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Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Proporcionalidade e Raciocínio Proporcional Sandra Marques Escola ???

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1 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Proporcionalidade e Raciocínio Proporcional Sandra Marques Escola ???

2 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Introdução O conceito de proporcionalidade e o raciocínio proporcional estão de tal forma interligados que não se pode mencionar um sem se referir o outro, tendo ambos grande importância no currículo de Matemática. Pretende-se: analisar as perspectivas teóricas e a investigação empírica realizada sobre este tema (em especial, sobre as dificuldades na aprendizagem dos alunos); identificar o seu lugar no currículo; passar em revista os estudos sobre a sua abordagem nos manuais escolares.

3 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 A perspectiva de Lesh, Post e Behr O raciocínio proporcional é fundamental na aprendizagem da Aritmética, Números e Medidas, bem como na aquisição de conceitos algébricos. Este raciocínio é desenvolvido quando o aluno: raciocina mediante relações globais entre expressões racionais (taxas, razões, quocientes e fracções); sintetiza vários aspectos relacionados com estas expressões; consegue inferir igualdade ou desigualdade entre elas; é capaz de descobrir partes omissas numa expressão;

4 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 reconhece que duas estruturas são idênticas; ultrapassa a noção simples de que dois membros de uma equação são iguais (8/4 = 5-3); faz comparações múltiplas (capacidade mental de lidar e processar informação dispersa); tem noção de co-variação; é capaz de pensar qualitativamente e quantitativamente. Desenvolvimento de competências locais A perspectiva de Lesh, Post e Behr (II)

5 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Alina Spinillo - Perspectiva Do seu ponto de vista, o raciocínio proporcional requer : o reconhecimento de equivalência entre situações distintas; o pensar em termos relativos em vez de o fazer em termos absolutos; a determinação de relações de segunda ordem que ligam duas ou mais relações de primeira ordem.

6 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Alina Spinillo - Estudo Objectivo do estudo (2002) Dotar as crianças da estratégia de metade; Determinar a equivalência ou não entre situações representadas por quantidades contínuas; Reflectir e trabalhar com relações de 1ª ordem. Resultados Independentemente da idade, as crianças que receberam a intervenção conseguiram alcançar um nível de compreensão mais elaborado sobre proporção do que as crianças dos outros dois grupos no pós-teste; As justificações dadas pelas crianças do grupo experimental, evidenciam comparações relativas (ao invés de absolutas) e capacidade de trabalhar relações de 2ª ordem.

7 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Resultados (cont.) Após a intervenção, percebe-se que as crianças estabelecem relações de 2ª ordem com base no referencial de metade; A estratégia de metade, aprendida numa determinada situação, é transferida para situações análogas e mais complexas; O referencial de metade facilita a determinação de relações de 1ª e de 2ª ordem. Conclusões do estudo Introdução do conceito de proporcionalidade em anos de escolaridade mais baixos que os actuais; Abordagem ao tema com base em situações-problema que possam ser resolvidas através da estratégia de metade e do uso de estimativas. Alina Spinillo – Estudo (II)

8 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Síntese de ideias fundamentais O raciocínio proporcional...... depende da aquisição de destrezas globais relacionadas com algumas estruturas cognitivas gerais (Psicologia do Desenvolvimento);... caracteriza-se por uma evolução crescente de competências locais (Educação Matemática). O desenvolvimento cognitivo que precede a evolução gradual destas competências locais assume grande importância na investigação e no ensino do raciocínio proporcional

9 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Principles and standards (NCTM, 2000) Pre-K-2 aquisição de noções simples de compreensão e representação de fracções como 1/2, 1/3 e 1/4; reconhecimento de padrões; capacidade de os classificar. Grades 3-5 desenvolvimento da compreensão de fracção como parte de um todo e como uma divisão; reconhecimento e criação de equivalência entre as formas mais simples de fracções, números decimais e percentagens (números de referência ½ e 1); desenvolvimento do raciocínio sobre relações matemáticas.

10 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Grades 6-8 expandir capacidades de raciocínio, nomeadamente o proporcional; aprofundar a competência crítica de conjecturas; fazer uso dos raciocínios indutivo e dedutivo; resolver problemas que envolvam razões, taxas, percentagens e operações. O raciocínio proporcional implica: - reconhecimento de quantidades proporcionais; - manipulação de números, tabelas, gráficos e equações. Principles and standards (NCTM, 2000) (II)

11 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Principles and standards (NCTM, 2000) (III) Números e operações Proporcionalidade Álgebra Geometria Medida Análise de dados e probabilidade O currículo deve prever o ensino-aprendizagem da proporcionalidade desde os primeiros anos de escolaridade, por tratar-se de um tópico central de inter-relacionamento com todos os outros tópicos e ter implicações para o sucesso da aprendizagem nos anos mais avançados.

12 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 PCN - Brasil 2º ciclo (3º e 4º anos do 1º ciclo) apresentação de situações problemáticas cujas soluções não estão no conjunto dos números inteiros (aproximação à noção de n.º racional); compreensão de n.º racional enquanto quociente, parte-todo e razão; uso de percentagem no contexto diário; cálculo simples de percentagens. 3º ciclo (5º e 6º anos do 2º ciclo) observação da variação entre grandezas, relacionando-as entre si; construção de estratégias de solução para resolver situações que envolvam proporcionalidade.

13 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Documentos portugueses Programa de Matemática Desenvolvimento do conceito de proporcionalidade directa Situações da vida real (problemas de percentagem e escalas) Conteúdos constante de proporcionalidade; proporções; percentagens e gráficos circulares; escalas.

14 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Documentos portugueses Currículo Nacional Números e Cálculo o aluno deve desenvolver o reconhecimento de situações de proporcionalidade directa;... a aptidão para usar o raciocínio proporcional em problemas diversos. 2º ciclo Álgebra e Funções ( ao longo de todos os ciclos )... analisar as relações numéricas de uma situação e concretizar, em alguns casos, relações entre variáveis e fórmulas;... procurar soluções de equações simples.

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16 Dificuldades no ensino-aprendizagem e suas origens Um dado incontornável da experiência de todos os professores é que os alunos sentem grandes dificuldades na compreensão dos conceitos inerentes à proporcionalidade e no desenvolvimento do raciocínio proporcional 1- O conceito é introduzido demasiado tarde (Streefland, 1985) 2- Currículo do ensino básico deficiente (Behr et al., 1992) 3- Professores mal preparados para a leccionação da Proporcionalidade (Araujo e Lopes, 2000)

17 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 A proporcionalidade nos manuais escolares Os manuais escolares são um dos recursos que os alunos e os professores dispõem no ensino-aprendizagem da Matemática, constituindo em muitos casos instrumento de trabalho de intensa utilização. Como não estão isentos de erros, incorrecções, desactualizações e seguem por vezes estratégias pouco adequadas a um ensino de qualidade, torna-se imperativo que sejam avaliados nas suas diversas vertentes.

18 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Estudo de Isabel Cabrita GrelhaGrelha de análise Resultados do estudo a metodologia usada é cíclica ou em espiral; os conceitos e definições tendem a surgir durante o tratamento das subunidades e na sequência de tarefas propostas; a resolução de problemas não é considerada um conteúdo de ensino- aprendizagem (final da unidade um conjunto de situações problemáticas); o conteúdo dos problemas é não-familiar, apesar de se relacionarem com a vida real; os dados são geralmente apresentados na forma algébrica e em quantidade suficiente para se proceder à sua resolução;

19 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 os problemas propostos visam vulgarmente razões do tipo permuta; problemas de natureza concreta, que contemplam grandezas discretas e envolvem tarefas físicas; os problemas são complexos, de resolução individual e exclusivamente escrita; os problemas traduzem situações de proporcionalidade directa; o processo de resolução mais sugerido é o produto cruzado; os números dos enunciados e das respostas são inteiros; respostas com solução única; a resolução dos problemas não evoca o uso de equipamento. Estudo de Isabel Cabrita (II)

20 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Shield e Dole Objectivo do estudo Perceber como estão retratados os conceitos proporcionais através: das definições usadas; dos exemplos resolvidos; dos exercícios/problemas propostos. de modo a identificar a metodologia subjacente

21 Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005 Resultados do estudo definições e exemplos resolvidos muito limitados; representação simbólica pouco significativa; pouca contextualização com a realidade; formas de resolução sugeridas pouco diversificadas; pouca relação entre estes temas e outros tópicos matemáticos. Shield e Dole (II) Os manuais analisados parecem ser muito circunscritos para auxiliar os alunos no desenvolvimento das competências do raciocínio proporcional, factor indiscutivelmente necessário no sucesso e na atribuição de sentido no ensino-aprendizagem da Matemática escolar.

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23 GrelhaGrelha para análise dos manuais GrelhaGrelha de análise de um manual ( Exemplo ) Análise de manuais - Espanhol + Português - Brasileiro + Português - Americano + Português

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25 Recomendações Uma maior necessidade de abordar os assuntos de uma forma cíclica ou em espiral; Permitir a interligação entre as diversas unidades curriculares; Uma maior quantidade e diversidade de problemas; Promover a discussão e avaliação das tarefas propostas, colocando questões como -O resultado a que chegaste está de acordo com os dados do problema? -O processo de resolução que utilizaste foi adequado? -Se alterasses a condição tal, que resultado seria de esperar? Estudo de Isabel Cabrita (III)


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