Curso de Nivelamento Equações do 1º e 2º grau

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1 Curso de Nivelamento Equações do 1º e 2º grau
Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo Recife

2 Contatos Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo
Apelido: Alexandre Cordel /gtalk: Site: Celular: (81)

3 O que são equações? Em matemática, uma equação é uma sentença aberta, ou seja, uma sentença que apresenta letras, expressa por uma igualdade envolvendo expressões matemáticas. Estas possuem 2 membros, o 1º está à esquerda da igualdade e o 2º está à direita. No caso, estamos tratando de equações de 1º grau, por isso o expoente da variável é sempre dada por 1. Ex: x = 16 1º MEMBRO º MEMBRO

4 Raízes de uma equação A raiz de uma equação é o valor que a torna verdadeira, ou seja, que ao substituí-la podemos encontrar o mesmo resultado. Ex: Seu João foi comprar x laranjas e 3x tomates. Se x é igual a 2, quantas laranjas e tomates Seu João comprou ? x + 3x = = 8 R= Ele comprou 2 laranjas e 6 tomates.

5 EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões
EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras . 3x+5=2-x+4 Sou equação 3+(5-2-4) = 3+1 Não sou equação 1º membro º membro termos: ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x incógnita: x termos com incógnita: 3x ; - x ; termos independentes: -2 ; -4

6 Solução de uma equação: é um número que colocado no
Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira 6 SOLUÇÃO 5 SOLUÇÃO Equações equivalentes: Mesmo conjunto solução

7 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

8 Equações sem parênteses e sem denominadores
Resolver uma equação é determinar a sua solução. Numa equação podemos mudar termos de um membro para o outro, desde que lhes troquemos o sinal Num dos membros ficam os termos com incógnita e no outro os termos independentes efetuamos as operações. Dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita. Conjunto solução Determinamos a solução.

9 EQUAÇÕES E A IDEIA DA BALANÇA
Imagine que alguém colocou quatro objetos iguais em um dos pratos da balança e dois pesinhos (que você sabe quanto pesam!). Se os pratos ficarem equilibrados, quer dizer que os objetos de um lado têm a mesma massa das do outro.

10 Como você não sabe quanto pesam os cubinhos, você vai dizer que eles pesam "x":

11 Se for colocado um objeto x de cada lado, a balança continua em equilíbrio, já que é a mesma massa que foi adicionada a cada lado.

12 Agora imagine outra situação
Agora imagine outra situação. Em uma dessas balanças de pratinho, você tem, de um lado, 5 pesinhos de valor desconhecido e um pesinho de 31 gramas. Do outro, um pesinho de 86 gramas. E os dois lados estão em equilíbrio. Quanto pesará, então, cada um dos pesinhos?

13 Podemos começar retirando 31 gramas de cada lado da balança
Podemos começar retirando 31 gramas de cada lado da balança. De um lado, você terá apenas os pesinhos de massa x gramas. Do outro, gramas.

14 Como você tem 5 pesinhos, e quer saber quanto pesaria um deles sozinho, divida, os dois lados, por 5 . Sua equação está resolvida!

15 EQUAÇÕES COM PARÊNTESES
simplificação de expressões com parênteses: Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses trocando os sinais dos termos que estão dentro Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os sinais que estão dentro. Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva.

16 Como resolver uma equação com parênteses.
Eliminar parênteses. Agrupar os termos com incógnita. Efetuar as operações Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita Determinar a solução, de forma simplificada. C.S =

17 EQUAÇÕES COM DENOMINADORES
Redui-se todos os termos ao mesmo denominador. Duas frações com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais.

18 Sinal menos antes de uma fração
O sinal menos que se encontra antes da fração afeta todos os termos do numerador. Esta fração pode ser apresentada da seguinte forma Começamos por “desdobrar” a fração que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!) Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores. 1 (2) (6) (3)

19 EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES
Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores (3) (2) C.S.=

20 Dizemos que uma equação do 1º grau está na forma canónica se está escrita na forma
com a e b  IR.

21 Para as atividades que se seguem imaginem uma balança de dois braço em equilíbrio!
1) Qual é o peso do cachorro? 9kg 2) Desenvolva a Equação. x + 16 = 25

22 3) Os dois sacos tem pesos iguais. Quanto pesa cada saco?
6kg 4) Desenvolva a Equação. 2x = 12

23 5) As 3 caixas possuem o mesmo peso. Qual o peso de cada caixa?
6kg 6) Desenvolva a Equação. 3x = 18

24 7) Qual o peso do coelho? 2kg 8) Desenvolva a Equação. x = x + 3 = 5

25 9) As bolsas são iguais. Qual o peso de cada uma?
5kg 10) Desenvolva a Equação. 2x = x 2x = x + 5

26 Os processos da álgebra levados para a vida moderna são decisivos muitas vezes, para resumir experiências realizadas ou desenvolver roteiros que nos levam até a entender mistérios da natureza. Tente responder as questões abaixo: 1) Queremos cortar um pedaço de barbante de 30 cm de comprimento em duas partes não necessariamente iguais. Quanto deverá medir cada parte? 2) Agora se quer cortar um pedaço de barbante, também com 30 cm de comprimento, em duas partes de forma que uma dessas partes meça o dobro da outra. Quanto deverá medir cada parte? 3) O que se deseja é dividir um pedaço de barbante de 35 cm de comprimento em quatro partes de modo que uma dessas parte seja igual ao triplo de uma das outras três, quanto deverá medir cada parte? 4) Ache um número que: a) adicionado ao seu triplo resulte 20. b) somado com o seu quadrado resulte 30.

27 Problema ... A minha infância durou 1/6 de minha vida, a barba surgiu após 1 /12 depois de outro 1/7 de minha vida, casei-me. 5 anos depois nasceu meu filho, que viveu somente a metade de minha idade. Morri 4 anos após a morte do meu filho.... x _ 6 = + 12 7 5 2 4

28 Equação do 2º grau

29 Dizemos que uma equação do 2º grau está na forma canónica se está escrita na forma
com a, b e c  IR.

30 EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA
1) DEFINIÇÃO Chama-se de equação do 2º grau com uma incógnita, toda equação que assume a forma: ax² + bx + c = 0. Onde: x é a incógnita. a, b e c são números reais, com a ≠ 0. a é coeficiente do termo em x². b é coeficiente do termo em x. c é o coeficiente do termo independente de x.

31 Exemplos: a) 3x² + 4x + 1 = 0 (incógnita x) a = 3 b = 4 c = 1 (Equação completa) b) p² - 5p + 6 = 0 (incógnita p) a = 1 b = -5 c = 6 (Equação completa) c) -5t² + 7t – 2 = 0 (incógnita t) a = -5 b = 7 c = -2 (Equação completa) d) 2y² - 10y = 0 (incógnita y) a = 2 b = -10 c = 0 (Equação incompleta) e) 4z² = 0 (incógnita z) a = 4 b = 0 c = -100 (Equação incompleta) f) 7m² = 0 (incógnita m) a = 7 b = 0 c = 0 (Equação incompleta)

32 FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Uma equação do 2º grau, com uma incógnita, está na forma normal ou reduzida quando assume a forma geral ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Exemplos: x² - 7x = 0 y² - 81 = 0 -2t² + 5t – 2 = 0 -6m² + m = 0

33 FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Vejamos alguns exemplos de equações do 2º grau, com uma incógnita, que serão representadas na forma reduzida aplicando os princípios aditivo e multiplicativo das equações. x² - 16 = 48 x² - 16 – 48 = 0 - Aplicando o princípio aditivo. x² - 64 = Forma reduzida. b) y² + 2y = 3y + 1 y² + 2y – 3y – 1 = 0 - Aplicando o princípio aditivo. y² - y – 1 = 0 - Reduzindo os termos semelhantes. y² - y – 1 = 0 - Forma reduzida.

34 FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
(3m + 1)² = 7 – (m + 8)(m – 3) 9m² + 6m + 1 = 7 – m² - 5m Eliminando os parênteses. 9m² + m² + 6m + 5m + 1 – 7 – 24 = Aplicando o princípio aditivo. 10m² + 11m – 30 = Forma reduzida. d) - Reduzindo ao mesmo denominador. - Aplicando o princípio aditivo. - Forma reduzida.

35 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU
1º CASO: Equação do tipo ax² + bx = 0. O quadrado de um número real positivo é igual ao seu quíntuplo. Determine esse número. RESOLUÇÃO Representando o número procurado por x obtemos a equação: x² = 5x x² - 5x = Forma reduzida. x.(x – 5) = Fator comum em evidência. Para que o produto entre dois números reais seja igual a zero um desses dois números precisa ser zero. Logo: x = Uma raiz da equação. ou x – 5 = 0 x = 5 - Outra raiz da equação. As raízes da equação são 0 e 5. Resposta: Como o problema nos pede um número real positivo, concluímos que o número procurado é o 5.

36 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU
b) Determine os números reais que satisfazem a equação: 3m² - 21m = 0. RESOLUÇÃO 3m² - 21m = 0 m.(3m – 21) = 0 - Fator comum em evidência. m = Uma raiz da equação. ou 3m – 21= 0 m = Outra raiz da equação. As raízes da equação são 0 e 7. Resposta: Os números procurados são 0 e 7.

37 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU
2º CASO: Equação do tipo ax² + c = 0. a) Do quadrado de um número real subtraí 2 e obtive 34. Qual é esse número? RESOLUÇÃO Representando o número procurado por x, obtemos a equação: x² - 2 = 34 x² - 2 – 34 = 0 x² - 36 = 0 x² = 36 x = = +6 , pois ( )² = 36 x = = - 6 , pois ( )² = 36 x = ± 6 As raízes da equação são -6 e 6. Resposta: O número real procurado é -6 ou 6.

38 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU
b) Quais os valores reais de x que satisfazem a proporção: ? RESOLUÇÃO x² = 45 - Propriedade fundamental das proporções. x = - ou x = + x = - ou x = + x = ± As raízes da equação são - e + RESPOSTA: Os valores de x procurados são - e + .

39 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU
c) Existem números reais que satisfazem a equação m² + 9 = 0 ? RESOLUÇÃO m² + 9 = 0 m² = - 9 m = - ou m = + Temos que: não representa um número real. RESPOSTA: Não existem números reais que satisfaçam tal equação.

40 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU
Seja a equação do 2º grau na forma normal: ax² + bx + c = 0, com a≠0. Para determinarmos as raízes dessa equação, caso existam, utilizaremos a fórmula resolutiva de Bhaskara: Onde: b² - 4.a.c , é chamado de discriminante da equação e representado pela letra grega delta ( ). Assim:

41 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU
Se (positivo), a equação do 2º grau terá duas raízes reais e diferentes : x’ ≠ x”. Se (nulo), a equação terá duas raízes reais e iguais: x’ = x”. Se (negativo) , a equação não terá raízes reais: e

42 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU
Determine as raízes reais da equação: x² - 5x + 4 = 0. Temos que: a=1, b=-5 e c=4. Calculando o discriminante da equação, obtemos: Substituindo os valores na fórmula resolutiva de Bhaskara: A equação tem duas raízes reais e diferentes que são 1 e 4.

43 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU
b) Determine as raízes reais da equação: 3p² + 6p + 3 = 0. Calculando o discriminante, obtemos: Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara: A equação tem raízes reais e iguais. A raiz é -1.

44 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU
c) Determine as raízes reais da equação: 4y² - 2y + 1 = 0. Calculando o discriminante da equação: Aplicando na fórmula de Bhaskara, obtemos: Observe que no Conjunto dos Números Reais não existe raiz de índice par de radicando negativo. Logo, a equação não tem raízes reais.

45 SITUAÇÃO A Professora de Artes quer um painel retangular para a exposição educativa. Ela quer um painel que tenha 600 cm² de área. Mas, ela quer o painel com 10 cm a mais no comprimento do que na largura. RESOLUÇÃO Se representarmos por X a medida da largura da página, seu comprimento será representado por (X + 10). X X + 10 Sabemos que para determinarmos a área de um retangular devemos multiplicar o comprimento pela largura: (X + 10) . X Como a área tem que ser igual a 600, obtemos: (X + 10) . X = 600 Desenvolvendo o produto, no 1º membro: X² + 10X = 600 A equação X² + 10X = 600, é chamada de equação do 2º grau na variável X.

46 Substituindo na fórmula, podemos escrever a equação:
SITUAÇÃO 02 O número de diagonais de um polígono pode ser calculado pela fórmula matemática , em que d representa o número de diagonais e n representa o número de lados. Determine a equação que representa a quantidade de lados desse polígono, sabendo que o número de diagonais é igual ao número de lados. RESOLUÇÃO Se o número de diagonais (d) é igual ao número de lados (n), podemos escrever: d = n . Substituindo na fórmula, podemos escrever a equação: A equação 2n = n² - 3n é chamada de equação do 2º grau na variável n.

47 Curso de Nivelamento Equações do 1º e 2º grau
Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo Recife