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Cosmologia Prof. Rodrigo Holanda (UEPB). Ementa do curso Cosmologia e relatividade geral: fundamentos de relatividade geral, gravitação e curvatura do.

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1 Cosmologia Prof. Rodrigo Holanda (UEPB)

2 Ementa do curso Cosmologia e relatividade geral: fundamentos de relatividade geral, gravitação e curvatura do espaço- tempo, métrica de Friedmann-Robertson-Walker. O Universo em expansão: soluções da equação de Friedmann. Matéria e energia escuras A radiação cósmica de fundo e a história térmica do universo Teoria newtoniana do processo de formação de estruturas Problemas do modelo padrão e a teoria inflacionária

3 Cosmologia É a ciência que estuda a origem, estrutura e evolução do Universo. O objetivo é entender como o Universo se formou, por que tem as características que vemos hoje e qual será o destino final. Principais ferramentas: física, matemática, estatística, química e até filosofia.

4 Cosmologia A ciência dos grandes números  Nossa galáxia possui 100 bilhões (10 11 ) de estrelas.  No Universo observável existem 100 bilhões de galáxias (10 11 ).  No Universo observável existem estrelas.  Em um balde cheiro de areia existem 10 9 grãos de areia.  Cem baldes de areia existirão grãos de areia, apenas igual ao número de estrelas na nossa galáxia!!!!

5 Tamanhos no universo

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8 O Sol é invisível nesta escala!

9 A via Láctea

10 Hubble Deep Field: tamanho angular equivalente a de uma bola de ténis vista a uma distância de 100 metros. Você ainda se acha especial?!

11 1908- Henrietta Leavitt descobre a relação período-luminosidade das cefeidas Einstein publica a TRG Einstein aplica sua teoria ao Universo: universo estático O grande debate: Shapley x Curtis, Nebulosa de Andrômeda e as Nuvens de Magalhães Nebulosa de AndrômedaNuvens de Magalhães A. Friedmann e G. Lemaitre encontram soluções expansionistas para o universo E.d Hubble encontra a expansão do universo F. Zwicky encontra a primeira evidência para a matéria escura em aglomerados R. C. Tolmam mostra que a radiação de corpo negro resfria em um universo em expansão e permanece térmica G. Gamow discute a nucleossíntese primordial G. Gamow, R. Alpher e R. Herman predizem que o universo deve ter uma radiação de fundo correspondente a um corpo negro de 5 K A. Penzias e R. Wilson descobrem a radiação de fundo Charles Misner discute o problema dos horizontes cosmológicos Vera Rubin encontra evidência de matéria escura em galáxias espirais Alan Guth propõe a teoria do universo inflacionário Levantamento da curva de corpo negro pelo satélite COBE Permutter e A. Riess descobrem a aceleração do universo medidas de balões (boomerang e Maxima) mostram que o universo é pseudo- euclidiano. Fatos históricos

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13 Paradigma atual

14 Cosmologia Hipóteses:  As leis da física válidas no sistema solar valem também para o resto do Universo  As leis da física podem ser extrapoladas para o passado  Princípio Copernicano: não ocupamos um lugar privilegiado no Universo  Princípio cosmológico: o Universo é homogêneo e isotrópico em larga escala  Gravitação é dominante em larga escala

15 Física newtoniana: partículas se movem ao longo de linhas retas em um espaço euclidiano até que uma força atue sobre ela. - “O espaço absoluto, por sua própria natureza, sem relação com qualquer coisa que seja exterior, permanece sempre semelhante e imóvel.” - “O tempo absoluto, real e matemático, por si só e por sua natureza, flui uniformemente, sem relação com qualquer coisa externa, e recebe também o nome de duração.” A gravitação newtoniana: gravidade é uma força!!!! Incompatível com a teoria da relatividade especial, pois na visão newtoniana a gravidade é uma força que se transmite instantaneamente!!!!! Física newtoniana

16 E a equação de Poisson: substituta para a lei de ação à distância??!!!

17 Apenas a massa interior a um dado r é que realmente determina o movimento de uma camada esférica centrada em torno de um ponto arbitrário!! Para desenvolver uma cosmologia newtoniana é preciso utilizar o teorema de Birkoff, demonstrável apenas na teoria da relatividade geral.

18 A teoria da relatividade especial Postulados:  A velocidade da luz no vácuo é c= cm/s para referenciais inerciais, sendo independente do observador.  As leis da física são as mesmas para todos os observadores inerciais (não-acelerados) do universo.  A relatividade especial foi construída para tornar as equações de Maxwell do eletromagnetismo invariantes entre referenciais inerciais. Transformações de GalileuTransformações de Lorentz

19 A teoria da relatividade especial As equações de Lorentz transformam um sistema ortogonal em um não-ortogonal!!!

20 A teoria da relatividade especial Três situações diferentes podem ocorrer No espaço-tempo da relatividade restrita, a estrutura de cones de luz é rígida!

21 A relatividade restrita é insuficiente para explicar a homogeneidade e a expansão do universo ao mesmo tempo!!!!! Espaço-tempo estático!!!

22 A teoria da relatividade Geral (1915) Princípios Princípio de equivalência: não existem experimentos locais que possam distinguir a queda livre em um campo gravitacional de um movimento uniforme no espaço na ausência de um campo gravitacional. Princípio da relatividade: a TRE governa a física local, ou, localmente, o espaço-tempo é plano (Minkowski). Em outras palavras: um referencial linearmente acelerado é localmente indêntico a um referencial em repouso em um campo gravitacional.

23 Considere um observador em um foguete em 3 situações diferentes: A teoria da relatividade Geral Pelo princípio de equivalência o resultado deveria ser o mesmo para um observador em um campo gravitacional!! Com base no “Princípio de Fermat” da ótica: “a luz viaja entre dois pontos pela trajetória que minimiza o tempo de viagem”. Einstein concluiu que o espaço não é Euclidiano na presença de uma massa.

24 Experimento de Sobral e na Ilha do Príncipe (29 de Maio de 1919): deflexão da luz. A teoria da relatividade Geral

25 Na TRG: a gravidade é representada pela curvatura do espaço-tempo. Partículas se movem ao longo de geodésicas até que forças atuem nelas. A equação da geodésica é: O termo g é o tensor métrico transmite todas as informação sobre estrutura causal e geométrica do espaço-tempo. O termo Γ que aparece na equação da geodésica é chamado de conexão, e representa uma medida de quanto um dado referencial não é inercial!! A teoria da relatividade Geral

26 Ao curvar tempo e espaço na presença de matéria-energia, a TRG os converte em participantes dinâmicos do universo, em lugar de considerá-los apenas um palco de fundo onde os acontecimentos ocorrem. O princípio cosmológico é naturalmente incorporado!!!! A teoria da relatividade Geral

27 Testes experimentais Atraso no sinal de radar A precessão do periélio de Mercúrio O desvio da luz na presença de matéria A igualdade da massa inercial e gravitacional A emissão de ondas gravitacionais Frame-dragging ( Phys.Rev.Lett.106:221101,2011 ) Estruturas em largas escalas ( Nature 464, 256,2010 ) A teoria da relatividade Geral Testes clássicos

28 Pulsar PSR

29 A teoria da relatividade Geral Tensor do campo eletromagnético está relacionado com o vetor densidade de corrente por A derivada ordinária é trocada pela derivada covariante Derivada covariante: derivada que leva em conta a não-ortogonalidade das coordenadas!

30 Princípio da covariância geral: todos os observadores são equivalentes e as leis da física devem ser escritas em forma tensorial. Princípio da correspondência: no limite de campos gravitacionais fracos os resultados da TRG devem concordar com os resultados newtonianos. A equação de campo da teoria da relatividade Geral  Equação de Poisson  Equação de Campo de Einstein Potencial gravitacional Densidade de matéria Propriedades Geométricas do Espaço-Tempo (Tensor de Einstein) Conteúdo Material Energético (tensor de energia-momento)

31 Propriedades Geométricas do Espaço- Tempo Tensor de Einstein Tensor de Curvatura de Riemann : toda informação sobre a curvatura de uma variedade está contida no tensor de Riemann (tensor de quarta ordem) Conexões da métrica Tensor de Riemann e o transporte paralelo: a diferença entre os vetores de “partida” e de “chegada” é proporcional ao tensor de Riemann

32 Tensor de Ricci (segunda ordem) Escalar de Ricci A quantidade possui divergência nula da mesma forma que o tensor energia momento devido a conservação local. Por que não usar o tensor de curvatura na equação de campo?! Princípio de equivalência: localmente a TRE deve ser recuperada. Tensor de energia- momento é de segunda ordem.

33 Espaços não-euclidianos de curvatura constante São geometrias definidas em espaços não-planos: elíptica e hiperbólica. A geometria euclidiana: Postulados: 1-Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une; 2-Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta; 3- Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada; 4-Todos os ângulos retos são iguais; 5- Dada um reta e um ponto fora dela só é possível construir UMA outra reta paralela a primeira e que passa pelo ponto.

34 Na geometria elíptica não há nenhuma curva paralela à primeira. Na geometria hiperbólica há mais de uma curva paralela à primeira. Espaços não-euclidianos de curvatura constante

35 De forma mais geral, define o que chamamos de espaço-tempo, onde Geometria não defini a topologia!!!!

36 A métrica de um espaço-tempo homogêneo e isotrópico Vamos considerar inicialmente um universo unidimensional descrito por um círculo de raio R imerso em um plano. A maneira correta de se medir distâncias neste espaço é: A curvatura tem que ser levada em conta!!! φ x1x1 x2x2

37 Consideremos agora um espaço bidimensional imerso em um tridimensional. Um habitante neste espaço bidimensional consegue entender localmente o significado de x 1 e x 2, mas não x 3. Para levar em conta o efeito da curvatura: A métrica de um espaço-tempo homogêneo e isotrópico Não é possível ter acesso a R e θ. No máximo, ele terá informação da projeção de r=Rsenθ sobre sua superfície bidimensional!!!

38 No caso de um espaço tridimensional como o nosso imerso em um espaço de 4 dimensões, define-se a hiperesfera: Da mesma maneira que no slide anterior, a coordenada ψ é inacessível. O máximo que podemos ter acesso é a projeção r=Rsenψ em nossa hiper-superfície. De forma que: De forma geral: onde k=1,0 e -1 representam, respectivamente uma hiper-esfera, plano tridimensional e pseudo-esfera (raio imaginário).

39 Postulado de Weyl (1923) Postulado de Weyl (1923): Apenas uma geodésica passa em cada ponto do espaço-tempo. Isto quer dizer que : geodésicas não se interceptam, exceto na singularidade inicial. Em cada ponto do espaço-tempo o substrato cósmico possui uma única velocidade. As geodésicas do substrato são ortogonais a hipersuperfícies tipo-espaço. Não podendo existir termos cruzados dtdx, dtdy, dtdz no elemento ds. O substrato é um fluido perfeito. O sistema de coordenadas é comóvel a expansão

40 Medidas de distâncias no espaço-tempo homogêneo, istrópico e expansão

41 A métrica de Friedmann-Robertson-Walker As coordenadas r, θ e φ são coordenadas comóveis com a expansão, ou seja, o sistema de coordenadas expande junto com o universo. Observadores nestas coordenadas são chamados “comóveis” e possuem coordenadas fixas ao longo da evolução cósmica. A coordenada t é o tempo comóvel, e é o tempo decorrido desde o Big Bang de acordo com um relógio de um observador comóvel. Somente um observador comóvel ver o universo homogêneo e isotrópico.

42 Algumas perguntas intrigantes Estão as galáxias dispostas sobre a superfície de uma esfera? Não!!!! O termo "universo" refere-se ao espaço, ou a matéria, ou a ambos? Na visão newtoniana o espaço era apenas o "vazio" em que a matéria “vivia”. Einstein mostrou que o espaço-tempo tem estrutura: é flexível e é distorcido na presença de matéria-energia. Além disso, matéria e anti-matéria são rotineiramente criadas em laboratório a partir próprio espaço, os tipos de partículas que podem existir refletem a estrutura do espaço. O termo universo se refer a toda estrutura espaço-temporal e material-energética. O Universo explodiu a partir de um ponto? Não!!!!!!!!!!!!!!!!Não!!!!!!!!!!!!Não!!!!!!!!!!!!!......NÃO! O big bang não foi uma explosão que arremessou a matéria para fora. Não existe o fora! Explosão requer uma forte anisotropia de matéria e pressão que não é observado. O que ocorreu foi uma súbita expansão isotrópica do espaço que já estava preenchido com energia. Não havia nenhum centro da expansão. O que podemos afirmar é que universo observável foi extremamente quente, denso e pequeno. O que existiu antes do Big-Bang? As teorias da física só se aplicam do presente até a era Planck t= s. Antes disso é especulação!!!

43 Para onde o Universo expande? Existe um observador central para cada universo observável, mas não para o Universo! Descobrir as propriedades do espaço continua sendo um dos problemas mais profundos e mais importantes da ciência moderna.

44 O tensor de energia-momento do fluido perfeito O tensor de energia momento é uma combinação de densidade de energia, densidade de momento e densidade do fluxo de momento.

45 O tensor de energia-momento do fluido perfeito Considere um sistema constituído de um conjunto de partículas sem pressão (que não interagem entre si). Considere um observador que não está em repouso com o fluido. Suponhamos que em um certo instante a densidade de partículas seja n e a velocidade do fluido v: Densidade de energia: produto do número de partículas por unidade de volume pela energia por partícula: Densidade de momento: Densidade do Fluxo de momento: O fluxo de momento xy é definido como a quantidade de momento x que flui na direção y por unidade de área, por unidade de tempo. Como o momento x por partícula é mγv x o fluxo de momento xy será: Nas coordenadas comóveis (c=1) c=1

46 Resumo Teoria da Relatividade Geral (1917) Propriedades Geométricas do Espaço-TempoConteúdo Material Energético O Princípio Cosmológico: o Universo é homogêneo e isotrópico em largas escalas (>100 Mpc ≈ cm). A métrica homogênea e isotrópica: Métrica de Friedmann- Robertson-Lemâitre-Walker. a(t) é o fator de escala e k o parâmetro que define a curvatura das seções espaciais, podendo ser 0, 1 e -1.

47 Conteúdo Energético: Tensor de Energia-Momento para um fluido perfeito, caracterizado por sua densidade de energia e pressão isotrópica. Não possui esforços de cisalhamento e viscosidade. Equações Dinâmicas para o Universo Postulado de Weyl (1923): Apenas uma geodésica passa em cada ponto do espaço-tempo.


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