SIMPLES COMPOSTOS i = 200% = 2 i = 200% = 2 t =

Apresentação em tema: "SIMPLES COMPOSTOS i = 200% = 2 i = 200% = 2 t ="— Transcrição da apresentação:

1 SIMPLES COMPOSTOS i = 200% = 2 i = 200% = 2 t = 1 100 200 100 200 300
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS SIMPLES COMPOSTOS Juros compostos é uma seqüência de juros simples. A primeira seqüência é igualzinha. Como os juros são reinvestidos, o montante vira capital na seqüência seguinte. O tempo será sempre igual a 1. Como um prédio: tem vários andares, mas cada andar é UM andar. Seqüência de juros simples, onde o juros é reinvestido. Assim, o montante de uma seqüência torna-se o capital da seqüência seguinte. Juros compostos é uma seqüência de juros simples. O primeiro período é igualzinho; nos outros, o capital é o montante do período anterior. i = 200% = 2 i = 200% = 2 t = 1 100 200 100 200 300 200 300 600 900 200 900 1.800 2.700 200 2.700 5.400 8.100 8.100 800 900

2 JUROS COMPOSTOS i = 200% = 2 (it)+1=3 t = 1 100 200 300 (it)+1=3 100 600 900 300 300 (it)+1=3 900 900 1.800 2.700 (it)+1=3 5.400 8.100 2.700 2.700 4 3 X 3 X 3 X 3 = 3 = 81

3 8.100 100 300 900 2.700

4 8.100 JUROS 8.100 8.100

5 (( i + 1 ) ^ n) Fator de Capitalização M = C * (( i + 1 ) ^ n)
JUROS COMPOSTOS (( i + 1 ) ^ n) resulta em um número que, multiplicado pelo Capital, gera o Montante. A este número chamamos de: Fator Multiplicador ou Fator de Capitalização 300 900 2.700 8.100 100 300 900 2.700 8.100 ((it)+1) (it)+1=3 (i*1)+1 i + 1 (it)+1=3 (it)+1=3 (2)+1 i + 1 3 i + 1 3 i + 1 3 3 4 3 X 3 X 3 X 3 = 3 = 81 3 = i + 1 4 = n (i + 1)^n M = C * (( i + 1 ) ^ n)

6 + + JUROS COMPOSTOS 100 200 100 100 M = J + C J = M - C 600 300 300
: Observe que: Montante = 100 * 81 Juros = 100 * 80 a diferença é: Capital = 100 * 1 Assim: Juros = 100 * (81-1) Observe que: Montante = 100 * 81 Juros = 100 * 80 a diferença é: Capital = 100 * 1 Assim: Juros = 100 * (81-1) Montante é igual a Juros + Capital M = J + C logo: Juros é igual a Montante - Capital J = M - C Sabendo-se que o Montante é igual a Juros + Capital, tem-se que Juros é igual a Montante - Capital. 600 300 300 900 1.800 900 + + 2.700 2.700 5.400 8.000 8.000 J = M - C J = M - C 8.100 M = C * (( i + 1 )^n) . M = C * (( i + 1 )^n) . J = C * ((( i + 1 )^n) - 1) J = C * ((( i + 1 )^n) - 1) J = C * ((( i + 1 )^n) - 1) J = C * ((( i + 1 )^n) - 1) J = C * ((( i + 1 )^n) - 1) J = C * ((( i + 1 )^n) - 1) J = C * (( i + 1 )^n) - C (( i + 1 )^n)

7 CALCULANDO O JURO J = M - C como C = M / (1+i)^n J = M - (M / (1+i)^n)
Temos uma subtração de frações (M/1) - (M / (1+i)^n) o denominador será (1+i)^n e o numerador será: M*((1+i)^n)-M ou M*((1+i)^n-1) A fórmula do Juro a partir do Montante é J = M *((1+i)^n-1) / (1+i)^n

8 i = (M/C)^(1/n)-1 JUROS COMPOSTOS CALCULANDO A TAXA
M = (( i + 1 )^n) * C . = * (( i + 1 )^4) . M = C * (( i + 1 )^n) . M/C = (( i + 1 )^n) 8.100/100 = (( i + 1 )^4) . M/C = (( i + 1 )^n) . (M/C)^(1/n) = ( i + 1 ) 81^(1/4) = ( i + 1 ) (M/C)^(1/n) = ( i + 1 ) 3-1 = i ou (M/C)^(1/n)-1 = i ou. (M/C)^(1/n)-1 = ( i * 100 ) / (M/C)^(1/n)-1 = i ou . 2 = ( i * 100)% (M/C)^(1/n)-1 = ( i * 100)% CALCULANDO A TAXA i = (M/C)^(1/n)-1 2 = i 3-1 = ( i ) = * (( i + 1 )^4) 81^(1/4) = ( i + 1 ) 8.100/100 = (( i + 1 )^4) . (M/C)^(1/n)-1 = i M = C * (( i + 1 )^n) . (M/C)^(1/n)-1 = ( i ) (M/C)^(1/n) = ( i + 1 ) M/C = (( i + 1 )^n).

9 10 = 5 * 2 logo: 5 = 10 / 2 M = C * (( i * t ) + 1)
CALCULANDO O CAPITAL JUROS COMPOSTOS CALCULANDO O CAPITAL M = C * (( i + 1 ) ^ n) M = C * (( i + 1 ) ^ n) t = 1 J = C * (( i + 1 ) ^ n) - 1 J = C * (( i + 1 ) ^ n) - 1 M=C+J i = ( M / C ) ^ ( 1/n ) - 1 10 = 5 * 2 logo: 5 = 10 / 2 C = M / (( i + 1 ) ^ n) C = J / ((( i + 1 ) ^ n) - 1)

10 100 . JUROS COMPOSTOS 300 900 2.700 8.100 Exemplo: após 4 períodos R$ 100,00, aplicados em juros compostos, transformaram-se em R$ 8.100,00. Qual o valor no final do 1º período? 300 900 100 300 900 2.700 8.100 2.700 8.100 3 3 3 3 a1 a2 a3 a4 a5 C A L C U L A N D O : 100 * = 100 * 3 (5-1) = a5 = Nas progressões geométricas um termo é igual à média geométrica de termos eqüidistantes. Assim, o 3º termo é igual à média geométrica do 1º e do 5º termo; o 2º é igual à média geométrica do 1º e do 3º termo. Média geométrica entre 2 números é a raiz quadrada do produto destes números. a1 = a5 = 8.100 (a1*a5)^(1/2) = a3 (a1*a3)^(1/2) = a2 a3=(100*8.100)^(1/2) a3=900 * q n = q é a razão q é a razão a1 an a2=(100*900)^(1/2) a2=300 C * (( i + 1 ) ^ n) = M

11 Fator de Capitalização multiplicado pelo Capital
100*((0,20 + 1)^3) = 172,80 100*((0,20 + 1)^1) = 120 100*((0,20 + 1)^2) = 144 M = C*((i + 1)^n) 100*((0,20 + 1)^4) = 207,36 Montante = 100 * 2,0736 taxa de 20% 20 + 24 28,8 34,56 20 + 24 28,8 34,56 Juros = 100 * ((1,2 ^ 4)-1) Juros = C * ((i+1) ^ n)-1) 1,20 * 1,20 1,44 34,56 + 20 24 28,8 1,44 * 1,20 1,728 172,80 + 34,56 207,36 1,728 * 1,20 2,0736 Fator Multiplicador ou Fator de Capitalização multiplicado pelo Capital resulta no Montante M = (100 * 1,0736) + (100 * 1) 34,56 + 28,8 + 24 + 20 +

12 C * (( i + 1 ) ^ n) = M 1,2 = 2,0736 JUROS COMPOSTOS 4 i = 20% = 0,2
(a1*a5)^(1/2) = a3 (100 * 207,36)^(1/2) = 144 i = 20% = 0,2 it +1=1,2 i +1=1,2 t = 1 (a1* a5) = (a2 * a4) a4 = (a1* a5) / a2 (a1* a5) = (a2 * a4) (100 * 207,36)=(120 * 172,80) = 100,00 20,00 120,00 1,2 100,00 24,00 144,00 120,00 120,00 1,2 28,80 172,80 144,00 144,00 1,2 34,56 207,36 172,80 172,80 4 C * (( i + 1 ) ^ n) = M Termos eqüidistantes têm produtos iguais e o termo do meio é a média geométrica de termos eqüidistantes. 1,2 = 2,0736 Fator de Capitalização

13 Quando falamos em juros, falamos de um
Capital aplicado por um tempo determinado, rendendo uma taxa que também tem um tempo determinado. Assim, a taxa pode ser mensal e a aplicação não ser mensal; ser trimestral, semestral ou anual. Não há mistério, elevaremos (i+1) a n vezes 3, 6 ou 12 , respectivamente. No caso inverso, ou seja: o tempo da taxa ser superior ao da aplicação eleva-se (i+1) a uma fração de numerador = n denominador = tempo da taxa.

14 M = C * (( i + 1) ^ n) M = C * (( i + 1 ) ^ (30/1))
Caso 3: R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao mês, durante 1 trimestre. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1, entretanto, representa 3 meses, portanto, elevamos (i+1) a (3/1) = (i+1)^3. Neste caso, a fórmula será: Caso 2: R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao mês, durante 1 semestre. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1, entretanto, representa 6 meses, portanto, elevamos (i+1) a (6/1) = (i+1)^6. Neste caso, a fórmula será: Caso 1: R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao mês, durante 1 ano. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1, entretanto, representa 12 meses, portanto, elevamos (i+1) a (12/1) = (i+1)^12. Neste caso, a fórmula será: Caso 4: R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao dia, durante 1 mês. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1, entretanto, representa 30 dias, portanto, elevamos (i+1) a (30/1) = (i+1)^30. Neste caso, a fórmula será: M = C * (( i + 1 ) ^ (30/1)) M = C * (( i + 1 ) ^ (3/1)) M = C * (( i + 1 ) ^ (6/1)) M = C * (( i + 1 ) ^ (12/1))

15 M = C * (( i + 1) ^ n) M = C * (( i + 1) ^ (360/1))
Se o tempo de aplicação for MAIOR do que o tempo da taxa, significa que receberemos esta taxa várias vezes. Assim, a exemplo, se a taxa é em dias e aplicamos por 1 ano temos 360/1 = 360 CONCLUSÃO Para obtermos a integralidade da taxa, é necessário um determinado tempo. Como uma fração que só atinge o seu valor inteiro, quando completa-se. Assim, um mês é 30/30, pois o mês está dividido em 30 partes (30 dias); assim como o ano, que pode estar dividido em 12 ou 360 partes, meses ou dias, respectivamente. Caso 6: R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao dia, durante 1 semestre. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1, entretanto, representa 180 dias, portanto, elevamos (i+1) a (180/1) = (i+1)^180. Neste caso, a fórmula será: Caso 7: R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao dia, durante 1 ANO. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1, entretanto, representa 360 dias, portanto, elevamos (i+1) a (360/1) = (i+1)^360. Neste caso, a fórmula será: Caso 5: R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao dia, durante 1 trimestre. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1, entretanto, representa 90 dias, portanto, elevamos (i+1) a (90/1) = (i+1)^90. Neste caso, a fórmula será: M = C * (( i + 1) ^ (360/1)) M = C * (( i + 1) ^ (180/1)) M = C * (( i + 1 ) ^ (90/1))

16 M = C * (( i + 1) ^ 1/n) M = C * (( i + 1) ^ (1/180))
Se o tempo de aplicação for MENOR do que o tempo da taxa, significa que NÃO receberemos esta taxa inteira, receberemos parte dela. Assim, a exemplo, se a taxa é ao ano e aplicamos por 49 dias teremos 49/360, ou seja, teremos 49 partes de um todo que se completava em 360 partes. CONCLUSÃO Para obtermos a integralidade da taxa, é necessário um determinado tempo. Como uma fração que só atinge o seu valor inteiro, quando completa-se. Assim, um mês é 30/30, pois o mês está dividido em 30 partes (30 dias); assim como o ano, que pode estar dividido em 12 ou 360 partes, meses ou dias, respectivamente. Em nossos exemplos, trabalhamos com o ano comercial, no qual o mês tem sempre 30 dias e o ano tem sempre 360 dias. O juro obtido é chamado de juro comercial ou juro ordinário. No juro exato, o ano tem 365 dias e o mês pode ter de 28 a 31 dias. Caso 2: R$ 100,00 à taxa de 200% ao semestre, durante 1 mês. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1 representa 1/ 6 do semestre, portanto, elevamos (i+1) a (1/6). Neste caso, a fórmula será: Caso 6: R$ 100,00 à taxa de 200% ao semestre, durante 1 dia. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1 representa 1/180 do semestre, portanto, elevamos (i+1) a (1/180). Neste caso, a fórmula será: Caso 5: R$ 100,00 à taxa de 200% ao trimestre, durante 1 dia. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1 representa 1/90 do trimestre, portanto, elevamos (i+1) a (1/90). Neste caso, a fórmula será: Se o tempo de aplicação for MENOR do que o tempo da taxa, significa que NÃO receberemos esta taxa inteira, receberemos parte dela. Nestes casos, teremos de tirar a raiz de quantas partes o todo se dividia e elevarmos a quantas partes temos do todo. Caso 3: R$ 100,00 à taxa de 200% ao trimestre, durante 1 mês. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1 representa 1/3 do trimestre, portanto, elevamos (i+1) a (1/3). Neste caso, a fórmula será: Caso 1: R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao ano, durante 1 mês. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1, entretanto, representa 1/12 do ano, portanto, elevamos (i+1) a (1/12). Neste caso, a fórmula será: Caso 4: R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao mês, durante 1 dia. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1, entretanto, representa 1/30 do mês, portanto, elevamos (i+1) a (1/30). Neste caso, a fórmula será: Caso 7: R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao ano, durante 1 DIA. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1. Este 1, entretanto, representa 1/360 do ano, portanto, elevamos (i+1) a (1/360). Neste caso, a fórmula será: Caso 8: R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao ano, durante 49 DIAS. Temos: i = 200/100 = 2 n = 49. Estes 49 representam 49/360 do ano, portanto, elevamos (i+1) a (49/360). Neste caso, a fórmula será: M = C * (( i + 1) ^ (1/180)) M = C * (( i + 1) ^ (49/360)) M = C * (( i + 1 ) ^ (1/90)) M = C * (( i + 1) ^ (1/360)) M = C * (( i + 1 ) ^ (1/3)) M = C * (( i + 1 ) ^ (1/12)) M = C * (( i + 1 ) ^ (1/6)) M = C * (( i + 1 ) ^ (1/30))

17 Clique aqui para continuar sem fazer os exercícios
Clique na planilha ao lado e faça os exercícios. Se esqueceu as fórmulas, não se preocupe: basta passar com o mouse sobre a célula da primeira linha que contém o assunto e a fórmula surgirá Mude os números dos campos de fundo azul e crie novos exercícios. Você pode parar a qualquer momento, basta clicar no botão FIM. Clique aqui para continuar sem fazer os exercícios

18 1 - Princípios Básicos - As Frações
2 - Porcentagem e Juros Simples 3 - Juros Compostos e Taxas 4 - Taxas e Descontos 5 - Tabelas Price e SAM Por: Amauri Pinheiro - Reg.Prof