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Introdução à Lógica Matemática Lógica e Sistemas Difusos (Fuzzy) João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica Coordenadoria de Eletrotécnica CEFET-ES.

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1 Introdução à Lógica Matemática Lógica e Sistemas Difusos (Fuzzy) João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica Coordenadoria de Eletrotécnica CEFET-ES Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 1/24

2 Histórico e Introdução à lógica Fuzzy Loft A. Zadeh (Univ. Berkeley - Califórnia) em 1965 introduziu elementos de uma teoria chamado-os de “Conjuntos Fuzzy”. Na década de 70 Zadeh iniciou a extensão de seus elementos teóricos para o que passou a chamar “lógica fuzzy”. A “lógica fuzzy” apresentou um grande avanço nos anos 80, em especial no Japão. É uma técnica baseada em graus de verdade: - os valores 0 (F) e 1(V) ficam nas extremidades. - inclui os vários niveis/estados de verdade entre 0 e 1. A Teoria de conjuntos Fuzzy permite especificar quão bem um objeto satisfaz uma descrição vaga.

3 Características da Lógica Fuzzy 1/2 Lógica convencional: sim ou não, verdadeiro ou falso, tudo ou nada. Lógica Fuzzy (difusa ou nebulosa): – Refletem o que as pessoas pensam – Tenta modelar o nosso senso de palavras, tomada de decisão ou senso comum. Trabalha com uma grande variedade de informações vagas e incertas, as quais podem ser traduzidas por expressões do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc.

4 Características da Lógica Fuzzy 2/2 Antes do surgimento da lógica fuzzy informações vagas não tinham como ser processadas A lógica fuzzy contém como casos especiais não só os sistemas lógicos binários, como também os multi-valorados A lógica fuzzy vem sendo aplicada em diversas áreas, tais como: – Análise de dados; – Construção de sistemas especialistas; – Controle e otimização de processos; – Reconhecimento de padrões, etc. Ela á baseada em um conjunto de princípios matemáticos para a representação do conhecimento baseado no grau de pertinência dos termos

5 Conjuntos Fuzzy (1/4) Um conjunto fuzzy permite a representação de conceitos qualitativos definidos por fronteiras difusas, como as que surgem na linguagem natural. Conjuntos difusos (fuzzy) permitem a passagem da pertinência de um elemento para a não-pertinência de forma gradual, em contraposição à forma abrupta dos conjuntos usuais. Um conjunto fuzzy (A f ) é entendido como uma função de pertinência (f A ) de domínio V (universo de discurso), no intervalo de números reais [0,1]. f A (x) associa a cada x  V um número real no intervalo [0,1] cujo valor indica o grau de pertinência de x em V.

6 Conjuntos Fuzzy (2/4) Conceitos Iniciais: Um conjunto fuzzy (A f ) é determinado por uma função, então ele é representado por um conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence a V (universo de discurso), e o segundo indica seu grau pertinência em A f : Exemplo: Seja:V = {x | x são pessoas com idade entre 0 e 100 anos. A f = conjunto das idades de pessoas jovens. então o grau pertinência pode ser da forma:

7 Conjuntos Fuzzy (3/4) Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado por sua função de pertinência (MF). Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado por sua função de pertinência (MF). unção de pertinência A função de pertinência: Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade com que o objeto pertence ao conjunto fuzzy. – Métodos para adquirir esse conhecimento do especialista – Ex: Perguntar ao especialista se vários elementos pertencem a um conjunto Conjuntos com limites imprecisos – Exemplo: A = Conjunto de pessoas altas Altura( m) Conjunto Clássico 1.0 Função de pertinência Altura (m) Conjunto Fuzzy

8 Conjuntos Fuzzy (4/4) Conceitos Básicos (pag. 193): Sejam dois conjuntos fuzzy A f e B f em V, então: 1.Eles são iguais (A f = f B f ) se: (  x  V) f A (x) = f B (x). 2.B f é um subconjunto de A f (B f está contido em A f ou B f  f A f ) se: (  x  V) f B (x) ≤ f A (x). 3.O conjunto fuzzy vazio (ou zero) é dado pela função constante zero:  f = 0 f = def f  (x) = 0, (  x  V). 4. O conjunto fuzzy universo (ou unidade) é dado pela função constante um: 1 f = V = def f V (x) = 1, (  x  V). Grau de Pertinência B está contido em A A B

9 Operações com Conjuntos Fuzzy (1/5) União (pag. 194): a união entre dois conjuntos fuzzy A e B é um outro conjunto fuzzy A  f B, tal que, para cada x  V, o seu grau de pertinência no conjunto união é o valor máximo (supremo) entre f A (x) e f B (x). Isto é: Exemplo: Sejam - V = um conjunto de pontos (conjunto universo) - A e B conjuntos contidos em V fAfA f B A  f B

10 Operações com Conjuntos Fuzzy (2/5) A Intersecção entre dois conjuntos fuzzy A e B é um outro conjunto fuzzy A  f B, tal que, para cada x  V, o seu grau de pertinência é o valor mínimo (ínfimo) entre f A (x) e f B (x). Isto é: Exemplo: Sejam - V = um conjunto de pontos (conjunto universo) - A e B conjuntos contidos em V fAfA fBfB A  f B

11 Operações com Conjuntos Fuzzy (3/5) Exemplos (União/Interseção, pag. 194): 1 -Sejam V = {x1, x2, x3, x4} A = { (x1, 0.1); (x2, 1); (x3, 0.8); (x4, 0)} B = { (x1, 0.7); (x2, 0.4); (x3, 0.9); (x4, 0.1)} União Fuzzy: A  f B = { (x1, 0.7); (x2, 1); (x3, 0.9); (x4, 0.1)} Interseção Fuzzy: A  f B = { (x1, 0.1); (x2, 0.4), (x3, 0.8), (x4, 0)} 2 –Outra forma de representar:Sejam V = {a, b, c, d, e} A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e} B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e} União Fuzzy: A  f B = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e} Interseção Fuzzy: A  f B = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}

12 Operações com Conjuntos Fuzzy(4/5) Operações com Conjuntos Fuzzy (4/5) O complemento (pag. 195/196): de um conjunto fuzzy A (~A) no domínio V é determinado por: A diferença entre dois conjuntos fuzzy A e B (A – f B) no domínio V é definida por: fAfA ~A~A Exemplo: Sejam V = {x1, x2, x3, x4}; A = { (x1, 0.1); (x2, 1), (x3, 0.8), (x4, 0)} eB = { (x1, 0.7); (x2, 0.4), (x3, 0.9), (x4, 0.1)} Complemento: ~A = { (x1, 0.9); (x2, 0), (x3, 0.2), (x4, 1)}; ~B = { (x1, 0.3); (x2, 0.6), (x3, 0.1), (x4, 0.9)} Diferença: A - f B = { (x1, 0); (x2, 0.6), (x3, 0), (x4, 0)}

13 Operações com Conjuntos Fuzzy (5/5) Resumo das operações:

14 Álgebra dos conjuntos Fuzzy (1/4) As propriedades padrões Reflexiva, Comutativa, Idempotência Associativa, Distributiva, etc. são também válidas para os conjuntos fuzzy (ver demonstrações na pag. 197): Reflexiva: A  f A, pois f A  f A = f A  f A = f A Anti-simétrica: se A  f B e B  f A  f A = f B Transitiva: se A  f B e B  f C  A  f C Princípio da dualidade: “todo resultado obtido dos axiomas anteriores são válidos se trocarmos  f por  f e os elementos  f por V e vice-versa”. Idempotência: A  f A = A e A  f A = A Comutativa: A  f B = B  f AeA  f B = B  f A

15 Álgebra dos conjuntos Fuzzy (2/4) Associativa: A  f (B  f C) = (A  f B)  f C = A  f B  f C A  f (B  f C) = (A  f B)  f C = A  f B  f C Absorção: A  f (A  f B) = Ae A  f (A  f C)=A Distributiva:A  f (B  f C) = (A  f B)  f (A  f C) A  f (B  f C) = (A  f B)  f (A  f C) Exceção:~A  f A   f e ~A  f A  X (ver demonstrações na pag. 198).

16 Álgebra dos conjuntos Fuzzy (3/4) Leis de De Morgan: 1) (A  f B)’ = A’  f B’. (pág. 200)2) (A  f B)’ = A’  f B’. O produto algébrico de dois conjuntos fuzzy A e B (A.B) é definido pelas funçoes de pertinências de ambos como: f AB = f A.f B A soma algébrica fuzzy (A+B) é definida pelas funçoes de pertinências de ambos como: f A+B = f A + f B - f AB A diferença absoluta fuzzy |A-B| é definida pelas funçoes de pertinências de ambos como: f |A-B| = |f B - f A | Ex: Dados: A = { (x1, 0.9); (x2, 0.3); (x3, 0.1)} e B = { (x1, 1); (x2, 0.5); (x3, 0.8)}, determine A.B, A+B e |A-B| (ver demonstrações na pag. 200/2001).

17 Relações com conjuntos Fuzzy 1/2 O produto cartesiano fuzzy entre o conjunto A com domínio U e o conjunto B com domínio V é definido por: Ex: Sejam U = {a, b} e V = {1, 2, 3} os domínios dos conjuntos fuzzy A = { (a, 0.5); (b, 0.8))} e B = { (1, 0.2); (2, 1); (3, 0.6)}, determine A X f B. Sol: A X f B = { ((a, 1), 0.2); ((a, 2), 0.5); ((a, 3), 0.5); ((b, 1), 0.2); ((b, 2), 0.8); ((b,3), 0.6)}. (ver pag. 202).

18 Relações com conjuntos Fuzzy 2/2 Relação Fuzzy R f de A em B é um subconjunto de A X f B onde um f R associa a cada par (x,y) o seu grau de pertinência f R (x,y) em R f. Assim, f R (x,y) ≤ f A (x)  f B (x). Suporte de A é o conjunto dado por: Domínio da relação R f : Imagem da relação R f : Exemplo da pag. 203.

19 Variáveis Lingüísticas (1/2) Uma variável lingüística possui valores que não são números, mas sim palavras ou frases na linguagem natural. Ela é caracterizada por uma quíntupla (N, Gr, V, T(N), S(N)), onde: – N é o nome da variável; – Gr é uma regra sintática que permite gerar valores lingüísticos; – U é o universo de discurso; – T(N) é o conjunto dos termos em N; – S(N) é uma regra semântica que associa a cada termo x de N gerado por V o seu significado S(x) dentro do intervalo [0, 1]. Exemplo: T(idade) = {muito jovem, jovem, meia idade, velho, muito velho...} e V = [0, 100] em anos.

20 Variáveis Lingüísticas (2/2) No exemplo anterior, as funções de pertinência (ver gráfico da página 208) poderiam ser:

21 Modificadores (Hedges) Termos que são usados para modificar a forma dos conjuntos fuzzy –Muito, algo mais ou menos, um pouco São universais Compostos de nome e fórmula Muito: Extremamente Muito muito Um pouco Mais ou menos Indeed (exatamente)

22 Regras Fuzzy (1/2) As variáveis ligüísticas permitem que a linguagem da modelagem fuzzy expresse a semântica usada por especialistas. Exemplo: If projeto.duração is não muito LONGO then risco is ligeiramente reduzido. Consistem de: – Um conjunto de condições IF (usando conectivos and, or ou not) – uma conclusão THEN – uma conclusão opcional ELSE Exemplo: Velocidade [0,220] Baixa, Média e alta 1. Se velocidade > 100 Então DPP é 30 metros 2. Se velocidade < 40 Então DPP é 10 metros 1. Se velocidade é alta Então DPP é longa 2. Se velocidade é baixa Então DPP é curta

23 Regras Fuzzy (2/2) E o raciocínio como deve ser encadeado? – Avaliar o(s) antecedente(s) – Aplicar o resultado ao conseqüente – As regras são ativadas parcialmente, dependendo do antecedente – Exemplo: Se a altura é alta, o peso é pesado (altura =1.85, peso = ?) Alto Pesado

24 FIM


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