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1 Codificação Diferencial. Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais.

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1 1 Codificação Diferencial

2 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II2 Introdução Formas de quantização (perdas): Quantização Escalar Uniforme / não-uniforme Side information Quantização Vetorial Codebook e Codeword Ótimas taxas Complexo computacionalmente

3 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II3 Introdução Codificação Diferencial Codificação das diferenças Aplicação: Voz Sinal amostrado {x n } Ex 1. Senóide d n = { x n – x n-1 } Menor Faixa Dinâmica Menor Variância: Amostras mais centradas em zero.

4 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II4 Ex 2. Imagem Sinan Histograma originalHistograma das diferenças 8 bits7 bits 99%-> 5bits

5 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II5 Exemplo 3: Considere a sequência: x={ } A sequência diferença será: d={ } Se codificarmos sem perdas, voltamos à seqüência original fazendo: Porém: Quantizando com perdas [ ]: d={ } Reconstruindo temos: x q ={ } Que corresponde ao erro de quantização: { } crescente!

6 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II6 Mesmo erro de quantização tendo média zero, pode causar overflow Q z x[n] x[n-1] d[n] d q [n] Q -1 z d q [n] x q [n] x q [n-1] Solução: Q z x[n] x q [n] d[n]d q [n] + + x q [n-1] Q -1 z d q [n] x q [n] x q [n-1]

7 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II7 Ex 4. Sinal senoidal Aproximação I Intervalo dinâmico de diferenças: [-0,2 0,2] Passo do quantizador = 0,1 Aproximação II Intervalo dinâmico de diferenças: [-0,4 0,4] Passo do quantizador = 0,2

8 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II8 Generalização: Preditor: Se:Temos o DPCM (Differential Pulse Code Modulation)

9 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II9 Adaptativo Direto Side information transmitida ao decodificador Separação em blocos (estimativas por bloco) Reverso Não há necessidade de side info – adaptação obtida da saída do decodificador. Mais utilizado Algoritmo de Jayant

10 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II10 Modulação Delta Quantizador de 1-bit (2 níveis) Variação da taxa de amostragem Slope overload

11 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II11 Ex.: Codificação de Voz Principal aplicação de codificadores diferenciais (ADPCM) Vários padrões ITU (G.721, G.723, G.722,...) G.726 Quantização adaptativa reversa Algoritmo de quantização similar a Jayant Predição reversa adaptativa Combinação linear dos 2 últimos valores reconstruídos Uso dos 6 últimos diferenças quantizadas para a predição (40, 32, 24 e 16 kbits) 8000 amostras 5, 4, 3, 2 bits/amostra Comparando com PCM (8bits /amostra): Taxas de compressão 1,6:1 2:1 2,67:1 4:1 respectivamente

12 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II12 Codificação de Imagem Comparação com JPEG PSNR=31.42dB PSNR=41.60dB

13 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II13 PSNR=38.28dB PSNR=41.60dB

14 14 Conceitos Básicos para Transformadas, Subbandas e Wavelets

15 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II15 Para entendermos os conceitos utilizados em codificação por transformada, subbandas e wavelets é necessário um conhecimento prévio dos seguintes assuntos: Espaços Vetoriais Série de Fourier Transformada de Fourier Sistemas Lineares Amostragem DFT Transformada Z Já vistos em DSP-I

16 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II Espaços Vetoriais Representação de um vetor no espaço 2-D: 3 4 Logo: um vetor pode ser representado como uma decomposição em vetores base (u x, u y ). Qualquer vetor neste espaço 2-D pode ser decomposto.

17 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II17 Então, dado um vetor A e um conjunto base, a decomposição significa encontrar os coeficientes os quais ponderam os vetores unitários do conjunto base. Ferramenta matemática: Produto Escalar ou Interno

18 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II Produto Escalar ou Produto Interno Dado dos vetores: O produto interno é definido por: Dois vetores são ditos ortogonais se seu produto interno é zero. Um conjunto de vetores é dito ortogonal se cada vetor for ortogonal a todos os outros vetores do conjunto.

19 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II19 O produto interno entre um vetor e um vetor unitário de um conjunto base ortogonal nos fornece o coeficiente correspondente a aquele vetor. E pode ser visto também como a projeção do vetor sobre o vetor da base. Ex.:Seja a base ortogonal: Claramente: E um vetor a pode ser decomposto em:

20 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II20 b a uxux uyuy O produto interno entre dois vetores pode representar, com um certo cuidado, uma medida de similaridade entre eles a é mais próximo de u x logo:

21 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II Espaço Vetorial Generalizando os conceitos vistos em 2-D e 3-D: Espaço vetorial consiste em um conjunto de elementos chamados vetores que têm as operações de adição vetorial e multiplicação escalar definidas. Os resultados destas operações são também elementos deste espaço vetorial

22 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II22 Adição Vetorial: Sejam os vetores: Definimos: Multiplicação Escalar: Multiplicação de um vetor por um numero real ou complexo. Para que o conjunto de elementos seja um espaço vetorial é necessário que cumpra os seguintes axiomas:

23 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II23 Seja: V um espaço vetorial x,y,z vetores e e números escalares 1.x+y=y+x comutatividade 2.(x+y)+z=x+(y+z) e ( )x= ( x) associatividade 3.Existe elemento em V tal que x+ =x para todo x V 4. (x+y)= x+ y e ( + )x= x+ x distributividade 5.1.x=x e 0.x= 6.Para todo x V existe elemento (-x) tal que x+(-x)= Ex.: Um exemplo de espaço vetorial são os números reais, neste conjunto: zero=

24 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II24 Outro exemplo de espaço vetorial: conjunto das funções f(t) que possuem energia finita: Neste caso: (t)=0 E o espaço vetorial é chamado L 2

25 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II Subespaço Um subespaço S de um espaço vetorial V é um subconjunto de V cujos membros satisfazem todos os axiomas do espaço vetorial e têm a propriedade adicional que se x e y S, e é um escalar, então x+y e x estão também em S. Ex.: Considere S o conjunto das funções limitadas ao intervalo [0,1]. Então S é um subspaço de L 2

26 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II Bases Uma das formas de se gerar um subespaço é fazendo combinações lineares de um conjunto de vetores. Se o conjunto de vetores for linearmente independente, o conjunto é chamado de base para o subespaço. Um conjunto de vetores {x 1,x 2,...} é dito linearmente independente se nenhum vetor do conjunto puder ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores do conjunto.

27 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II27 Teorema: Um conjunto de vetores X={x 1,x 2,...,x N } é linearmente independente Se e somente se a expressão Implicar que para todo i=1,2,...,N

28 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II28 Ex.: Seja o espaço vetorial V dos vetores definidos por [a b] T, onde a e b são números reais. São bases de V. Quaisquer 2 vetores não paralelos formam uma base para V. O número de vetores necessários para gerar o espaço é chamado dimensão do espaço vetorial. No exemplo: Dimensão 2 No exemplo anterior, espaço das funções limitadas [0,1] de L 2 possui dimensão infinita.

29 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II29 Ex.: Seja o vetor Então a representação de a na base X 1 é (3,4) e na base X 2 é (4,-1)

30 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II Definição formal do produto interno O produto interno pode ser denotado como: Satisfaz os seguintes axiomas: 1. = * 2. = + 3. = 4. 0 com equalidade se e somente se x= É chamada norma de x e é análogo à distância

31 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II Conjuntos Ortogonais e Ortonormais No espaço Euclidiano, dois vetores são ditos ortogonais se seu produto interno for zero. Se selecionarmos conjunto base formada por vetores ortogonais e ainda se a norma desses vetores for unitária, o conjunto é chamado Base Ortonormal.

32 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II32 Dada um espaço vetorial S N com uma base ortonormal {x i } i=1,2..N. Dado um vetor y no espaço S N podemos escrever y como uma combinação linear dos vetores x i Para encontrar os coeficientes i, podemos tirar o produto Interno de ambos os lados com respeito a x i

33 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II33 Como a base é ortonormal: Logo:

34 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II34 Conclusões: Vetores não são simplesmente pontos nos espaços 2-D e 3-D. Funções do tempo podem serem vistas como elementos de um espaço vetorial. Conjuntos de vetores que satisfazem a certos axiomas formam um espaço vetorial Todos os membros de um espaço vetorial podem ser representados como combinações lineares dos vetores bases (podem ter diferentes bases para um mesmo espaço). As bases formadas por vetores de magnitude unitária e ortogonais são conhecidas como bases ortonormais. Se uma base é ortonormal os coeficientes podem ser obtidos tirando o produto interno do vetor com cada vetor da base.

35 35 Codificação Por Transformada

36 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II36 Introdução Fonte é decomposta ou transformada em componentes de modo que a energia fique concentrada em poucas amostras. Para uma fonte gaussiana a entropia é dada por: O aumento da variância causa um aumento na entropia, o que mede a quantidade de informação contida no sinal.

37 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II37 Ex: Analisando a sequência de dois números, representando peso e altura: PesoAltura

38 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II38 Podemos observar que os valores estão ao redor da reta y=2.5x Podemos rotacionar o conjunto de valores usando: Onde é o ângulo da reta com eixo x

39 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II39 PesoAltura o1o 2o2o

40 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II40 A energia foi compactada no primeiro elemento. Desenhando o gráfico temos: Podemos ignorar a segunda coordenada de, causando um erro, porém reduzindo a quantidade de dados pela metade!

41 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II41 Fazendo a anti-transformação podemos recuperar os dados x. 1o1o 2o2o PesoAltura PesoAltura Reconstruído Original

42 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II42 Neste exemplo foi utilizada apenas duas dimensões, mas o princípio pode ser expandido para mais dimensões. Com duas dimensões podemos reduzir os dados em um fator de 2, com mais dimensões esse fator pode aumentar. Descartar as componentes com menor quantidade de informação (menor entropia) (menor variância) O erro de reconstrução foi pequeno pois nessa transformação em particular temos:

43 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II43 Prova-se que a melhor compactação ocorre quando descorrelacionamos as amostras da transformada. A descorrelação de dados discretos foi introduzida em 1933 por Hotteling. Em 1947, Karhunen e em seguida, 1948, Loève desenvolveram a transformação para funções contínuas. Kramer e Mathew em 1956 utilizaram esses conceitos da descorrelação, para codificação de sinais, gerando então o termo codificação por transformada.

44 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II44 A codificação por transformada consiste em três passos: A seqüência de dados é dividida em blocos de tamanho N e mapeada em seqüências transformadas, usando um mapeamento reversível. Quantizar a seqüência transformada Taxa de bits que eu desejo conseguir? A estatística dos elementos transformados? Efeitos de distorções causados pela quantização? Binary encoding

45 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II45 A Transformada Todas as transformadas que veremos são transformadas lineares, podendo serem representadas por: Em sinal de voz mudanças radicais como a passagem do silêncio para a conversa dificultam a implementação de N grandes. O mesmo acontece em imagem. O tamanho N do bloco é definido por considerações práticas, tais como: Taxa de compressão versus complexidade computacional

46 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II46 A transformada pode ser escrita na forma matricial: onde A e B são matrizes N×N A : Matriz Transformada Direta B : Matriz Transformada Inversa Se a transformada é ortonormal ela tem a propriedade de que a inversa é a própria transposta.

47 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II47 Transformadas ortonormais preservam a energia, ou seja, a soma dos quadrados da seqüência transformada é igual a soma dos quadrados da original.

48 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II48 A eficiência da transformada depende da compactação de energia. Uma das maneiras de medir a compactação é tirar a média aritmética da variância dos coeficientes de transformação. Ganho de Codificação da Transformada

49 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II49 Ex: Considere a matriz Note que a primeira linha representa um filtro passa-baixa e a segunda um passa alta Supondo a sequência de entrada sendo Coeficiente de baixa-frequência

50 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II50 Analisando duas outras seqüências (3,1) e (3,-1) A segunda é mais alta frequência que a primeira, pois difere de 4 enquanto a outra de 2. Teremos: Observe que a energia da sequência transformada é igual a da original, caracterizando uma transformada ortonormal.

51 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II51 Transformada Karhunen-Loéve As linhas da transformada discreta KLT consiste nos autovetores da matriz de autocorrelação da sequência. A matriz de autocorrelação para um processo randômico X é dada por: A matriz construída desta forma reduz a variância dos coeficientes da transformada. Resultando na Transformada Ótima do ponto de vista de compactação da energia. Transformada dependente do sinal: Grande informação Lateral

52 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II52 Transformada Karhunen-Loéve Ex: KLT tamanho 2 A matriz de autocorrelação de tamanho 2 é: Resolvendo a equação Temos os autovalores

53 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II53 Transformada Karhunen-Loéve Os autovetores associados são Impondo as condições de ortonormalidade A matriz da transformada é

54 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II54 Discrete Cosine Transform (DCT) Tem este nome porque a matriz de transformada é obtida em função do cosseno, segundo a regra:

55 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II55 Funções base da DCT:

56 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II56 Parecida com a DFT porém a DCT é melhor para efeitos de compactação A DFT considera que a seqüência é periódica de período N, introduzindo descontinuidades no final da seqüência, interferindo nas altas frequências.

57 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II57 A DCT duplica a seqüência N porém em espelho, não gerando descontinuidades e gerando periodicidade na seqüência 2N.

58 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II58 Discrete Sine Transform (DST) A DCT obtém performance tendendo a KLT para coeficientes de correlação altos e a DST para valores baixos de correlação. É utilizada de forma complementar a DCT em aplicações de áudio e image

59 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II59 Discrete Walsh-Hadamard Transform (DWHT) Baixa complexidade computacional Não tão eficiente quanto a DCT Matrizes de Hadamard DWHT: Ortonormal logo:

60 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II60 Quantização dos Coeficientes Cada coeficiente possui uma quantidade de informação diferente, logo alocar diferentes números de bits para quantizar escalarmente cada coeficiente. Duas approaches: Alocar o número de bits baseado em estatísticas dos coeficientes (variância). Coeficiente com > variância recebe mais bits. Classificar várias matrizes de quantização de acordo com características do sinal de entrada. Quantizar vetorialmente o bloco de transformada: Medida da distância ponderada pela variância dos coeficientes.

61 61 Codificação por Subbandas

62 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II62 Introdução Do que vamos tratar? Uma descrição geral de sistemas de codificação subbandas. Uma descrição de uma aproximação popular de alocação de bit. Aplicações de compressão de áudio e vídeo.

63 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II63 Introdução Nós vimos: Quantização Vetorial Quantização Escalar Codificação Diferencial Porém, existem fontes que combinam várias características e é difícil determinar qual tipo de codificação utilizar. Codificação por Transformada = decompõe o sinal em uma estrutura (bloco) artificial, gerando efeitos indesejáveis de blocagem (Lapped Orthogonal Transform (LOT) - Malvar 92)

64 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II64 Decompor o sinal em diferentes partes sem uma imposição de estrutura. Usar a técnica de codificação que mais se adeque a cada parte. Adequar a alocação de bits de acordo com características da percepção humana

65 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II65 Desta forma a seqüência {y n } e {z n } podem ser codificadas independentemente, usando o esquema de compressão que é mais adequado para cada seqüência. Fazendo: Filtragem PB Filtragem PA

66 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II66 Exemplo: Suponha que quiséssemos codificar a seqüência: x n = {10, 14, 10, 12, 14, 8, 14, 12, 10, 8, 10, 12} Utilizando DPCM: x n –x n-1 = {10, 4, -4, 2, 2, -6, 6, -2, -2, -2, 2, 2} Então utilizaremos M=2 m níveis de quantização, Faixa dinâmica [-6,6] e o intervalo de quantização (delta) será: e o erro máximo de quantização:

67 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II67 Vamos gerar então duas novas seqüências {y n } e {z n }: x n =y n +z n Então para y n temos: {10, 12, 12, 11, 13, 11, 11, 13, 11, 10, 9, 11} A sequência y n é mais suave que x n.

68 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II68 Considerando a seqüência das diferenças de y n : {10, 2, 0, -1, 2, -2, 0, 2, -2, -1, -1, 2} Note que a faixa dinâmica reduziu de [-6,6] para [-2,2]

69 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II69 Notamos que o passo de quantização agora é 4/M e portanto o máximo erro de quantização será 2/M. No entanto precisamos ainda transmitir z n {0, 2, -2, 1, 1, -3, 3, -1, -1, -1, 1, 1} Faixa dinâmica: 6, metade da faixa de {x n }. Precisamos apenas 6/M níveis. Dando um erro máximo de quantização de 3/M. Erro de quantização total = 5/M

70 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II70 Então: Para um mesmo número de bits teremos menos erro! PORÉM Teremos o dobro da taxa de bits! Pois temos o dobro do número de amostras a quantizar e transmitir. Como evitar? Transmitindo apenas os número pares. Na reconstrução:

71 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II71 Exemplo – (Conclusão) Decompondo a seqüência {x n } em subseqüência, não resulta num incremento dos valores a serem transmitidos. As duas subsequencias são distintas e podem ser codificadas diferentemente. Nós podemos usar a mesma aproximação na decomposição das duas seqüências.

72 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II72 Então: Podemos implementar estas operações usando filtros discretos.

73 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II73 Filtros Magnitude da Função de Transferência – relação da magnitude da entrada e saída do filtro em função da freqüência. Filtro Ideal x Filtro Real

74 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II74 Filtros Critério de Nyquist : f a = 2.f o Sinais Passa-Banda: f a =2.B Aliasing. Forma geral da relação de entrada-saída de um filtro: FIR IIR

75 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II75 Alguns Filtros Usados na Codificação Subbanda Filtros QMF (Quadrature Mirror Filter) – PR (Perfect Reconstruction) Filtros Espelhados em Quadratura de Reconstrução Perfeita Propriedades do Filtro QMF - Johnston: Passa baixa -> {h n } Passa alta -> {(-1) n.h N-1-n } O filtro é simétrico ou seja: h N-1-n = h n n=0,1,...,N/2 -1

76 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II76

77 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II77

78 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II78 Filtro Smith-Barnwell A freqüência de corte do filtro smith-barnwell é bem melhor definida do que a freq. do filtro de Johnston. Filtro Johnston

79 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II79 Algoritmo de Codificação Subbanda

80 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II80 Quantização e Codificação Alocação de bits entre as subbandas. Cada subbanda possui uma quantidade diferente de informação. Exemplo: Forma de alocar 4 bits em 4 subbandas.

81 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II81 Síntese Upsampling – insere zeros – filtragem pelos filtros de reconstrução- Soma das componentes 3 maiores componentes do sistema: análise e síntese de filtros; esquema de alocação de bits; esquema de codificação. Separação em bandas ->Possibilidade de formas inovadora para o uso dos algoritmos de compressão. Percepção humana (audio e visual) depende da frequência, logo podemos alocar melhor os bits.

82 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II82 Design de Bancos de Filtros Vamos analisar: downsampling upsamplig síntese de operação

83 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II83 Design de Bancos de Filtros

84 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II84 Design de Bancos de Filtros

85 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II85 Dowsampling e Upsampling

86 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II86 Dowsampling e Upsampling

87 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II87 Reconstrução Perfeita Usando Bancos de Filtros de 2 Canais

88 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II88 Filtros de QMF-PR de dois canais.

89 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II89 Filtros FIR Fortemente Simétricos Neste método o aliasing, distorção de amplitude e fase podem ser completamente eliminados.

90 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II90 Banco de Filtros QMF com M-Bandas

91 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II91 Banco de Filtros QMF com M-Bandas Somente é viável utilizá-los quando a característica espectral do filtro é boa. Quando o número de estágios aumentam ocorre a sobreposição entre as bandas e consequentemente aliasing.

92 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II92 Banco de Filtros QMF com M-Bandas o conjunto de filtros pode ser substituído por apenas um filtro e em seguida ser feito a redução das amostras.

93 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II93 Alocação de Bits Quanto recurso de codificação deve ser usado para codificar a saída de cada filtro sintetizado. Em outras palavras, precisamos alocar os bits entre as subbandas. Suponhamos um sistema dividido em M subbandas onde a média de bits por amostra é conhecida, então: Desejamos encontra R k tal que R seja minimizado e o erro de reconstrução seja mínimo. Onde na curva de distorção eu devo operar para que eu possa minimizar a distorção média?

94 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II94 Alocação de Bits Yaacov Shoham e Allen Gersho (1988) Como deve ser o valor de λ e como ele deve variar entre as subbandas? Deve-se buscar o lambda que melhor cumpra os requerimentos do seu problema. Mesmo lambda para todas as subbandas

95 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II95 Alocação de Bits Normalmente não temos a curva de taxa de distorção. Caso o número de amostras em cada subbanda é o mesmo. Do contrário: É dado peso para cada subbanda, então: De forma geral:

96 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II96 Aplicação para Codificação de Voz – G.722 Padrão da ITU para codificação em bandalarga. Codificação de alta qualidade à 64kbps (56kbps e 48kbps). Processo: Saída de áudio passa por um filtro de 7kHz para prevenir aliasing em seguida é amostrada em amostras/s. Cada amostra é quantizada com 14bits/amostra através de uma quantizador uniforme. As amostras são passadas em um banco de filtros (2 filtros FIR) de 24 coeficientes cada.

97 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II97 Aplicação para Codificação de Voz – G.722 P.B -> freqüências menores que 4kHz. P.A. outras. A saída do filtro é decimada por um fator de 2. A sequencia decimada é codificada utilizando ADPCM. O sistema ADPCM usa 6 bits/amostra para o filtro P.B. e 2 bits/amostra para o P.A. O sistema portanto possui:

98 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II98 Aplicação para Codificação de Áudio – MPEG Áudio Esquema de codificação de áudio proposto pelo MPEG. Atualmente já propôs 3 esquemas de codificação: Layer 1, Layer 2 e Layer 3 – Todos com back compatibility (decoder layer N pode decodificar os anteriores). Layers 1 e 2 – Banco de 32 filtros, dividindo a entrada em 32 bandas, cada um com uma banda de fs/64. f s permitidas são: 32k, 44,1k e 48k amostras/s. A saída é quantizada utilizando um quantizador uniforme com um número variado de bits. Número de bits é determinado pelo modelo psicoacústico. Sinal de amplitude alta em uma freq. afeta a audibilidade do sinal em outra freq., então podemos tolerar mais erros de quantização nas bandas vizinhas e usar poucos bits.

99 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II99 Aplicações na Compressão de Imagens. O que fazer quando temos seqüências de dados bidimensionais? Utilizar filtros bidimensionais, ou seja, que separem a saída da fonte em componentes baseadas nas freq. verticais e horizontais. Normalmente implementado em 2 x 1 dimensional. Chamados filtros separáveis. Filtros bidimensionais não-separáveis são extremamente complexos. Geralmente a imagem é filtrada linha a linha utilizando filtros P.A. e P.B. A saída do filtro é decimada por um fator de 2. O mesmo é feito com as colunas. Resultando numa imagem N/2 x N/2.

100 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II100

101 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II101

102 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II102

103 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II103

104 104 Codificação baseada em wavelets

105 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II105 INTRODUÇÃO Por que wavelets? Transformada de Fourier Apenas resolução na freqüência, sem resolução no tempo. Função temporal f(t) Apenas resolução no tempo, sem resolução na freqüência. Problema com a STFT (Short-Term Fourier Transform) Largura fixa da janela

106 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II STFT WAVELETS

107 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II107 Representação de função em termos de wavelets localização no tempo e na freqüência alta resolução em freqüência em baixas freqüências (janela de tempo maior) alta resolução no tempo em altas freqüências (janela de tempo menor)

108 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II108 Itens: construção de wavelets; descrição de como obter uma decomposição de um sinal utilizando análise em multiresolução; descrição de alguns esquemas populares para compressão de imagens

109 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II109 Transformada wavelet contínua s = variável escala = variável translação Transformada wavelet inversa:

110 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II110 As wavelets são geradas a partir de uma única wavelet básica (wavelet mãe), (t), através de translações e escalamentos: s = fator de escala = fator de translação = normalização de energia As funções base wavelets não são especificadas. Esta é uma diferença entre a transformada wavelet e outras transformadas

111 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II111 Propriedades de wavelets Condição de admissibilidade Pode ser utilizada para analisar e reconstruir um sinal sem perda de informação. Implica que: Wavelets têm espectro de potência passa-faixa O valor médio da wavelet no domínio do tempo é zero (tem que ser oscilatória).

112 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II112 Condição de regularidade A função wavelet deve ser suave diminuir rapidamente com a escala s ter concentração nos domínios do tempo e da freqüência. Exemplo de wavelet mãe Wavelet de Haar:

113 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II113 Wavelets discretas As versões discretas dos parâmetros de escala e de translação devem estar relacionadas entre si: se a escala é tal que as funções de base são estreitas, o passo de translação deve ser pequeno, e vice-versa. Selecionaremos s e da seguinte maneira: Portanto:

114 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II114 Normalmente, escolhemos s 0 =2, de tal maneira que a amostragem do eixo da freqüência seja diádica. Escolhemos o fator de translação como 0 =1, de modo que a amostragem no eixo do tempo também seja diádica. Os coeficientes wavelet são dados por: A função f(t) pode ser reconstruída a partir dos coeficientes wavelet:

115 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II115 Filtro passa-faixa É necessário um número infinito de escalamentos e translações para calcular a transformada wavelet. As translações das wavelets são limitadas superiormente pela duração do sinal em questão. Quantas escalas precisamos para analisar o sinal? Como conseguimos uma fronteira inferior? A wavelet tem um espectro de freqüências passa- faixa. Sabemos que a compressão no tempo equivale ao alargamento do espectro e a um deslocamento para frente.

116 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II116 Isso significa que uma compressão no tempo por um fator 2 alargará o espectro da wavelet e deslocará todos os componentes de freqüência por um fator 2. Podemos, então, cobrir o espectro finito do sinal com os espectros de wavelets dilatadas, da mesma forma que cobrimos o sinal no domínio do tempo com wavelets transladadas

117 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II117 Logo, se uma wavelet pode ser vista como um filtro passa-faixa, uma série de wavelets dilatadas pode ser vista como um banco de filtros passa-faixas. A razão entre a freqüência central de um espectro de wavelet e a largura deste espectro é a mesma para todas as wavelets. Esta razão é normalmente chamada fator de fidelidade Q de um filtro. No caso das wavelets, temos, então, um banco de filtros com fator Q constante.

118 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II118 Função de escalamento Como cobrir o espectro até a freqüência zero? Neste caso, seria necessário um número infinito de wavelets. Solução: Utilizar uma espécie de rolha para tapar o buraco, quando ele for suficientemente pequeno: um espectro passa-baixas, que pertence à função de escalamento.

119 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II119 Podemos considerar a função de escalamento como um sinal com um espectro passa-baixas. Desta forma, podemos decompô-lo em componentes wavelet: A expressão acima utiliza um número infinito de wavelets até uma determinada escala j. Se analisarmos um sinal utilizando uma combinação de função de escalamento e wavelets, a função de escalamento cobre o espectro até a escala j, enquanto o restante do espectro é coberto por wavelets. Se uma wavelet pode ser vista como um filtro passa-faixa e uma função de escalamento é um filtro passa-baixas, então (uma série de wavelets dilatadas + uma função de escalamento) pode ser vista como um banco de filtros.

120 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II120 Codificação sub-banda Transformada wavelet banco de filtros Transformada de um sinal pode ser feita passando o sinal através deste banco de filtros. As saídas dos diferentes estágios de filtros são os coeficientes das funções wavelet e escalamento. Codificação sub-banda Análise de um sinal através de sua passagem por um banco de filtros.

121 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II121 Dividimos o espectro do sinal em duas partes iguais: uma passa-baixas e outra passa-altas. A parte passa-altas contém os detalhes menores nos quais estamos interessados e podemos parar aqui. Agora há duas faixas. Apesar disso, a parte passa-baixas ainda contém alguns detalhes e podemos dividi-la novamente. E novamente, até estarmos satisfeitos com o número de faixas de freqüência criadas. Desta maneira, construímos o banco de filtros. Vantagem – Temos que projetar apenas dois filtros. Desvantagem – A cobertura do espectro do sinal é fixa.

122 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II122 Banco de filtros dividindo o espectro de freqüências do sinal

123 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II123 Observamos, na figura anterior, que, após a repetida divisão do espectro de freqüências, temos uma série de bandas passa-faixa com duplicação da largura de faixa e uma banda passa-baixas. Isto é o mesmo que aplicar a transformada wavelet ao sinal. As wavelets nos dão as bandas passa-faixa, com duplicação da largura de faixa, e a função de escala fornece a banda passa-baixa. A partir disso, conclui-se que a transformada wavelet é equivalente ao esquema de codificação sub-banda, utilizando um banco de filtros com Q constante. Logo, se implementarmos a transformada wavelet como um banco de filtros iterado, não é necessário especificar as wavelets explicitamente.

124 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II124 Transformada wavelet discreta Em aplicações práticas (como compressão de imagens), o sinal de interesse é amostrado. É necessário, portanto, que a transformada wavelet seja também discreta. As wavelets discretas não são discretas no tempo (somente os passos de translação e de escala são discretos). Intuitivamente, deve-se implementar o banco de filtros como um banco de filtros digitais

125 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II125 Se adicionarmos um espectro de wavelet ao espectro de função de escala, teremos uma nova função de escala, duas vezes mais larga que a primeira. Podemos, então, expressar a primeira função de escala em termos da segunda. Formulação de multiresolução ou relação entre duas escalas: Podemos expressar,também, as wavelets nesta escala em termos das funções de escala transladadas da escala anterior: (*) (**)

126 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II126 Uma vez que o sinal f(t) pode ser expresso em termos de wavelets dilatadas e transladadas até uma escala j-1, f(t) pode ser expressa em termos de funções de escala dilatadas e transladadas em uma escala j: Se utilizarmos uma escala de j-1, temos que adicionar wavelets, a fim de que tenhamos o mesmo nível de detalhes:

127 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II127 Se a função de escalamento e as wavelets forem ortonormais, os coeficientes e são encontrados a partir dos produtos internos: Se substituirmos e nos produtos internos por versões escaladas e transladadas de (*) e (**) e manipular um bit, levando em consideração que o produto interno também pode ser escrito como integração, chegamos a:

128 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II128 h(k) Filtro passa-baixas Filtro de escalamento g(k) Filtro passa-altas Filtro wavelet É possível implementar a transformada wavelet como um banco de filtros digitais. Os filtros de escalamento e wavelet têm um passo de 2 na variável k. Portanto, o número de amostras do estágio seguinte é metade do número de amostras do estágio atual. Normalmente, as iterações param quando o número de amostras é menor que o tamanho do filtro de escalamento ou do filtro wavelet.

129 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II129 Compressão de imagens Uma das aplicações mais populares de wavelets é na compressão de imagens. O padrão JPEG 2000 utiliza wavelets ao invés de DCT para fazer a decomposição da imagem. Na discussão anterior, sempre nos referimos a um sinal unidimensional. Imagens, porém, são sinais bidimensionais. Há duas maneiras de se fazer decomposição sub-banda de um sinal bidimensional: utilizando filtros bidimensionais ou transformadas separadas, que podem ser implementadas usando filtros unidimensionais primeiro nas linhas e depois nas colunas (como o JPEG 2000)

130 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II130 Começamos com uma imagem N X M. Filtramos cada coluna e sub-amostramos, obtendo duas imagens N X M/2. Então filtramos cada coluna e sub-amostramos as saídas dos filtros, obtendo 4 imagens N/2 X M/2.

131 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II131 TRANSFORMADA WAVELET DIRETA

132 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II132 TRANSFORMADA WAVELET INVERSA

133 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II133 Exemplo: Utilizando o filtro 4-tap Daubechies (Decomposição de primeiro nível)

134 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II134 Imagem de Sinan codificada com 0,5 bits/pixel, utilizando o filtro 8-tap Johnson (codificação sub-banda) Imagem de Sinan codificada com 0,5 bits/pixel, utilizando o filtro wavelet 4-tap Daubechies

135 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II135 Uma das decomposições mais populares é a (a). Após cada decomposição, a imagem LL é decomposta em mais 4 sub-imagens, resultando em 10 sub-imagens (organização de Mallat).

136 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II136 ORGANIZAÇÃO DE MALLAT

137 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II137 EXEMPLO DE ORGANIZAÇÃO DE MALLAT

138 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II138 SISTEMA DE COMPRESSÃO WAVELET BÁSICO

139 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II139 Embedded Zerotree Wavelet (EZW) Coder Uma característica particular utilizada pelo EZW é que há coeficientes de wavelets em diferentes sub-bandas que representam a mesma localização espacial na imagem. Se a decomposição é tal que os tamanhos das sub- bandas são diferentes (caso da organização de Mallat), um único coeficiente na sub-banda menor pode representar a mesma localização espacial que múltiplos coeficientes nas outras sub-bandas.

140 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II140 a – raiz da árvore com descendentes – a1, a2, a3 a1 – tem descendentes a11, a12, a13, a14 a2 a21, a22, a23, a24 a3 a31, a32, a33, a34 Cada um desses coeficientes tem 4 descendentes – total de 64 coeficientes nesta árvore.

141 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II141

142 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II142 Limiar T 0 – Freqüentemente, um coeficiente tem magnitude menor que um determinado limiar, e todos os seus descendentes também são menores que T 0.

143 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II143 Se determinarmos que todos os coeficientes partindo de uma determinada raiz têm magnitudes menores que T 0 e informarmos o decodificador, então necessitamos apenas de 2 bits por amostra para este ramo da árvore. Na figura anterior, o primeiro bit é o bit de sinal e o segundo bit é o bit mais significativo da magnitude. A informação de que um conjunto de coeficientes tem valor menor que T 0 equivale a dizer que o bit mais significativo é 0. Se há N coeficientes na árvore, isto poupará N bits.

144 Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II144 JPEG 2000 O padrão atual JPEG tem excelente performance em taxas acima de 0,25 bits/pixel. Apesar disso, em pequenas taxas, há uma grande degradação na qualidade da imagem reconstruída. O padrão JPEG-2000 é baseado na transformada wavelet discreta, utilizando wavelets biortogonais de Daubechies. O padrão JPEG-2000 também utiliza modos recentes de quantização escalar, modelamento no contexto e codificação aritmética.


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