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Grandezas Escalares e Vetoriais

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Apresentação em tema: "Grandezas Escalares e Vetoriais"— Transcrição da apresentação:

1 Grandezas Escalares e Vetoriais
Prof. Climério Soares

2 Definição de grandeza:
É tudo aquilo que pode ser medido Exemplos: Comprimento Aceleração Força Velocidade

3 Tipos Grandezas escalares Grandezas Vetoriais

4 Grandezas Escalares São grandezas que se caracterizam apenas por um valor acompanhado uma unidade de medida. Exemplos: Massa ( a massa de uma pessoa é 57 kg); Temperatura (a temperatura da sala de aula é 27°C); Tempo (uma aula tem duração de 50min).

5 Grandezas Vetoriais São grandezas que para serem definidas precisam de um módulo (valor + unidade de medida), direção e sentido. Exemplos: Velocidade (Um corpo foi lançado com uma velocidade de 30 m/s); Aceleração (Um carro manteve uma aceleração de 5 m/s²); Força (Foi aplicada uma força de 50 N).

6 Representação Gráfica
Sentido Direção A B Comprimento = módulo Representa-se um vetor por um segmento de reta orientado. A origem e a extremidade do vetor pode ser representado por duas letras maiúsculas (A = origem; B = extremidade)

7 Representação Simbólica
Uma grandeza vetorial deve sempre ser representada, simbolicamente, por uma letra com uma seta em cima: Módulo do vetor V V = Módulo do vetor V Módulo do vetor de extremidades A e B

8 Comparação de Vetores Vetores iguais Vetores opostos
Dois vetores são iguais quando possuem mesmo módulo (valor, intensidade), mesma direção e mesmo sentido. Dois vetores são opostos quando possuem mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos.

9 Comparação de Vetores Exemplos: 2,5 u 4 u 4 u 2,5 u Vetores iguais
Vetores opostos

10 Operações com Vetores Soma Diferença
Multiplicação de um número real por um vetor

11 Operações com Vetores Adição de Vetores
Podemos somar vetores usando duas regras: Regra do Polígono Regra do Paralelogramo

12 Operações com Vetores Regra do Polígono
É usada, principalmente, para somar sistemas com mais de dois vetores. Exemplo: No plano quadriculado a seguir temos três vetores e

13 Operações com Vetores Regra do Polígono
Qual o módulo do vetor resultante da soma desses vetores?

14 Operações com Vetores Regra do Polígono Resolução:
Inicialmente, devemos transladar os vetores, de modo que a origem de um coincida com a extremidade do outro, tomando cuidado para manter as características (módulo, direção e sentido) de cada vetor sem alteração. O vetor soma (resultante) será aquele que fecha o polígono, partindo da origem do primeiro vetor e chegando à extremidade do último vetor.

15 Operações com Vetores Regra do Polígono
Observe que o vetor soma é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3 u e 4 u. Aplicando, então, o Teorema de Pitágoras, temos: s = 5 u

16 Operações com Vetores Regra do Polígono Observação:
Quando os segmentos orientados que representam os vetores formam um linha poligonal fechada (a extremidade do último segmento orientado coincide com a origem do primeiro), o vetor soma é chamado vetor nulo e é representado por O módulo do vetor nulo é zero

17 Operações com Vetores Regra do Paralelogramo: Essa regra é usada quando os vetores têm a mesma origem e formam um ângulo entre si. Para encontrar o vetor resultante, devemos: Tracejar retas paralelas aos dois vetores; O vetor soma (resultante) sai do ponto comum até encontrar o ponto de interseção das retas tracejadas.

18 Operações com Vetores Regra do paralelogramo
Para encontrar o módulo do vetor soma (resultante), utilizamos a Lei do cossenos:

19 Operações com Vetores Regra do paralelogramo Exemplo:
Dois vetores e , de mesma origem, formam entre si um ângulo , como mostra a figura a seguir. Se os módulos desses vetores são a = 7 u, e b = 8 u, qual o módulo do vetor soma?

20 Operações com Vetores Regra do paralelogramo Resolução:
Usando a lei dos cossenos, temos: s² = 7² + 8² + 2 ∙ 7 ∙ 8 cos θ s² = ∙ cos 60° s² = 169 s = 13 u

21 Operações com Vetores Casos particulares:
A) Se o ângulo formado pelo vetores é α = 0°, eles possuem a mesma direção e o mesmo sentido. Sendo S o módulo do vetor resultante, temos:

22 Operações com Vetores Casos particulares:
B) Se α = 90°, podemos calcular o módulo do vetor resultante R utilizando o Teorema de Pitágoras:

23 Operações com Vetores Casos particulares:
C) Se o ângulo formado pelos vetores é de 180°, eles possuem a mesma direção e sentidos opostos. O módulo do vetor R fica determinado por:

24 Operações com Vetores Subtração de Vetores
Considere dois vetores e . A diferença entre esses dois vetores é dada por: Portanto para subtrair de , deve-se adicionar ao oposto de .

25 Operações com Vetores Subtração de Vetores Fig. 2 Fig. 1 Fig. 3

26 Operações com Vetores Subtração de Vetores
Na figura 2, para obter o vetor diferença foi usado a regra do paralelogramo; No caso da figura 3, foi unida as origens de e e o vetor foi obtido apontando para o vetor que se lê primeiro na expressão , no caso o vetor .

27 Operações com Vetores O módulo do vetor diferença pode ser calculado como: Observação: A adição e a subtração de vetores são definidas de forma que podemos trabalhar com equações vetoriais da mesma maneira como é feita com equações com números reais, passando um termo de um lado para outro, trocando de sinal. Exemplo: é equivalente a

28 Operações com Vetores Exemplo:
No plano quadriculado abaixo, estão representados dois vetores e O módulo do vetor diferença vale: Usando o teorema de Pitágoras, a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u

29 Operações com Vetores Multiplicação de um número real por um vetor
Ao multiplicar um número real n por um vetor obtemos um outro vetor tal que: Para n ≠ 0, terá as seguintes características: módulo: (produto dos módulos) direção: a mesma do vetor . sentido: o mesmo de , se n > 0; oposto se n < 0.

30 Operações com vetores Multiplicação de um número real por um vetor
Exemplo:

31 Decomposição de um vetor
Qualquer vetor , em um plano, pode ser representado pela soma de dois outros vetores, chamados de componentes retangulares como:

32 Decomposição de um vetor
Para encontrarmos o módulo das componentes e , devemos usar as relações trigonométricas do triângulo retângulo:

33 Decomposição de um Vetor
Exemplos: 1. Um avião sobe com velocidade de 200 m/s e com 30° de inclinação em relação à horizontal conforme a figura. Determine as componentes da velocidade na horizontal (eixo x) e na vertical (eixo y). Dados: sen 30° = 0,5 e cos 30° ≈ 0,9.

34 Decomposição de um vetor
Resolução: Na figura abaixo são mostrados os vetores componentes e : vx = v ∙ cos 30° ⇒ 200 ∙ 0,9 ⇒ vx = 180 m/s vy = v ∙ sen 30° ⇒ 200 ∙ 0,5 ⇒ vy = 100 m/s

35 Decomposição de um vetor
2. Na figura a seguir, cada quadradinho tem lado que mede 4 N de força. Determine o vetor força em módulo, direção e sentido, usando a decomposição de vetores e a regra do polígono.

36 Decomposição de um vetor
3. Determine o módulo e a representação do vetor força resultante das forças apresentadas na figura abaixo. (Dados: sen 30° = 0,5; cos 30° ≈ 0,9; sen 20° ≈ 0,3; cos ≈ 0,9; sen 45° = cos 45° ≈ 0,7).


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