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Profa. Dra. Maria Ivanilde Silva Araújo 1Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde.

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1 Profa. Dra. Maria Ivanilde Silva Araújo 1Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

2 Probabilidade Experimento Aleatório Espaço Amostral Eventos Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde2

3 Experimento Aleatório Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos varias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde3

4 Espaço Amostral A cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. Já ao lançarmos um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde4

5 Espaço Amostral Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome de espaço amostral ou conjunto universo, representados por S ou . Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde5

6 Eventos Chamamos de eventos qualquer subconjunto do espaço amostral  de um experimento aleatório. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde6

7 Probabilidade Procura quantificar as incertezas existentes em determinada situação. Não é possível fazer inferências estatísticas sem utilizar alguns resultados da teoria das probabilidades. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde7

8 Objetiva: Clássica Def.: Se um evento pode ocorrer em N maneiras mutuamente excludentes e igualmente prováveis, e se m dessas ocorrências tem uma característica E, então a probabilidade de ocorrência de E é: P(E) = m/N Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde8

9 Freqüência relativa Def.: Se algum processo é repetido um grande número de vezes, n, e se algum evento com característica E ocorre m vezes, a freqüência relativa m/n é aproximadamente igual à probabilidade de E: P(E) Obs.: m/n é apenas uma estimativa de P(E). Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde9

10 Propriedades Gerais Seja  um experimento aleatório e  espaço amostral associado a . A cada evento A associa-se um número real representado por P(A) que é denominado probabilidade de A que satisfaça às seguintes propriedades: 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(  ) = 1 Se A e B são eventos mutuamente exclusivos então: P(A U B) = P(A) + P(B) Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde10

11 Probabilidade com Eventos Várias conseqüências relacionadas a P(A) decorrem das condições citadas anteriormente.  Se A for o evento vazio (  ), então: P(A) = P(  ) = 0  Se A e B são dois eventos quaisquer, então: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)  Se for o evento complementar de A então: P( ) = 1 – P(A) Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde11

12 Probabilidade Condicional Sejam A e B dois eventos associados ao experimento . Denotaremos por P(B|A) a probabilidade condicionada do evento B, quando A tiver ocorrido. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde12

13 Exemplo: Resultado do desempenho de um novo teste de diagnóstico para câncer de mama em 200 pacientes com nódulo mamário único. Biópsia Novo Teste Sensibilidade = P(Novo Teste+| Biópsia +) = 65/100 Especificidade = P(Novo Test -| Biópsia -) = 30/100 VPP (do teste) = P(Biopsia +|NovoTest +) = 65/135 VPN (do teste) = P(Biópsia -|NovoTest -) = 30/65 PositivoNegativo Positivo Negativo Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde13

14 Independência de Eventos Dado dois eventos A e B de um espaço amostral , diremos que A independe de B se: P(A | B) = P(A) Isto é, independe de B se a ocorrência de B não afeta a probabilidade de A. Dois eventos A e B são chamados independentes se P(A  B) = P(A) x P(B). Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde14

15 Variável Aleatória Quando os valores assumidos por uma variável são o produto de fatores casuais e estes não podem ser preditos com exatidão, esta variável é chamada de aleatória. Exemplo: número de alunos aprovados no primeiro período 2014 da UFAM no curso de Odontologia. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde15

16 Variável Aleatória Se a variável aleatória pode assumir somente um particular conjunto de valores (finito ou infinito enumerável), diz-se que é uma variável aleatória discreta. Uma variável aleatória é dita contínua se pode assumir qualquer valor em um certo intervalo. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde16

17 Função de Probabilidade É a probabilidade de que uma variável aleatória “X” assuma o valor “x”. É representada por P(X = x) ou P(x) e pode ser:  Discreta  Contínua Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde17

18 Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta É a função de probabilidade no ponto, ou seja, é o conjunto de pares (x i ; P(x i )), para i = 1, 2,..., n,... Para cada possível resultado de x teremos: (i) 0 ≤ P(x) ≤ 1 (ii) Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde18

19 Esperança e Variância de uma variável aleatória discreta Esperança de X, Variância de X, ou Var(X) = E(X²) – [E(X)]² Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde19

20 Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Contínua É uma função de probabilidade quando X é definida sobre um espaço amostral contínuo. Se quisermos calcular a probabilidade de X assumir um valor x entre “a” e “b” devemos calcular: Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde20

21 Distribuição de Probabilidade de uma Variável Aleatória Contínua Onde a curva limitada pela área em relação aos valores de x é igual a 1 f(x) x a b Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde21

22 Função de Densidade de Probabilidade A função f(x) é uma função de densidade de probabilidade (f. d. p.) para uma v. a. contínua X, definida nos reais quando Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde22

23 Distribuições de Probabilidade Binomial Poisson Normal Normal Padrão Qui-quadrado t-student F de Snedecor Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde23

24 Distribuição Binomial 1)Os ensaios são independentes; 2)Cada resultado do ensaio pode assumir somente uma de duas possibilidades: sucesso ou fracasso; 3)A probabilidade de sucesso em cada ensaio, denotado por p, permanece constante. Um experimento aleatório é chamado binomial se em n repetições: Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde24

25 Distribuição Binomial A probabilidade de obtermos exatamente x sucessos em n tentativas é: E(X) = np e Var(X) = np(1 – p) Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde25

26 Exemplo: Uma mulher engravida 20 vezes. Qual a probabilidade de nascerem 8 meninas? Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde26

27 Solução: Seja X: número de sucessos (meninas); m = nascer menina. X = 0, 1, 2,..., 20  p = P(m) =  X~ B P(X = 8) = Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde27

28 Exemplo: Suponha que 30% dos indivíduos de uma população sejam contrárias a um projeto de saneamento municipal. Se sortearmos 10 indivíduos desta população (amostra) qual é a probabilidade estimada de que exatamente 4 indivíduos sejam favoráveis? Seja X o nº de indivíduos favoráveis; P(X = 4) = Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde28

29 Distribuição Normal A distribuição normal é uma distribuição em forma de sino que é usada muito extensivamente em aplicações estatísticas em campos bem variados. Sua densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por: Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde29

30 Distribuição Normal Sua média é  e sua variância é  2. Quando X tem uma distribuição normal com média  e variância  2, escrevemos, de forma compacta, X  N ( ,  2 ). Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde30

31 Distribuição Normal Características: Simétrica em relação à média  ; A média, moda e mediana são iguais; A área total sob a curva é igual a 1, 50% à esquerda e 50% à direita da média. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde31

32 Distribuição Normal A área entre  - 1  e  + 1  é aproximadamente 68% Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde32

33 Distribuição Normal A área entre  - 2  e  + 2  é aproximadamente 95% Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde33

34 Distribuição Normal A área entre  - 3  e  + 3  é aproximadamente 99,7% Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde34

35 Distribuição Normal A distribuição normal é completamente determinada pelos parâmetros  e  Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde35

36 Distribuição Normal Padrão Caracterizada pela média igual a zero e desvio padrão igual a 1. Se X tem distribuição normal com média  e variância  2 então: Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde36

37 Distribuição Normal Exemplo: (Predição de uma valor) Suponha uma população normal com colesterol médio de 200mg% e desvio padrão de 20mg%. Qual é a probabilidade de um indivíduo sorteado ao acaso desta população apresentar um colesterol entre 200 e 225 mg%? A estatística Z mede quanto um determinado valor afasta-se da média em unidades de desvio padrão (quando coincide c/ a média, o escore é Z = 0) 37Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

38 Distribuição Normal Consultando a Tabela de Distribuição normal, ou um programa estatístico vemos que a probabilidade de Z assumir valor entre 0 e Z = 1,25 é 0,3944 ou 39,44 38Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

39 Exemplo: Seja X: N(100, 25). Calcular:  = 100 e  = 5 → Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde39

40 Solução: a)P(100  X  106 ) P(100  X  106 ) = = P(0  Z  1,2 ) = 0, Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde40

41 Solução: b) P(89  X  107) P(89  X  107) = = P(-2,2  Z  1,4) = P(-2,2  Z  0) + P(0  Z  1,4) = 0, , = 0,90534 Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde41

42 Exemplo: Sendo X: N(50, 16), determinar X  tal que:  = 50,  = 4 a) P(X  X  ) = 0,05 Procurando no corpo da tabela 0,45 (0,5 – 0,05), encontramos: Z  = 1,64 como →  X  = 56,56  P(X  56,56) = 0,05 Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde42

43 Solução: b) P(X  X  ) = 0,99 Procurando no corpo da tabela 0,49 (0,5 – 0,01), encontramos: Z  = 2,32  X  = 59,28  P(X  59,28) = 0,99 Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde43

44 Distribuição  2 (Qui-quadrado) Uma v. a. contínua Y, com valores positivos, tem uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade (denotada por χ² (n) ), se sua densidade for dada por E(Y) = n, Var(Y) = 2n. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde44

45 A Distribuição  2 (Qui-quadrado) pode ser vista como:  O quadrado de uma v.a. com distribuição normal padrão é uma v.a. com distribuição  2 (1) ( seja Z~N(0,1) e considere Y = Z 2. Então Y~  2 (1) );  A distribuição  2 n é a distribuição da soma de n variáveis normais independentes padronizadas. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde45

46 Se X  N(0, 1) e Y   2 n e X e Y são independentes, então t = tem densidade dada por tal v. a. tem distribuição t com n graus de liberdade. E(t) = 0, Var(t) =. Distribuição t de Student Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde46

47 A distribuição t é uma distribuição simétrica como a normal, um pouco mais achatada e com caudas mais longas que a normal. Quando o tamanho da amostra cresce, a distribuição t se aproxima da normal. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde47

48 Distribuição F Se Y 1  e Y 2  e Y 1 e Y 2 são independentes, então W = tem densidade dada por tal v. a. tem distribuição F com graus de liberdade n 1 e n 2. Escrevemos W  F(v,r). E(W) =, Var(W) = Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde48

49 Distribuições de Probabilidade ,00,00000,00400,00800,01200,01600,01990,0239 0,10,03980,04380,04780,05170,05570,05960,0636 0,20,07930,08320,08710,09100,09480,09870,1026 0,30,11790,12170,12550,12930,13310,13680,1406 0,40,15540,15910,16280,16640,17000,17360,1772 0,50,19150,19500,19850,20190,20540,20880,2123 0,60,22570,22910,23240,23570,23890,24220,2454 0,70,25800,26110,26420,26730,27030,27340,2764 0,80,28810,29100,29390,29670,29950,30230,3051 0,90,31590,31860,32120,32380,32640,32890,3315 1,00,34130,34380,34610,34850,35080,35310,3554 1,10,36430,36650,36860,37080,37290,37490,3770 1,20,38490,38690,38880,39070,39250,39440,3962 1,30,40320,40490,40660,40820,40990,41150,4131 1,40,41920,42070,42220,42360,42510,42650,4279 Probabilidade de ocorrer valor entre zero e 1,25 49Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

50 Tipos de Estimações de Parâmetros i) Estimação Pontual ii) Estimação Intervalar Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde50

51 Estimador e estimativa Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde51

52 Estimação intervalar Limitação da estimação pontual  desconhecimento da magnitude do erro que se está cometendo; Surge a idéia da construção de um intervalo que contenha, com um nível de confiança conhecido, “ valor verdadeiro do parâmetro”; baseado na distribuição amostral do estimador pontual. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde52

53 Erro Máximo da Estimativa Representa a diferença máxima (erro) que será permitida entre a estimativa pontual ( ) e o valor verdadeiro do parâmetro que está sendo estudado (μ). Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde53

54 Erro LI – Limite Inferior LS – Limite Superior Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde54

55 Intervalo de Confiança da Média Populacional LI – Limite Inferior LS – Limite Superior Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde55

56 Intervalo de confiança com variância desconhecida Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde56

57 Estimação Intervalar É o intervalo definido pela estimativa pontual mais ou menos o erro máximo da estimativa. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde57

58 Média populacional, quando σ é desconhecido IC para média; Estatística de t de Student. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde58

59 Intervalo de confiança da média Substituindo o t Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde59

60 Intervalo de Confiança da média Na tabela de t de Student Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde60

61 Amostra de tamanho n ≤ 30 Para amostra de tamanho n ≤ 30 da população de interesse; Calcule os valores de e S; Escolha o valor do coeficiente de confiança 1 – α ; Determine os valores de t (α/2;n – 1) apartir da tabela da distribuição t de Student; Calcule os limites do intervalo de confiança. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde61

62 Intervalo de Confiança da média Com um nível de confiança Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde62

63 Encontre: média e desvio padrão Média Desvio Padrão Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde63

64 Como calcular o Intervalo de Confiança da média ? Os intervalos de confiança da média Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde64

65 Encontre o valor de t de Student gln-1α 0,050,01 24,3039, ,3063,355 1,9602,576 n-1 Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde65

66 Como calcular o intervalo de confiança da média? Os intervalos inferior e superior Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde66

67 Exemplo Uma amostra de tamanho 9, extraída de uma população normal com = 1,0 e S = 0,264. Construir intervalos de 95% e 99% de confiança para média populacional. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde67

68 Resultado Para 1 – α = 95%  α = 0,05; α/2 = 0,025 graus de liberdade = 9 – 1 = 8, = 1,0 e S = 0,264. [0,797; 1,203]. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde68

69 Resultado Para 1 – α = 99%  α = 0,01; α/2 = 0,005 graus de liberdade = 9 – 1 = 8. Intervalo: ∆  [3,355(0,264/3)] =0,088 LI=0,912 LS=1,088 [0,912; 1,088]. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde69

70 Resultado Para 1 – α = 95%  α = 0,05; gl = 9 – 1 = 8. [0,797; 1,203]. Intervalo:  [0,797; 1,203]. Para 1 – α = 99%  α = 0,01; gl = 9 – 1 = 8. [0,705; 1,295]. Intervalo:  [0,705; 1,295]. Nota Nota: aumentando o nível de confiança, o tamanho do intervalo também aumenta. Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde70

71 Estimação da média Estimativa por ponto, a qual consiste em apenas um valor da média=1; O intervalo de confiança para o parâmetro (μ), estamos fazendo uma estimativa por intervalo. [0,797; 1,203] Intervalo de 95% de confiança [0,797; 1,203]; [0,705; 1,295] Intervalo de 99% de confiança [0,705; 1,295]; Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde71

72 Tabela 1 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro (físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época seca. Parâmetros Químicos e Biológicos São Raimundo EducandosTarumã Limites do CONAMA 357 InferiorSuperiorInferiorSuperiorInferiorSuperior pH5,887,155,146,664,695,23 6 a 9 Cond. Elétrica 73,8233,92109,46283,388,3710,7- Turbidez12,3638,144,1421,03023,84<40unt O20,913,91,492,925,476,97>6mg/L NO30,10,250,080,30,020,0610,0m/L NH40,374,113,48600,07- Ferro Total 0,311,560,612,830,060,37- Ferro Dissolvido 0,010,1501,140,010,080,3mg/L Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde72

73 Tabela 2 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro (físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época chuvosa. Parâmetros Químicos e Biológicos São Raimundo EducandosTarumã Limites do CONAMA 357 InferiorSuperiorInferiorSuperior Inferio r Superior pH5,327,15,156,664,65,24 6 a 9 Cond. Elétrica 66,63218,1892,88249,766,9913,8- Turbidez2,9931,6768,09274,550,1912,98<40unt O21,162,691,524,656,657,73>6mg/L NO30,040,260,010,520,020,0410,0m/L NH41,266,441,595,350,130,21- Ferro Total 0,874,020,874,010,070,38- Ferro Dissolvido 0,040,120,060,20,020,060,3mg/L Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde73

74 Intervalo de confiança para a média da população quando é conhecido. Intervalo de confiança para a média da população quando é desconhecido. Intervalo de confiança para a variância da população. Intervalo de confiança para o desvio-padrão da população. Intervalo de confiança para uma proporção populacional Estimação por intervalo Teoria da estimação Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde74

75 Exercício prático Considerando-se que uma amostra de cem elementos extraídas de uma população aproximadamente normal, cujo desvio-padrão é igual a 2,0, forneceu média =35,6, construir um intervalo de 95% de confiança para a média dessa população Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde75


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