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Grandezas Escalares e Vetoriais Prof. Climério Soares.

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1 Grandezas Escalares e Vetoriais Prof. Climério Soares

2 Definição de grandeza: É tudo aquilo que pode ser medido Exemplos:  Comprimento  Aceleração  Força  Velocidade

3 Tipos  Grandezas escalares  Grandezas Vetoriais

4 Grandezas Escalares São grandezas que se caracterizam apenas por um valor acompanhado uma unidade de medida. Exemplos:  Massa ( a massa de uma pessoa é 57 kg);  Temperatura (a temperatura da sala de aula é 27°C);  Tempo (uma aula tem duração de 50min).

5 Grandezas Vetoriais São grandezas que para serem definidas precisam de um módulo (valor + unidade de medida), direção e sentido. Exemplos:  Velocidade (Um corpo foi lançado com uma velocidade de 30 m/s);  Aceleração (Um carro manteve uma aceleração de 5 m/s²);  Força (Foi aplicada uma força de 50 N).

6 Representação Gráfica Direção Sentido Comprimento = módulo A B Representa-se um vetor por um segmento de reta orientado. A origem e a extremidade do vetor pode ser representado por duas letras maiúsculas (A = origem; B = extremidade)

7 Representação Simbólica Uma grandeza vetorial deve sempre ser representada, simbolicamente, por uma letra com uma seta em cima: Módulo do vetor V V = Módulo do vetor V Módulo do vetor de extremidades A e B

8 Comparação de Vetores  Vetores iguais  Vetores opostos Dois vetores são iguais quando possuem mesmo módulo (valor, intensidade), mesma direção e mesmo sentido. Dois vetores são opostos quando possuem mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos.

9 Comparação de Vetores Exemplos: 4 u 2,5 u Vetores iguaisVetores opostos 2,5 u

10 Operações com Vetores  Soma  Diferença  Multiplicação de um número real por um vetor

11 Operações com Vetores Adição de Vetores Podemos somar vetores usando duas regras:  Regra do Polígono  Regra do Paralelogramo

12 Operações com Vetores Regra do Polígono  Regra do Polígono É usada, principalmente, para somar sistemas com mais de dois vetores. Exemplo: No plano quadriculado a seguir temos três vetores e

13 Operações com Vetores Regra do Polígono Qual o módulo do vetor resultante da soma desses vetores?

14 Operações com Vetores Resolução: Inicialmente, devemos transladar os vetores, de modo que a origem de um coincida com a extremidade do outro, tomando cuidado para manter as características (módulo, direção e sentido) de cada vetor sem alteração. O vetor soma (resultante) será aquele que fecha o polígono, partindo da origem do primeiro vetor e chegando à extremidade do último vetor. Regra do Polígono

15 Operações com Vetores Observe que o vetor soma é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3 u e 4 u. Aplicando, então, o Teorema de Pitágoras, temos : s = 5 u

16 Operações com Vetores Regra do Polígono Observação: Quando os segmentos orientados que representam os vetores formam um linha poligonal fechada (a extremidade do último segmento orientado coincide com a origem do primeiro), o vetor soma é chamado vetor nulo e é representado por O módulo do vetor nulo é zero

17 Operações com Vetores Regra do Paralelogramo  Regra do Paralelogramo: Essa regra é usada quando os vetores têm a mesma origem e formam um ângulo entre si. Para encontrar o vetor resultante, devemos: 1.Tracejar retas paralelas aos dois vetores; 2.O vetor soma (resultante) sai do ponto comum até encontrar o ponto de interseção das retas tracejadas.

18 Operações com Vetores Regra do paralelogramo Para encontrar o módulo do vetor soma (resultante), utilizamos a Lei do cossenos:

19 Operações com Vetores Regra do paralelogramo Exemplo: Dois vetores e, de mesma origem, formam entre si um ângulo, como mostra a figura a seguir. Se os módulos desses vetores são a = 7 u, e b = 8 u, qual o módulo do vetor soma?

20 Operações com Vetores Regra do paralelogramo Resolução: Usando a lei dos cossenos, temos: s² = 7² + 8² + 2 ∙ 7 ∙ 8 cos θ s² = ∙ cos 60° s² = 169 s = 13 u

21 Operações com Vetores Casos particulares: A) Se o ângulo formado pelo vetores é α = 0°, eles possuem a mesma direção e o mesmo sentido. Sendo S o módulo do vetor resultante, temos:

22 Operações com Vetores Casos particulares: B) Se α = 90°, podemos calcular o módulo do vetor resultante R utilizando o Teorema de Pitágoras:

23 Operações com Vetores Casos particulares: C) Se o ângulo formado pelos vetores é de 180°, eles possuem a mesma direção e sentidos opostos. O módulo do vetor R fica determinado por:

24 Operações com Vetores Subtração de Vetores Considere dois vetores e. A diferença entre esses dois vetores é dada por: Portanto para subtrair de, deve-se adicionar ao oposto de.

25 Operações com Vetores Subtração de Vetores Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

26 Operações com Vetores Subtração de Vetores  Na figura 2, para obter o vetor diferença foi usado a regra do paralelogramo;  No caso da figura 3, foi unida as origens de e e o vetor foi obtido apontando para o vetor que se lê primeiro na expressão, no caso o vetor.

27 Operações com Vetores  O módulo do vetor diferença pode ser calculado como: Observação: A adição e a subtração de vetores são definidas de forma que podemos trabalhar com equações vetoriais da mesma maneira como é feita com equações com números reais, passando um termo de um lado para outro, trocando de sinal. Exemplo: é equivalente a

28 Operações com Vetores Exemplo: No plano quadriculado abaixo, estão representados dois vetores e. O módulo do vetor diferença vale: Usando o teorema de Pitágoras, a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u

29 Operações com Vetores Multiplicação de um número real por um vetor Ao multiplicar um número real n por um vetor obtemos um outro vetor tal que: Para n ≠ 0, terá as seguintes características: módulo: (produto dos módulos) direção: a mesma do vetor. sentido: o mesmo de, se n > 0; oposto se n < 0.

30 Operações com vetores Multiplicação de um número real por um vetor Exemplo:

31 Decomposição de um vetor Qualquer vetor, em um plano, pode ser representado pela soma de dois outros vetores, chamados de componentes retangulares como:

32 Decomposição de um vetor Para encontrarmos o módulo das componentes e, devemos usar as relações trigonométricas do triângulo retângulo:

33 Decomposição de um Vetor Exemplos: 1. Um avião sobe com velocidade de 200 m/s e com 30° de inclinação em relação à horizontal conforme a figura. Determine as componentes da velocidade na horizontal (eixo x) e na vertical (eixo y). Dados: sen 30° = 0,5 e cos 30° ≈ 0,9.

34 Decomposição de um vetor Resolução: Na figura abaixo são mostrados os vetores componentes e : v x = v ∙ cos 30° ⇒ 200 ∙ 0,9 ⇒ v x = 180 m/s v y = v ∙ sen 30° ⇒ 200 ∙ 0,5 ⇒ v y = 100 m/s

35 Decomposição de um vetor 2. Na figura a seguir, cada quadradinho tem lado que mede 4 N de força. Determine o vetor força em módulo, direção e sentido, usando a decomposição de vetores e a regra do polígono.

36 Decomposição de um vetor 3. Determine o módulo e a representação do vetor força resultante das forças apresentadas na figura abaixo. (Dados: sen 30° = 0,5; cos 30° ≈ 0,9; sen 20° ≈ 0,3; cos ≈ 0,9; sen 45° = cos 45° ≈ 0,7).


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