Prof. Herondino V – Medida de Dispersão. Medidas de posição ou tendência central Propriedades da média aritmética 1.A média é um valor típico, ou seja,

Apresentação em tema: "Prof. Herondino V – Medida de Dispersão. Medidas de posição ou tendência central Propriedades da média aritmética 1.A média é um valor típico, ou seja,"— Transcrição da apresentação:

1 Prof. Herondino V – Medida de Dispersão

2 Medidas de posição ou tendência central Propriedades da média aritmética 1.A média é um valor típico, ou seja, ela é o centro de gravidade da distribuição, um ponto de equilíbrio. Seu valor pode ser substituído pelo valor de cada item na série de dados sem mudar o total. Simbolicamente temos: 2. A soma dos desvios das observações em relação a média é igual a zero. 3.A soma dos desvios elevados ao quadrado das observações em relação a média é menor que qualquer soma de quadrados de desvios em relação a qualquer outro número. Em outras palavras, é um mínimo.

3 Exemplo 1

4 Exemplo 2 4 alunos, José, Carlos, Antônio e Pedro, obtiveram as notas e medias, conforme mostra a tabela: Qual deles se saiu melhor? AlunosNotasMédia Antônio55555 Carlos64546 José105550 Pedro10 500

5 Exemplo 2 1º As nota de Antônio não variaram (dispersão nula) 2º As notas de Carlos variaram menos que as de José 3º As notas de Pedro variou mais que as dos outros três alunos. AlunosNotasMédiaMedianaModa Antônio55555 Carlos64546 José105550 Pedro10 500

6 Encontrando a variância (Nº de Ordem)(Nota de Carlos)( Média)(Desvios) (Quadrado dos desvios) 01 6 02 4 03 5 04 4 05 6 Total

7 A variância amostral A variância amostral é o somatório do quadrado dos desvios dividido pelo somatório das frequências menos um. ou Exemplo:

8 Variância pelos quadrados (Nº de Ordem)(Nota de Carlos) 01 6 02 4 03 5 04 4 05 6

9 Variância (Nº de Ordem)(Nota de Carlos) 01 636 02 416 03 525 04 416 05 636

10 AlunosNotasMédiaVariância Desvio Padrão Antônio555555 Carlos6454651 José1055505 Pedro10 5005

11 Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm)( Nº de alunos) 01 152 1589 02 158 1648 03 164 1705 04 170 1764 05 176 1823 06 182 1881 Total ( Ponto médio)

12 Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm)( Nº de alunos) 01 152 1589 02 158 1648 03 164 1705 04 170 1764 05 176 1823 06 182 1881 Total ( Ponto médio) 155 161 167 173 179 185

13 Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm)( Nº de alunos) 01 152 1589 02 158 1648 03 164 1705 04 170 1764 05 176 1823 06 182 1881 Total ( Ponto médio) 155 1395 161 1288 167 835 173 692 179 537 185 4932

14 Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm)( Nº de alunos) 01 152 1589 02 158 1648 03 164 1705 04 170 1764 05 176 1823 06 182 1881 Total ( Ponto médio) 155 1395164 161 1288164 167 835164 173 692164 179 537164 185 164 4932

15 Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm)( Nº de alunos) 01 152 1589 02 158 1648 03 164 1705 04 170 1764 05 176 1823 06 182 1881 Total ( Ponto médio) 155 1395164-9 161 1288164-3 167 8351643 173 6921649 179 53716415 185 16421 4932

16 Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm)( Nº de alunos) 01 152 1589 02 158 1648 03 164 1705 04 170 1764 05 176 1823 06 182 1881 Total ( Ponto médio) 155 1395164-981 161 1288164-39 167 83516439 173 692164981 179 53716415225 185 16421441 4932 846

17 Encontrando a variância

18

19 O desvio Padrão amostral O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Exemplo:

20 O desvio Padrão amostral O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Exemplo:

21 Estudo de Caso (utilizando a 2ª Formula) AlunosNotasMédiaVariância Desvio Padrão Antônio555555 Carlos645465 José1055505 Pedro10 5005

22 Nome da Medida Notação da Estatística adotada média aritmética e  medianaMd modaMo Variância e Desvio Padrão e

23 A variância Populacional A população é finita e consiste de N valores e uma estimativa da média da população

24 O desvio Padrão Populacional Observou-se anteriormente que a média da amostra pode ser utilizada como uma estimativa da média da população.

25 Coeficiente de Variação É a razão entre o desvio padrão e a média. O seu resultado é multiplicado por 100, para que o Coeficiente de Variação seja dado em porcentagem.

26 Coeficiente de Variação AlunosNotasMédiaVariância Desvio Padrão CV (%) Antônio555555 00,0 Carlos645465 11,0 José1055505 12,53,5 Pedro10 5005 255,0

27 Estudo de Caso – ATIVIDADE V Pesquisa de Resíduos Industriais - Análise de Dados Os dados de demanda bioquímica de oxigênio (DBO) (5 dias) apresentados na Tabela 5.1 foram obtidos a partir de uma pesquisa de águas residuais industriais (EPA dos EUA, 1973). A DBO de uma água é a quantidade de oxigênio necessária para oxidar a matéria orgânica por decomposição microbiana aeróbia para uma forma inorgânica estável. Na legislação do Estado de São Paulo, no Decreto Estadual n.º 8468, a DBO de cinco dias é padrão de emissão de esgotos diretamente nos corpos d’água, sendo exigidos uma DBO máxima de 60 mg/L ou uma eficiência global mínima do processo de tratamento igual a 80%.

28 Concentrações e contribuições unitárias típicas de DBO de esgoto doméstico e efluentes industriais.

29 Estudo de Caso - U.S. EPA 1973 Há 99 observações, cada medida de uma amostra composta, retirada num intervalo de 4 horas, dando seis observações diariamente por 16 dias, mais três observações sobre o 17º dia. O estudo foi realizado para avaliar a DBO média e para estimar a concentração que é excedida uma pequena fração do tempo (por exemplo, 10%). Esta informação é necessária para planejar um processo de tratamento. O padrão de variação também precisa ser visto porque vai influenciar a viabilidade de utilização de um processo de compensação para reduzir a variação da carga DBO.

30

31 Referência BERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield C.. Statistics for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London New York Washington, D.c: Lewis Publishers, 2002. MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2006. TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1999.