Proporcionalidade e Raciocínio Proporcional

Apresentação em tema: "Proporcionalidade e Raciocínio Proporcional"— Transcrição da apresentação:

1 Proporcionalidade e Raciocínio Proporcional
Sandra Marques Escola ??? Met. do Ensino da Mat

2 Introdução O conceito de proporcionalidade e o raciocínio proporcional estão de tal forma interligados que não se pode mencionar um sem se referir o outro, tendo ambos grande importância no currículo de Matemática. Pretende-se: analisar as perspectivas teóricas e a investigação empírica realizada sobre este tema (em especial, sobre as dificuldades na aprendizagem dos alunos); identificar o seu lugar no currículo; passar em revista os estudos sobre a sua abordagem nos manuais escolares. A seguir: Perspectiva de Lesh, Post e Behr, de 1988, pesquisadores norte-americanos de uma linha ligada à psicologia. Procurei compreender a noção de raciocínio proporcional que defendem num artigo intitulado Proportional reasoning. Met. do Ensino da Mat

3 A perspectiva de Lesh, Post e Behr
O raciocínio proporcional é fundamental na aprendizagem da Aritmética, Números e Medidas, bem como na aquisição de conceitos algébricos. Este raciocínio é desenvolvido quando o aluno: raciocina mediante relações globais entre expressões racionais (taxas, razões, quocientes e fracções); sintetiza vários aspectos relacionados com estas expressões; consegue inferir igualdade ou desigualdade entre elas; é capaz de descobrir partes omissas numa expressão; Introdução: Os autores perspectivam o raciocínio proporcional como pedra angular da Aritmética no ensino básico e como base essencial para a aprendizagem de todos os conceitos subsequentes. Não só na aquisição de conceitos algébricos, mas tb na aquisição de outros conceitos matemáticos de mais elaborada compreensão. Aspectos como equivalência, variável, transformação e invariância são alguns dos mais importantes conceitos algébricos. Met. do Ensino da Mat

4 Desenvolvimento de competências locais
A perspectiva de Lesh, Post e Behr (II) reconhece que duas estruturas são idênticas; ultrapassa a noção simples de que dois membros de uma equação são iguais (8/4 = 5-3); faz comparações múltiplas (capacidade mental de lidar e processar informação dispersa); tem noção de co-variação; é capaz de pensar qualitativamente e quantitativamente. Por exemplo, a equação 8/4=6-2 não deve ser considerada uma proporção, pois embora se trate de uma igualdade, n estão presentes as mesmas relações nem as mesmas operações. Competências locais- O raciocínio proporcional caracteriza-se mais por uma evolução progressiva das competências locais em contexto apropriado, do que pela aquisição de estratégias multifacetadas das estruturas cognitivas. A seguir: Spinillo – outra perspectiva do raciocínio proporcional Desenvolvimento de competências locais Met. do Ensino da Mat

5 Alina Spinillo - Perspectiva
Do seu ponto de vista, o raciocínio proporcional requer: o reconhecimento de equivalência entre situações distintas; o pensar em termos relativos em vez de o fazer em termos absolutos; a determinação de relações de segunda ordem que ligam duas ou mais relações de primeira ordem. Spinillo, investigadora brasileira (Dept. de Psicologia da Un. Federal de Pernambuco) com inúmeras publicações na área da proporcionalidade. Centrei-me em dois estudos de 1996 e 2002. Relações de 1ª e 2ª ordem- Nesta tarefa a relação de 1ª ordem é a que se estabelece entre concentrado de laranja e água (2:2 e 3:3). A relação de 2ª ordem consiste em comparar essas 2 relações para verificar se são ou não equivalentes. Considera as relações de 2ª ordem importantes, mas temporalmente é necessário adquirir primeiro as de 1ª ordem Antes de passar ao próximo diapositivo: Fez um estudo, em 2002, a 180 crianças de 6, 7 e 8 anos, q n tinham sido formalmente instruídas acerca do conceito de proporcionalidade. O estudo repartiu-se equitativamente em 3 grupos: o de controlo (pré e pós teste), o experimental (pré, intervenção específica- 2 a 3 entrevistas individuais com aplicação de diferentes tarefas e pós-teste) e um terceiro grupo (pré, tarefa sem acompanhamento e pós-teste). Met. do Ensino da Mat

6 Alina Spinillo - Estudo
Objectivo do estudo (2002) Dotar as crianças da estratégia de “metade”; Determinar a equivalência ou não entre situações representadas por quantidades contínuas; Reflectir e trabalhar com relações de 1ª ordem. Resultados Independentemente da idade, as crianças que receberam a intervenção conseguiram alcançar um nível de compreensão mais elaborado sobre proporção do que as crianças dos outros dois grupos no pós-teste; As justificações dadas pelas crianças do grupo experimental, evidenciam comparações relativas (ao invés de absolutas) e capacidade de trabalhar relações de 2ª ordem. Os resultados continuam no diapositivo seguinte... Met. do Ensino da Mat

7 Alina Spinillo – Estudo (II)
Resultados (cont.) Após a intervenção, percebe-se que as crianças estabelecem relações de 2ª ordem com base no referencial de “metade”; A estratégia de “metade”, aprendida numa determinada situação, é transferida para situações análogas e mais complexas; O referencial de “metade” facilita a determinação de relações de 1ª e de 2ª ordem. Conclusões do estudo Introdução do conceito de proporcionalidade em anos de escolaridade mais baixos que os actuais; Abordagem ao tema com base em situações-problema que possam ser resolvidas através da estratégia de “metade” e do uso de estimativas. Diapositivo seguinte: Conclusões e recomendações do estudo, com implicações directas no ensino da proporcionalidade. Met. do Ensino da Mat

8 Síntese de ideias fundamentais
O raciocínio proporcional... ... depende da aquisição de destrezas globais relacionadas com algumas estruturas cognitivas gerais (Psicologia do Desenvolvimento); ... caracteriza-se por uma evolução crescente de competências locais (Educação Matemática). Próximos diapositivos: A proporcionalidade no currículo (NCTM, PCN´s e documentos portugueses). NCTM: Principles and standards do NCTM (2000). O desenvolvimento cognitivo que precede a evolução gradual destas competências locais assume grande importância na investigação e no ensino do raciocínio proporcional Met. do Ensino da Mat

9 Principles and standards (NCTM, 2000)
Pre-K-2 aquisição de noções simples de compreensão e representação de fracções como 1/2, 1/3 e 1/4; reconhecimento de padrões; capacidade de os classificar. Grades 3-5 desenvolvimento da compreensão de fracção como parte de um todo e como uma divisão; reconhecimento e criação de equivalência entre as formas mais simples de fracções, números decimais e percentagens (números de referência ½ e 1); desenvolvimento do raciocínio sobre relações matemáticas. Os Curriculum and evaluation standards (1989, traduzido pela APM, 1991) falam de uma introdução informal do raciocínio proporcional no 1º ciclo. No 5-8 uma introdução gradual ao conceito, que passa pela utilização de razões de diversas formas para representar relações entre quantidades, começando a construir ideias como proporção, declive e n.º racional. Pre-k-2: o currículo deve incluir um conj. de tarefas contextualizadas 3-5: Met. do Ensino da Mat

10 Principles and standards (NCTM, 2000) (II)
Grades 6-8 expandir capacidades de raciocínio, nomeadamente o proporcional; aprofundar a competência crítica de conjecturas; fazer uso dos raciocínios indutivo e dedutivo; resolver problemas que envolvam razões, taxas, percentagens e operações. Ao alunos devem chegar ao 6º ano com a ideia de q a Mat. envolve a análise de padrões e regularidades, e a realização e avaliação das conjecturas por si feitas. Próximo diapositivo: Em jeito de conclusão, o NCTM (2000)... O raciocínio proporcional implica: reconhecimento de quantidades proporcionais; manipulação de números, tabelas, gráficos e equações. Met. do Ensino da Mat

11 Principles and standards (NCTM, 2000) (III)
Números e operações Proporcionalidade Álgebra Geometria Medida Análise de dados e probabilidade O currículo deve prever o ensino-aprendizagem da proporcionalidade desde os primeiros anos de escolaridade, por tratar-se de um tópico central de inter-relacionamento com todos os outros tópicos e ter implicações para o sucesso da aprendizagem nos anos mais avançados. Met. do Ensino da Mat

12 PCN - Brasil 2º ciclo (3º e 4º anos do 1º ciclo)
apresentação de situações problemáticas cujas soluções não estão no conjunto dos números inteiros (aproximação à noção de n.º racional); compreensão de n.º racional enquanto quociente, parte-todo e razão; uso de percentagem no contexto diário; cálculo simples de percentagens. 3º ciclo: maior aprofundamento na área da proporcionalidade. A seguir: Documentos portugueses – Programa de Mat. Do 2º ciclo (1991) e Currículo Nacional (2001) 3º ciclo (5º e 6º anos do 2º ciclo) observação da variação entre grandezas, relacionando-as entre si; construção de estratégias de solução para resolver situações que envolvam proporcionalidade. Met. do Ensino da Mat

13 Documentos portugueses Programa de Matemática
Desenvolvimento do conceito de proporcionalidade directa Situações da vida real (problemas de percentagem e escalas) Conteúdos constante de proporcionalidade; proporções; percentagens e gráficos circulares; escalas. Os conteúdos deverão ser desenvolvidas através do -reconhecimento de situações de proporcionalidade directa, -interpretação de uma percentagem num dado contexto, -resolução de problemas do quotidiano e -procurando determinar e utilizar a escala de um mapa ou de um desenho. A seguir: Currículo Nacional 2º ciclo. Met. do Ensino da Mat

14 Documentos portugueses
Currículo Nacional Números e Cálculo o aluno deve desenvolver o reconhecimento de situações de proporcionalidade directa; ... a aptidão para usar o raciocínio proporcional em problemas diversos. 2º ciclo Álgebra e Funções (ao longo de todos os ciclos) ... analisar as relações numéricas de uma situação e concretizar, em alguns casos, relações entre variáveis e fórmulas; ... procurar soluções de equações simples. A seguir: Dificuldades na aprendizagem da proporcionalidade Met. do Ensino da Mat

15 Met. do Ensino da Mat

16 Dificuldades no ensino-aprendizagem e suas origens
Um dado incontornável da experiência de todos os professores é que os alunos sentem grandes dificuldades na compreensão dos conceitos inerentes à proporcionalidade e no desenvolvimento do raciocínio proporcional 1- O conceito é introduzido demasiado tarde (Streefland, 1985) 2- Currículo do ensino básico deficiente (Behr et al., 1992) 3- Professores mal preparados para a leccionação da Proporcionalidade (Araujo e Lopes, 2000) 1- ...para se poder estabelecer conexões com a equivalência de fracções, escala e percentagem 2- ...que não inclui os conceitos básicos nem os princípios que se relacionam às estruturas multiplicativas necessários para, em anos de ensino posteriores, a aprendizagem sobre proporcionalidade se torne mais clara e menos problemática 3- (i) formação inicial de professores pouco exigente na área da proporcionalidade; (ii) ideia errónea de que a proporcionalidade é matéria só para o 6º ou 7º anos de escolaridade; (iii) pouca atenção dada ao raciocínio da criança na resolução de problemas; (iv) relativa inacessibilidade à consulta de pesquisas efectuadas na área da educação e, mais concretamente, no campo da proporcionalidade; (v) dificuldade dos professores em trabalhar exercícios ou problemas sobre proporcionalidade patente nos manuais escolares. Próximo slide: A proporcionalidade nos manuais escolares Met. do Ensino da Mat

17 A proporcionalidade nos manuais escolares
Os manuais escolares são um dos recursos que os alunos e os professores dispõem no ensino-aprendizagem da Matemática, constituindo em muitos casos instrumento de trabalho de intensa utilização. Como não estão isentos de erros, incorrecções, desactualizações e seguem por vezes estratégias pouco adequadas a um ensino de qualidade, torna-se imperativo que sejam avaliados nas suas diversas vertentes. A seguir: Isabel Cabrita (1996)- estudo centrado na resolução de problemas de proporcionalidade directa em manuais do 7º ano Met. do Ensino da Mat

18 Estudo de Isabel Cabrita
Grelha de análise Resultados do estudo a metodologia usada é cíclica ou em espiral; os conceitos e definições tendem a surgir “durante” o tratamento das subunidades e na sequência de tarefas propostas; a resolução de problemas não é considerada um conteúdo de ensino-aprendizagem (final da unidade um conjunto de situações problemáticas); o conteúdo dos problemas é não-familiar, apesar de se relacionarem com a vida real; os dados são geralmente apresentados na forma algébrica e em quantidade suficiente para se proceder à sua resolução; Met. do Ensino da Mat

19 Estudo de Isabel Cabrita (II)
os problemas propostos visam vulgarmente razões do tipo permuta; problemas de natureza concreta, que contemplam grandezas discretas e envolvem tarefas físicas; os problemas são complexos, de resolução individual e exclusivamente escrita; os problemas traduzem situações de proporcionalidade directa; o processo de resolução mais sugerido é o produto cruzado; os números dos enunciados e das respostas são inteiros; respostas com solução única; a resolução dos problemas não evoca o uso de equipamento. Produto cruzado: regra de 3 simples ou propriedade fundamental das proporções. A seguir: Recomendações propostas por Cabrita na sequência deste estudo Met. do Ensino da Mat

20 de modo a identificar a metodologia subjacente
Shield e Dole Objectivo do estudo Perceber como estão retratados os conceitos proporcionais através: das definições usadas; dos exemplos resolvidos; dos exercícios/problemas propostos. de modo a identificar a metodologia subjacente A seguir: Resultados do estudo de Shield e Dole Met. do Ensino da Mat

21 Shield e Dole (II) Resultados do estudo
definições e exemplos resolvidos muito limitados; representação simbólica pouco significativa; pouca contextualização com a realidade; formas de resolução sugeridas pouco diversificadas; pouca relação entre estes temas e outros tópicos matemáticos. A seguir: Último dispositivo, em jeito de síntese... Os manuais analisados parecem ser muito circunscritos para auxiliar os alunos no desenvolvimento das competências do raciocínio proporcional, factor indiscutivelmente necessário no sucesso e na atribuição de sentido no ensino-aprendizagem da Matemática escolar. Met. do Ensino da Mat

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23 Análise de manuais Espanhol + Português
Grelha para análise dos manuais Espanhol + Português Brasileiro + Português Americano + Português Grelha de análise de um manual (Exemplo) Met. do Ensino da Mat

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25 Estudo de Isabel Cabrita (III)
Recomendações Uma maior necessidade de abordar os assuntos de uma forma cíclica ou em espiral; Permitir a interligação entre as diversas unidades curriculares; Uma maior quantidade e diversidade de problemas; Promover a discussão e avaliação das tarefas propostas, colocando questões como O resultado a que chegaste está de acordo com os dados do problema? O processo de resolução que utilizaste foi adequado? Se alterasses a condição “tal”, que resultado seria de esperar? A seguir: Estudo de autores australianos, Shield e Dole, em 2002, sobre dois manuais, nos capítulos de Razão e Proporção e Razão e Taxas, nos “middle grades”. Met. do Ensino da Mat