Discreta I
11/28/06 BCC 101 – Matemática Discreta I Indução / Recursão BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

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O outro lado da moeda Como podemos calcular de …+n, dado o valor de n? BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

3 Proque precisamos de uma prova?
… + n Alguns resultados são mostrados na tabela: Será que podemos garantir que, para qualquer n∈N … + n = n (n+1)/2 ? BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

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Indução Combina raciocínio indutivo e dedutivo buscar um padrão a partir de observações formular esse padrão como uma conjectura testar se a conjectura pode ser deduzida (provada) a partir de leis já conhecidas O último passo é necessário porque é muito frequente que se façam conjecturas falsas. BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

5 Porque precisamos de uma prova?
Se uma afirmação é verdadeira para todos os valores que testamos, será que podemos concluir que ela é verdadeira sempre? Considere a seguinte proposição: Proposição 3. Se p é primo, 2p − 1 também é primo. Testando alguns casos: Entretanto… 211 −1 = 2047 = 23×89. A proposição 3 é falsa! BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

6 Principio de Indução Matemática
CS Applied Logic, University of Oklahoma 4/7/2017 Principio de Indução Matemática Universo de discurso: N = {0, 1, 2, …} Predicado P P(n) é uma proposição (uma P(n) para cada nN ) Queremos provar: n≥a. P(n) Princípio de Indução Prove: P(a) Prove: n.(P(n)  P(n+1)) Conclua: n≥a. P(n) princípio de indução Essa é uma idéia sutil. Apenas P(a) ié provado diretamnente. O resto da prova nos dá um padrão para construir uma prova de P(1) … ou P(1000) ou … Provar a implicação P(n)  P(n+1)The implication is T Significa provar P(n+1) supondo P(n) em algum passo da prova

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Exemplo 1 Proposição: Base: Se n = 1, a soma é 1 = 1(1+1)/2. Indução: Hipótese Indução: ···+n = n(n+1)/2 (1) Queremos provar: ···+n+(n+1)= (n+1)(n+2)/2 (2) Como podemos usar (1) para obter (2) ? Note que: ···+n+(n+1) = (1+2+3+···+n) + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) (de 1) = (n+1)(n+2) /2 BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

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Exercícios P(0) n.P(n)P(n+1) {Ind} n. P(n) Inducão Prove que a soma dos n primeiros números inteiros positivos ímpares é n2. Prove que para todo n∈N. Prove que n! < nn para todo inteiro n>1. Prove que n3 – n é divisível por 3, para todo n≥0. Prove que (1+x)m > 1 + mx, para todo inteiro m≥2. BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

9 Erros comuns em provas Considere a seguinte prova de que, em qualquer conjunto de n1 cavalos, todos os cavalos são da mesma cor. Caso base (n=1): Trivial Caso indutivo: Considere um conjunto de (n+1) cavalos: 1,2,3,…,n,(n+1). Pela hipótese de indução, os n primeiros cavalos são todos da mesma cor e os n últimos cavalos são todos da mesma cor. Como o conjunto dos n primeiros e dos n últimos cavalos se sobrepõem, os (n+1) cavalos são necessariamente da mesma cor. Onde está o erro nessa prova?

10 Colorindo regiões do plano
11/28/06 Colorindo regiões do plano Um determinado número de linhas retas são desenhadas em um papel, de maneira que o papel seja dividido em um determinado número de regiões. Mostre que é possível colorir cada região de preto ou de branco, de modo que regiões adjacentes tenham cor distinta. BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

11 Colorindo regiões do plano
O que é o “tamanho” do problema? o número de retas no plano Caso base (0 retas): Trivial. Basta colorir o plano todo de uma mesma cor Passo indutivo: Resolver o problema no caso do plano ser cortado por n+1 retas, supondo que se sabe a solução para o caso do plano ser cortado por n retas BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

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11/28/06 Colorindo regiões do plano Passo indutivo: Suponha que sabemos como colorir um plano cortado por determinado no. de retas, de modo que regiões adjacentes tenham cores distintas Suponha que mais uma reta é traçada A nova linha divide o plano em 2 regiões A coloração é ok em cada uma dessas duas regiões separadamente, mas temos que garantir que regiões em cada lado da linha adicional tenham cores distintas hipótese de indução BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

13 Colorindo regiões do plano
11/28/06 Colorindo regiões do plano Passo indutivo: QUIZ: Quantas colorações distintas são possíveis? Qual é o número de regiões? A idéia é inverter as cores em uma das regiões. A nova coloração é válida em cada uma das regiões (inverter as cores preserva a propriedade de que regiões adjacentes têm cores distintas) e garante que as regiões em cada lado da linha têm cores distintas. Para aplicar a construção a uma instância do problema, digamos 7 linhas, começamos por colorir todo o pedaço de papel. então traçamos as linhas uma por uma. Cada vez que uma nova linha é traçada, invertemos as cores de uma das regiões, como descrito no passo indutivo O algoritmo é não determinista em diversos aspectos: a coloração inicial do papel não é especificada; a ordem de traçar as linhas não é especificada; a região cuja coloração é invertida, em cada passo, não é especificada. Isso significa que o papel pode ser colorido de várias maneiras diferentes, mas todas elas são ok, como requerido pela especificação do problema. BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

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Exemplo 2 Proposição 2. Em um polígono convexo com n vértices, o maior número de diagonais que podem ser traçadas é n(n−3)/2, para n ≥ 4. polígono convexo polígono não convexo BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

15 Exemplo 2 (continuação)
Base: Se n = 4, o polígono é um quadrilátero, que tem 2 diagonais; e n(n − 3)/2=(4)(1)/2 = 2. Indução: Hipótese de indução: o no. de diagonais de um polígono de n vértices é n(n−3)/2. (1) Queremos provar que o no. de diagonais de um polígono com n+1 vértices é (n+1)(n-2)/2. (2) Como obter (2) a partir de (1)? BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

16 Exemplo 2 (continuação)
A resposta é “adicione mais um vértice”. Quantas diagonais podem ser traçadas agora? Quando adicionamos 1 vértice, todas as diagonais do polígono original são ainda diagonais do novo polígono, mas há ainda outras diagonais. poligono com k vérices poligono com k+1 vérices BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

17 Exemplo 2 (continuação)
A hipótese de indução nos dá que o no. de diagonais do polígono original é n(n-3)/2. Novas diagonais podem ser traçadas, do vértice extra Pk+1 a cada um dos outros vértices não adjacentes (P1 e Pk), dando (n−1) diagonais extras e um dos lados do poligono de n vértices passa a ser uma diagonal do polígono de n+1 vértices. Isso dá um total de n(n−3)/2+(n−1) diagonais. Mas, n(n−3)/2+(n−1) = [n(n−3)+2(n−1)]/2 = (n+1)((n+1)-3)/2 Isso completa o passo indutivo. Portanto, a proposição é true para todo n ≥ 4. BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP

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Exercício Em uma festa entre amigos, cada um cumprimenta cada um dos demais com um aperto de mãos. Se a festa tem n amigos, quantos apertos de mão ocorrem? Prove o seu resultado usando o princípio de indução. Prove que o número máximo de regiões em que pode ser dividido um plano cortado por n retas é (1/2) n2+n+2 BCC Matemática Discreta - DECOM/UFOP