Solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas

Apresentação em tema: "Solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas"— Transcrição da apresentação:

1 Solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas
Solução da equação de Legendre

2 Equação de laplace em coordenadas esféricas
Vamos considerar agora a solução da Equação de Laplace em Coordenadas Esféricas. Nestas coordenadas, a equação de Laplace se escreve : Vamos utilizar a separação de variáveis. Para tanto vamos admitir soluções do tipo: Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS

3 Primeira constante de separação de variáveis
Equação em  Substituindo na equação diferencial: Vamos multiplicar toda a equação por: Portanto: Primeira constante de separação de variáveis Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS

4 Segunda constante de separação de variáveis
Equação em  Da segunda dessas equações podemos obter a função Q: Vamos agora separar as outras duas variáveis: Segunda constante de separação de variáveis Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS

5 Equação generalizada de legendre
A solução da equação radial é dada por: Para solucionar a equação em  vamos fazer uma substituição de variáveis: x = cos  o que nos leva a: Equação de Legendre Generalizada Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS

6 O método de frobenius Vamos primeiro analisar o que acontece quando m = 0. Neste caso, a equação generalizada de Legendre se reduz à equação de Legendre: Equação de Legendre Procuramos por uma solução que seja contínua, unívoca e finita para o intervalo –1  x  1 de modo a termos um potencial fisicamente real. Vamos testar soluções do tipo (Método de Frobenius): Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS

7 Equação indicial Substituindo essa série na eq. de Legendre, obtemos:
Vamos igualar agora os coeficientes de mesma potência de x a zero, começando por n = 0  x s – 2 : Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS

8 Caso 1: s = 0 Caso 1 : s = 0 Neste caso, impomos que o coeficiente a1 seja nulo: Sobram apenas as potências pares da série, cujo termo geral será dado por: Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS

9 Caso 2: s= 1 Com antes, o termo geral será dado por :
Neste caso o coeficiente de x s - 1 se escreve: Neste caso teremos apenas a série de potências ímpares de x: Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS

10 A série converge para x2 < 1, independentemente de l ;
Propriedades: A série converge para x2 < 1, independentemente de l ; A série diverge em x =  1, a menos que tenha um número finito de termos. - Para que a série seja finita, temos que impor que a partir de um certo n o termo geral (an) seja nulo. Como s e n são inteiros positivos ou nulos, então l também deve sê-lo. Com esta escolha de s, apenas uma das séries converge, conforme o valor de s: Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS

11 Polinômios de Legendre
Da imposição de que para um certo n o termo an+2 seja nulo, obtemos que: Ou seja, a maior potência de x será n = l . Teremos então um polinômio de ordem l : estes são os Polinômios de Legendre: Pl(x). Estes polinômios são normalizados a 1 (um) em x =  1. Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS

12 Alguns Polinômios de Legendre
Uma representação compacta dos Polinômios de Legendre é conhecida como Fórmula de Rodrigues: Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS

13 Conjunto completo Estes polinômios formam um conjunto completo de funções ortogonais no intervalo |x|  1, cuja normalização é dada por: Um conjunto de funções ortonormais pode ser construído a partir dos Polinômios de Legendre: No intervalo [-1,1] qualquer função f(x) pode ser escrita em termos de uma série dos Polinômios de Legendre : Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS

14 Solução da equação generalizada de legendre
Quando m  0 temos a equação generalizada de Legendre, cuja solução são as Funções Generalizadas de Legendre : Nesta equação x = cos . As funções que satisfazem essa equação são as Podemos obter estas funções a partir dos Polinômios de Legendre: Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS

15 Solução da equação generalizada de legendre II
Neste caso, a constante m fica limitada aos valores: -l  m  l . O produto das duas soluções angulares recebe o nome de Harmônicos Esféricos: Constantes devidas à normalização das funções generalizadas de Legendre. Prof. Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS