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1 Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional Capítulo 4 – Modelo de Transporte Simples.

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1 1 Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional Capítulo 4 – Modelo de Transporte Simples Fernando Marins – Departamento de Produção

2 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Sumário 2 Modelo de Transporte Simples Histórico e Características Modelo Matemático Modelo em Grafos Stepping Stone Algorithm Casos Especiais

3 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Modelo de Transporte Simples 3 Histórico Kantorovich (1939) - problema da distribuição Koopman (1941) - problema de transporte Observação: dividiram o Prêmio Nobel de Economia em Dantzig (1947) - algoritmo eficiente Características Transporte de um produto a partir de várias origens para diversos destinos. Produção a i em cada origem O i, i = 1, m. Demanda b j em cada destino D j, j = 1, n. Custos unitários de transporte c ij em cada trajeto O i - D j.

4 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá 4 Modelo de Transporte Simples Variáveis de decisão: X ij = quantidade a ser transportada da origem O i ao destino D j. Função objetivo: minimização do custo total transporte Min C = Restrições: Observação importante:

5 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá 5 Modelo de Transporte Simples Exemplo: considere situação onde há 3 fábricas produzindo o mesmo produto e 4 depósitos onde estes produtos são estocados para posterior venda. As produções nas fábricas são: a 1 = 40, a 2 = 80, a 3 = 110. nos depósitos devem ser atendidas as seguintes demandas: b 1 = 20, b 2 = 30, b 3 = 100, b 4 = 80. Os custos unitários de transporte do produto são dados por: Achar um modelo de PL para determinar o programa de entregas do produto com mínimo custo de transporte. D1D1 D2D2 D3D3 D4D4 O1O O2O O3O

6 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá 6 Sujeito a: Formulação do modelo Variáveis de decisão: X ij = quantidade de produto enviado de O i para D j

7 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá 7 X = Qualquer equação do sistema de restrições é combinação linear das demais no. de equações Linearmente Independentes = (m + n -1). Representação matricial das restrições (excluindo os zeros na matriz de coeficientes das variáveis)

8 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá 8 Modelos em Grafos Rede de transporte (a 1 = 40) O 1 D 1 (b 1 =20) D 2 (b 2 =30) (a 2 =80) O 2 D 3 (b 3 =100) (a 3 =110) O 3 D 4 (b 4 =80) C ij

9 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Solução Básica Viável equivale a uma Árvore na rede de transporte com (m + n - 1) = = 6 variáveis básicas. Exemplo: x 11, x 12, x 22, x 23, x 33, x 34 são as variáveis básicas Solução Básica Viável = Árvore X 11 = 20 X 12 = 20 X 22 = 10 X 23 = 70 X 33 = 30 X 34 = 80 Observação: as demais variáveis são não-básicas e nulas.

10 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá 10 Algoritmos e Equivalência de Conceitos entre PL e Grafos - Método Simplex - Algoritmo especializado: Stepping Stone Algorithm Toma vantagem da estrutura especial da matriz de restrições de modelos de transporte formada por 0 e 1. Equivalência de Conceitos Programação LinearTeoria dos Grafos Valor da Variável de DecisãoValor do Fluxo no Arco Solução Básica ViávelÁrvore Viável Solução InicialÁrvore Inicial Coeficiente de Custo RelativoCoeficiente de Custo Marginal Variável (Não) BásicaArco (Não) Básico PivoteamentoBalanceamento de Fluxo no Ciclo de compensação

11 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá 11 Etapas de aplicação do Stepping Stone Algorithm Passo 1: Inicialização* Achar árvore inicial. Ir ao passo 2. Passo 2: Teste de Otimalidade Achar os coeficientes de custos (lucros) marginais dos fluxos não-básicos. Se for árvore ótima Parar. Caso contrário escolher arco para entrar na próxima árvore básica. Ir ao passo 3. Passo 3: Melhoria da solução atual Achar ciclo de compensação formado pelo arco que entra e a árvore básica atual. Determinar no ciclo qual arco básico será substituído. Efetuar o balanceamento de fluxo no ciclo. Voltar ao passo 2. *Métodos de inicialização do Stepping Stone Algorithm: Regra do canto esquerdo (ou regra do canto noroeste). Regra do custo mínimo (lucro máximo para problemas de Maximização).

12 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Métodos de inicialização do Stepping Stone Algorithm 12 Regra do canto esquerdo: Consiste em, iniciando pelo arco (1, 1) ou trajeto O 1 D 1 associado ao canto superior esquerdo da tabela usada pelo algoritmo, e através de deslocamentos sucessivos para a direita e para baixo, atingir o canto inferior direito da tabela, distribuindo a produção disponível nas origens pelos arcos (chamados arcos básicos) de forma a atender as demandas nos destinos. Uma linha (ou coluna) é explorada até que a produção (ou demanda) desta linha (ou coluna) seja esgotada (ou atendida). Em cada arco deve-se alocar a maior quantidade de produto possível.

13 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Modelo de Transporte Simples 13 Regra do custo mínimo (ou lucro máximo): Consiste em atribuir o máximo valor transportável aos trajetos associados aos menores (ou maiores) custos (ou lucros) unitários de transporte. Escolhe-se primeiro o trajeto associado com o menor (ou maior) custo (ou lucro) unitário, depois o trajeto associado ao próximo menor (ou maior) custo (ou lucro), e assim por diante até se esgotar toda a produção disponível e atender toda a demanda existente.

14 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Aplicação do Stepping Stone Algorithm 14 Árvore inicial obtida pela regra do canto esquerdo: D 1 D 2 D 3 D 4 Produção O1O O2O O3O Demanda D 1 D 2 D 3 D 4 Produção O1O O2O O3O Demanda Tabela inicial com os dados do problema: Número de arcos básicos:(m + n - 1) = = 6. Custo da solução: =

15 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá D 1 D 2 D 3 D 4 Produção O1O O2O O3O Demanda Árvore inicial obtida pela regra do custo mínimo Número de arcos básicos: (m + n - 1) = = 6. Custo da solução: = 1410.

16 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Ciclo de Compensação 16 X 11 = 20 X 12 = 20 X 22 = 10 X 23 = 70 X 33 = 30 X 34 = X 21 =0 +1 X 21 (É candidato a entrar) (C 21 =2) (C 11 =10) (C 12 =5) (C 22 =0) C 21 = 2 2.(+1) (-1) 5 +5.(+1) 0 +0.(-1) = -3/unidade.

17 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Ciclo de compensação do arco não-básico (2, 1). 17 D 1 D 2 D 3 D 4 Produção O1O O2O O3O Demanda (+1) (-1) (+1) (-1) Custo marginal do arco (2, 1): C 21 = 2.(+1) + 10.(-1) + 5.(+1) + 0.(-1) = -3/unidade. (É candidato a entrar) Ciclo de compensação formado pela árvore básica, obtida pela Regra do Canto esquerdo, e pelo arco não-básico (2, 1).

18 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Ciclo de Compensação 18 X 11 = 20 X 12 = 20 X 22 = 10 X 23 = 70 X 33 = 30 X 34 = X 14 =0 +1 X 14 (Não é candidato a entrar) (C 14 =4) (C 34 =6) (C 33 =14) (C 23 =1) (C 22 =0) (C 12 =5) C 14 = 4 4.(+1) 6 +6.(-1) (+1) 1 +1.(-1) 0 +0.(+1) 5 +5.(-1) = 6/unidade.

19 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Ciclo de compensação do arco não-básico (1, 4). 19 D 1 D 2 D 3 D 4 Produção O1O O2O O3O Demanda (+1) (-1) (+1) (-1)(+1) (-1) Custo marginal do arco (1, 4): C 14 = 4.(+1) + 6.(-1) + 14.(+1) + 1.(-1) + 0.(+1) + 5.(-1) = +6/unidade. (Não é candidato a entrar)

20 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Ciclo de Compensação 20 X 11 = 20 X 12 = 20 X 22 = 10 X 23 = 70 X 33 = 30 X 34 = X 31 =0 +1 X 31 (É candidato a entrar) (C 31 =13) (C 11 =10) (C 12 =5) (C 22 =0) (C 23 =1) (C 33 =14) C 31 = (+1) (-1) 5 +5.(+1) 0 +0.(-1) 1 +1.(+1) (-1) = -5/unidade.

21 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Determinação dos coeficientes de custos marginais de alguns arcos não-básicos 21 Ciclo de compensação formado pela árvore básica, obtida pela Regra do Canto esquerdo, e pelo arco não-básico (3, 1). D 1 D 2 D 3 D 4 Produção O1O O2O O3O Demanda (+1) (-1)(+1) (-1) (+1) (-1) Custo marginal do arco (3, 1): C 31 = 13.(+1) +10.(-1) + 5.(+1) + 0.(-1) + 1.(+1) + 14.(-1) = -5/unidade. (É candidato a entrar)

22 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Balanceamento de Fluxo no Ciclo de Compensação 22 X 11 = 20 X 12 = 20 X 22 = 10 X 23 = 70 X 33 = 30 X 34 = X 31 =0 +1 X 31 (É que Entrar) = X 22 (É que sai)=10 Possui o menor valor de fluxo dos valores com (-1) dentro do ciclo de compensação..(10) Novo valor da função objetivo = valor anterior + c 31.X 31 = (-5).10 = Sairá o arco básico do ciclo que se anular primeiro ao se aumentar o valor do fluxo no arco não-básico (3, 1) escolhido para entrar: neste caso será o arco (2, 2) => X ij 0 (satisfazer a condição de não- negatividade) O arco (2,2) é substituído pelo Arco (3,1)

23 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Balanceamento de Fluxo no Ciclo de Compensação 23 X 11 = 10 X 12 = 30 X 31 = 10 X 23 = 80 X 33 = 20 X 34 = X 31 (É que Entrar) = X 22 (É que sai)=10 Novo valor da função objetivo = valor anterior + c 31.X 31 = (-5).10 = Nova solução básica com arco (3, 1) no lugar do arco (2, 2)

24 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Melhoria da solução básica Escolhendo o arco não-básico (3, 1) para entrar na próxima árvore básica deve-se determinar o arco básico do ciclo de compensação que será substituído. Deve-se fazer o balanceamento dos fluxos nos arcos do ciclo a partir do novo valor de fluxo no arco (3, 1)= x 31 = 10: assim X 11 = = 10 X 12 = = 30 X 23 = = 80 X 33 = = 20 X 34 = 80 (não se altera pois não é do ciclo) Novo valor da função objetivo = valor anterior + c 31.X 31 = (-5).10 = Sairá o arco básico do ciclo que se anular primeiro ao se aumentar o valor do fluxo no arco não-básico (3, 1) escolhido para entrar: neste caso será o arco (2, 2). O novo fluxo no arco (3, 1) será exatamente o valor do fluxo que passava pelo arco substituído (2, 2): assim x 31 = 10 na nova árvore básica.

25 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Nova solução básica com arco (3, 1) no lugar do arco (2, 2) 25 Aplicando-se o Passo 2 tem-se: D 1 D 2 D 3 D 4 Produção O1O C 13 = C 14 = O2O2 C 21 = +2 2 C 22 = C 24 = O3O C 32 = Demanda Não há c ij < 0: Árvore atual é ótima. X 11 = 10 Remeter 10 unidades do produto da fábrica 1 ao depósito 1 X 12 = 30 Remeter 30 unidades do produto da fábrica 1 ao depósito 2 X 23 = 80 Remeter 80 unidades do produto da fábrica 2 ao depósito 3 X 31 = 10 Remeter 10 unidades do produto da fábrica 3 ao depósito 1 X 33 = 20 Remeter 20 unidades do produto da fábrica 3 ao depósito 3 X 34 = 80 Remeter 80 unidades do produto da fábrica 3 ao depósito 4 Custo Ótimo mínimo de transporte = 1220.

26 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Modelo de Transporte Simples 26 Método alternativo para cálculo dos coeficientes de custos marginais dos arcos não-básicos Método Modificado (Modi): Inspirado nas condições de folgas complementares da teoria da dualidade da Programação Linear. Maneira mais simples de se calcular os coeficientes de custo marginais.

27 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Método Modificado (Modi): 27 Procedimento: Considere uma dada solução básica para o modelo Definir: custo marginal L i com i = 1, m para cada linha i da tabela, custo marginal K j, com j = 1, n para cada coluna j da tabela, de forma que, para cada trajeto (ou arco) básico (i, j) da solução dada tem-se: L i + K j = c ij

28 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Modi O sistema de equações resultante tem solução indeterminada: (m + n) variáveis L i, K j (m + n - 1) equações, uma para cada um dos arcos básicos da árvore associada a solução em estudo. Para levantar a indeterminação do sistema basta fazer, por exemplo, L 1 = 0 e calcular por inspeção os demais valores de L i e K j. Para o cálculo do valor do coeficiente de custo marginal de cada arco não-básico (i, j) usar a expressão: C ij = c ij - (L i + K j )

29 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Exemplo do MODI 29 Considere no exemplo anterior a tabela associada à solução inicial, obtida pela regra do custo mínimo, onde deseja-se calcular todos os coeficientes de custo marginal dos arcos não-básicos. Número de arcos básicos: (m + n - 1) = = 6. D 1 D 2 D 3 D 4 Produção O1O O2O O3O Demanda

30 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Modelo de Transporte Simples 30 Aplicando-se o método Modi tem-se as variáveis L 1, L 2, L 3, K 1, K 2, K 3, K 4, e o sistema de equações: L 1 + K 4 = 4 L 2 + K 2 = 0 L 2 + K 3 = 1 L 3 + K 1 = 13 L 3 + K 3 = 14 L 3 + K 4 = 6 Fazendo-se L 1 = 0 tem-se: K 4 = 4 L 3 = 2, K 3 = 12, K 1 = 11, L 2 = -11, K 2 = 11. Cálculo dos Coeficientes de Custo Marginal: C 11 = C 11 - (L 1 + K 1 ) = 10 - (0 + 11) = -1 C 12 = C 12 - (L 1 + K 2 ) = 5 - (0 + 11) = -6 C 13 = C 13 - (L 1 + K 3 ) = 12 - (0 + 12) = 0 C 21 = C 21 - (L 2 + K 1 ) = 2 - ( ) = 2 C 24 = C 24 - (L 2 + K 4 ) = 9 - ( ) = 16 C 32 = C 32 - (L 3 + K 2 ) = 11 - (2 + 11) = -2 Candidatos Candidato Mantém o valor da FO

31 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Stepping Stone Algorithm 31 Para um Modelo de Minimização Passo 1: Inicialização Determinar uma árvore básica inicial com (m + n - 1) arcos básicos. Ir ao Passo 2. Passo 2: Teste de Otimalidade Calcular os coeficientes de custos marginais dos arcos não-básicos. Se coeficiente de custo marginal > 0 solução atual é ótima. Parar. Se há coeficiente de custo marginal c ij < 0 solução atual não é ótima. O arco (i, j) deve se tornar arco básico na próxima árvore básica. assim o arco (i, j) é escolhido para entrar. Ir ao Passo 3.

32 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Stepping Stone Algorithm 32 Passo 3. Melhoria da Solução Achar ciclo de compensação formado pelo arco não-básico (i, j) escolhido para entrar e a árvore básica atual. No ciclo achar o arco básico (k, l) que se anula primeiro ao se aumentar o valor do fluxo no arco (i, j) que entra. O arco básico (k, l) sai e será substituído pelo arco (i, j). Efetuar o balanceamento de fluxo no ciclo, com todo o fluxo do arco (k, l) indo para o arco (i, j). Voltar ao Passo 2.

33 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Stepping Stone Algorithm 33 Passo 2: Teste de Otimalidade - Modelos de Maximização Calcular os coeficientes de lucro marginal. Se coeficiente de lucro marginal < 0 Solução Atual é Ótima. Parar. Se há coeficiente de lucro marginal l ij > 0 solução atual não é ótima. O arco (i, j) deve se tornar arco básico na próxima árvore básica. Assim o arco (i, j) é escolhido para entrar Todo o restante do algoritmo é igual ao caso de mimimização

34 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Casos especiais (1) ofertas e demandas desbalanceadas 34 Podem ocorrer duas situações Custos de transporte nos trajetos fictícios são nulos. Aplica-se o Stepping Stone Algorithm para o modelo ampliado e balanceado. excesso de oferta criar destino fictício. excesso de demanda criar origem fictícia.

35 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Casos especiais - (2) Condições proibidas de embarque e recepção – Trajetos proibidos 35 Quando há restrições adicionais, como a existência de trajetos proibidos entre determinadas origens e destinos do modelo: Basta bloqueá-los na tabela de aplicação do algoritmo, de forma a desconsiderá-los da solução. Ou seja, associar a cada um destes trajetos proibidos um custo de transporte muito alto na função objetivo

36 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Casos Especiais - (3) Soluções degeneradas 36 Podem ocorrer a partir de duas situações: (I) Na inicialização do algoritmo se o nº. de arcos básicos for menor que (m + n - 1), ou seja, a regra de inicialização não fornece uma árvore: (II) No Passo 3 do algoritmo durante a determinação do arco básico a ser substituído pelo arco não-básico escolhido para entrar pode se verificar um empate na saída, ou seja, mais de um arco básico do ciclo de compensação encontrado se anula para um dado valor de fluxo no arco que entra: Escolher qualquer um destes arcos básicos para sair e manter os demais, com fluxo nulo na próxima árvore básica (degenerada). Efetuar o balanceamento de fluxo para os demais arcos. Acrescentar convenientemente arcos com fluxo nulo até que se obtenha uma árvore (= grafo com m + n - 1 arcos e sem ciclos).

37 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Exemplo com degeneração e desbalanceamento 37 Há um excesso de produção no valor de = 20 unidades criar um destino fictício D F com demanda associada de 20 unidades. D 1 D 2 D 3 D 4 DFDF Produção O1O C 13 = C 14 = +6 4 C 1F = O2O2 C 21 = C 24 = C 2F = O3O3 C 31 = C 32 = Demanda D 1 D 2 D 3 D 4 Produção O1O O2O O3O Demanda \220 Solução inicial para o novo modelo (balanceado) Custo da solução inicial: 930

38 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá D 1 D 2 D 3 D 4 DFProdução O1O1 20 (-1)1020 (+1) O2O2 210 (-1)070 (+1)19080 O3O3 (+1) (-1) Demanda Escolhendo para entrar o arco (3, 1) obtém-se o ciclo de compensação : Exemplo com degeneração e desbalanceamento Percebe-se que quando o fluxo no arco que entra (3, 1) é aumentado até o valor 10 os fluxos nos arcos básicos (2, 2) e (3, 3) se anulam configurando-se um empate na saída.

39 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Exemplo com degeneração e desbalanceamento Escolhendo, por exemplo, o arco (2, 2) para sair e ser substituído pelo arco (3, 1): Arco (3, 3) fica na árvore básica (degenerada) com fluxo nulo D 1 D 2 D 3 D 4 DFDF Produção O1O C 13 = C 14 = +1 4 C 1F = O2 C 21 = +2 2 C 22 = C 24 = C 2F = O31013 C 32 = Demanda

40 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá D 1 D 2 D 3 D 4 DFDF Produção O1O C 13 = C 14 = +1 4 C 1F = O2 C 21 = +2 2 C 22 = C 24 = C 2F = O31013 C 32 = Demanda Esta tabela corresponde a solução ótima (degenerada) com custo ótimo = custo anterior + C 31.X 31 = (-5).10 = 880. Valores ótimos de fluxo para os arcos básicos: X 11 = 10, X 12 = 30, X 23 = 80, X 31 = 10, X 33 = 0, X 34 = 70, X 3F = 20. Exemplo com degeneração e desbalanceamento Observe que o valor de fluxo igual a 20 no arco fictício (O3, D F ) significa que 20 unidades do produto ficarão estocadas na origem 3. Os arcos não-básicos tem fluxo nulo.

41 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Exercícios 41 1.Uma empresa tem 3 fábricas e 4 clientes, com as seguintes capacidades de produção e demandas relativas a um produto de interesse: FábricaCapacidadeClienteDemanda F1F1 200C1C1 140 F2F2 100C2C2 120 F3F3 80C3C3 90 C4C4 30 Total380Total380

42 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Exercícios 42 Os custos de transporte ($/por unidade) são os seguintes: Clientes FábricasC1C1 C2C2 C3C3 C4C4 F1F F2F F3F Com o objetivo de minimizar os custos de transportes, determinar o programa de embarque do produto de cada fábrica a cada cliente. Formule os modelos em Redes e de PL e aplique o Stepping Stone Algorithm. Inicialize o algoritmo com a Regra do Canto Esquerdo.

43 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Exercícios Uma companhia tem 3 depósitos e 4 clientes, com as seguintes capacidades mensais de estocagem e demanda para um dado produto: DepósitoCapacidadeClienteDemanda D1D1 30C1C1 10 D2D2 90C2C2 100 D3D3 70C3C3 C4C4 30 Total190Total210

44 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Exercícios 44 No contrato com os Clientes foram incluídas multas ($/unidade de produto faltante) associadas a eventuais faltas dadas por: $1 se faltar para o Cliente 1, $3 se faltar para o Cliente 3 e $2 se faltar para o Cliente 4. Os custos de embarque ($/por unidade) são os seguintes: Sabendo-se que obrigatoriamente o cliente C 2 deve ser atendido completamente, encontrar o programa de embarque de mínimo custo. Formule um modelo de PL e aplique o Stepping Stone Algorithm. Inicialize o algoritmo com a Regra do Custo Mínimo.

45 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Exercícios Uma empresa tem 3 fábricas e 4 clientes, referentes a um determinado produto, e conhece-se os dados abaixo: Fábrica Capacidade mensal da produção Custo de produção ($/unidade) Cliente Demanda mensal Preço de venda ($/unidade) F1F1 8550C1C1 100 F2F2 9030C2C F3F3 7540C3C C4C Total250Total240

46 Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá Exercícios 46 Conhecem-se os custos de se manter o produto em estoque ($/unidade estocada) em cada Fábrica: $1 para estocagem na Fábrica 1, $2 para estocagem na Fábrica 2 e $3 para estocagem na Fábrica 3. Os custos de transporte ($/unidade) são: Local deLocais de Venda FabricaçãoC1C1 C2C2 C3C3 C4C4 F1F F2F F3F Encontrar o programa de distribuição que proporcione lucro máximo. Formule o modelo de PL e aplique o Stepping Stone Algorithm. Inicialize o algoritmo pela Regra do canto Esquerdo.


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