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Capítulo 8 Simulação de Grandes Escalas de Escoamentos Turbulentos.

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1 Capítulo 8 Simulação de Grandes Escalas de Escoamentos Turbulentos

2 Simulação de Grandes Escalas (SGE) é uma metodologia intermediária à Simulação Numérica Direta (SND) e à simulação via equações médias de Reynolds (URANS). Em SGE as estruturas turbulentas transportadoras de energia e quantidade de movimento são resolvidas diretamente da solução das equações filtradas, enquanto que a transferência de energia entre as duas partes do espectro é modelada. Considerando-se que as menores estruturas tendem a ser mais homogêneas e isotrópicas e menos afetadas pelas condições de contorno, espera-se que os modelos advindos sejam mais universais e independentes dos diferentes tipos de escoamentos, quando comparados com a metodologia média clássica. As metodologias de SND e SGE são semelhantes no sentido que ambas permitem a obtenção de resultados tridimensionais e transientes das equações de Navier-Stokes. Sendo assim, SGE continua a exigir malhas refinadas. No entanto, torna- se possível resolver escoamentos a altos números de Reynolds Introdução

3 Equações filtradas: revisão 8.2. Equações da Turbulência

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5 Testes de importância relativa

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7 Equações Médias de Reynolds Equações Filtradas Globais Equações Filtradas - desprezando-se os tensores cruzados e de Leonard Equações Globais da Turbulência

8 8.3. Modelo sub-malha de Smagorinsky Este modelo foi proposto por Smagorinsky (1963), baseando-se na hipótese do equilíbrio local para as pequenas escalas, ou seja, que a produção de tensões turbulentas sub-malha seja igual à dissipação: Na expressão para, e l, são as escalas de velocidade e de comprimento respectivamente.

9 Como a viscosidade turbulenta é proporcional à escala de velocidade e de comprimento, tem-se que: Com estas três equações, chega-se a uma expressão para a viscosidade turbulenta: A constante de Smagorinsky, C S =0,18, foi determinada analiticamente por Lilly (1967), para turbulência homogênea e isotrópica. Aplicações para escoamentos não homogêneos e não isotrópicos?

10 8.4. Modelo sub-malha Função Estrutura de Velocidade Chollet e Lesieur (1982) apresentaram o formalismo para o cálculo de (viscosidade turbulenta) e (difusibidade turbulenta) no espaço de Fourier Eles chegaram à seguinte expressão para a viscosidade turbulenta no espaço de Fourier: A constante t + é determinada fazendo-se um balanço de energia como segue:

11 Considerando-se Obtém-se Observa-se que o cálculo da viscosidade turbulenta no espaço de Fourier exige determinar o nível de energia cinética turbulenta na freqüência de corte. Buscando-se aplicar este modelo no espaço físico, Métais e Lesieur (1990) mostraram que é possível fazer esta passagem, utilizando-se do conceito de Função Estrutura de Velocidade de Ordem 2:

12 Batchelor (1953), mostra que existe um dualismo entre a função estrutura (definida no espaço físico) e o espectro de energia (definido no espaço de Fourier), válido para turbulência homogênea e isotrópica. Com este dualismo e com um espectro de energia de Kolmogorov, chega-se ao seguinte resultado: Logo, Com

13 Estes dois modelos são mais apropriados para escoamentos turbulentos plenamente desenvolvidos e fora de regiões parietais. Para escoamentos em transição e escoamentos parietais, um novo tipo de modelo foi proposto por Germano (1993)

14 8.5. Modelagem dinâmica sub-malha A modelagem sub-malha convencional envolve uma constante de proporcionalidade ad-hoc imposta. Apesar das limitações advindas deste fato, conseguiu-se, nos últimos anos, avanços extremamente importantes na área de simulação numérica dos escoamentos turbulentos. Os resultados que podem ser obtidos em turbulência completamente desenvolvida e fora das regiões parietais colocam a SGE hoje como uma ferramenta paralela à experimentação em laboratórios (Bradshaw et al., 1996, e Gharib, 1996). Uma das principais limitações diz respeito a análise de escoamentos em transição e nas proximidades de paredes, em conseqüência da imposição ad-hoc de uma constante de proporcionalidade A determinação dinâmica de uma função de proporcionalidade no cálculo da viscosidade turbulenta pode representar avanços importantes.

15 A base desta modelagem é o uso de dois filtros com comprimentos característicos diferentes. No primeiro, utiliza-se as dimensões da malha para calcular o seu comprimento característico. Ele é denominado filtro a nível da malha. No segundo utiliza-se um múltiplo das dimensões das malhas para calcular o comprimento característico. Ele é denominado filtro teste. Com base no uso dos dois níveis de escalas (acima da malha), conclui-se que, na modelagem dinâmica, utiliza-se informações do nível de energia contido nas menores escalas resolvidas, situadas entre as escalas dos dois filtros.

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17 A base matemática dos modelos dinâmicos são as equação de Navier- Stokes: Primeiro processo de filtragem Tensor de Reynolds sub-malha generalizado

18 Chega-se a: Aplica-se agora um novo filtro G, de comprimento característico superior ao comprimento do primeiro filtro, sobre a equação seguinte:

19 Onde a seguinte relação entre os comprimentos característicos dos dois filtros é utilizada Define-se o tensor das tensões relativas ao segundo filtro, também chamadas de sub-teste, como sendo: Logo, tem-se que:

20 Filtrando-se a seguinte equação:

21 Subtraindo-se uma equação da outra, entre as duas abaixo: Tem-se, Define-se, daí, o tensor global de Leonard:

22 A parte anisotrópica do tensor de Reynolds global sub-malha pode ser modelada com a hipótese de Bousinesq Modelando-se as tensões sub-teste de Reynolds de forma análoga, tem- se: Filtrando-se a primeira destas duas equações equações, tem-se:

23 Utilizando-se estas três equações, mais a identidde de Germano, isola-se a função de proporcionalidade procurada: Com M i j e L i j dados por:

24 8.5. Métodos Numéricos para LES Discretização Elementos Finitos Diferenças Finitas Volumes Finitos Métodode Vórtices

25 8.5. Métodos Numéricos para LES Esquema temporal: deve ser de, pelo menos, segunda ordem Euler: primeira ordem – não recomendado Adams Bashforth: segunda ordem – apropriado

26 8.5. Métodos Numéricos para LES Runge Kuta: segunda ordem ou maior – apropriado

27 8.5. Métodos Numéricos para LES Esquema espacial: no mínimo de segunda ordem Esquemas Up-Wind: não recomendados por apresentar difusão numérica Esquemas centrados: são os mais apropriados por não apresentar difusão numérica O esquema centrado de segunda ordem tem sido considerado inapropriado para discretização do termo advectivo por ser oscilante!! A experiência tem mostrado que isto não é um problema numérico e sim deuso e de interpretação física. De fato: quando se associa segunda ordem no tempo com esquema centrado de segunda ordem no espaço mais modelagem da turbulência: estabilidade numérica, livre de difusão numérica

28 8.5. Métodos Numéricos para LES Acoplamento pressão velocidade: passo fracionado tem sido utilizado com sucesso. Nada impede que outros sejam utilizados com sucesso, desde que garantam convergência e conservação de massa. passo fracionado

29 8.5. Métodos Numéricos para LES Solver de sistemas lineares: SOR: caro e pode patinar MSI: método interativo – tem sido utilizado Gradiente conjugado: tem sido utilizado Multi-grid: é o melhor procedimento do momento – não patina e é muito mais rápido que os demais permite chegar a baixos resíduos de pressão e em consequencia a pequenos resíduos de massa. No entanto, é umm método mais apropriado para metodologias implícitas.

30 8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta- diferenças finitas centradas de segunda ordem – sem modelagem da turbulência: acúmulo de energia na frequência de corte. Malha: 32x32x32

31 8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta- diferenças finitas centradas de segunda ordem – sem modelagem da turbulência: acúmulo de energia na frequência de corte. Malha: 64x64x64

32 8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta – a modelagem da turgbulência de Smagorinsky foi introduzida a partir de 5 segundos – Constante de Smagorinsky: 0,18 Transferência excessiva de energia! Malha: 64x64x64

33 8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta – a modelagem da turgbulência de Smagorinsky foi introduzida a partir de 5 segundos – Constante de Smagorinsky: 0,028 Transferência adequada de energia! Incoveniente: ajustar a consntante!! Malha: 64x64x64

34 8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta – modelagem Dinâmica da turbulência foi introduzida a partir de 5 segundos – Transferência adequada de energia! Vantagem: não ter que ajustar a consntante!! Malha: 64x64x64

35 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência

36 Surfaces of vorticity: (a) Re = 100; (b) Re = 300; (c) Re = and (d) Re = – Esquema centrado de 2a. ordem no espaço e 2a. ordem no tempo, sem modelagem da turbulência

37 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência Surfaces of vorticity: (a) Re = 100; (b) Re = 300; (c) Re = and (d) Re = – Esquema centrado de 2a. ordem no espaço e 2a. ordem no tempo, sem modelagem da turbulência

38 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência Sem modelagem: Re=1.000 e Re=10.000Com modelagem: Re=1.000 e Re=10.000

39 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência Sem modelagem: Re=1.000 e Re=10.000Com modelagem: Re=1.000 e Re=10.000

40 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência Sem modelagem: e Re= x 250 pontos Com modelagem: Re= (250 x 500 pontos

41 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequdo de esquemas temporais e espaciais adequados + modelagem da turbulência Sem modelagem: Re=1.000 e Re=10.000Com modelagem: Re=1.000 e Re=10.000

42 8.8. Aspectos conclusivos Esquemas centrados no espaço não são instáveis para os termos advectivos, desde que combinados com esquemas de segunda ordem no tempo e mais modelagem da turbulência para altos Reynolds isto é fisicamente consistente Esquemas descentrados de baixa ordem de precisão são sempre estáveis, independente do número de Reynolds, devido à viscosidade numérica inerente a eles Esquemas centrados são preferíveis – exigem modelagem da turbulência para exercer o papel de transferência de energia sobre a freqüência de corte, sem a interferência de viscosidade numérica.

43 8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequdo de esquemas temporais e espaciais adequados + modelagem da turbulência Re Cd Present work Braza et al. (1986) Henders on (1997) Lima e Silva (2002) Sucker e Brauer (1975)


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