15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 21 Unidade teórica 2 Decisão financeira em incerteza 2009/10.

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1 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 21 Unidade teórica 2 Decisão financeira em incerteza 2009/10

2 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 22 Unidade teórica 2 – Decisão financeira em incerteza. Em que medida a incerteza influencia as decisões?. Como se formaliza a incerteza?. Qual a atitude do investidor face ao risco?

3 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 23 Motivação : Problema: Problema: –Os agentes económicos quase nunca têm acesso a toda a informação sobre o ambiente em que interagem –O objectivo pretendido pode não ser obtido pela acção tomada Solução Solução –Construir uma teoria de decisão

4 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 24 exemplo Suponha que é condutor e se encontra num dilema neste Portugal cheio de surpresas… Suponha que é condutor e se encontra num dilema neste Portugal cheio de surpresas… Isto é, tem de tomar uma decisão entre duas opções: Isto é, tem de tomar uma decisão entre duas opções: –Tomar a estrada A23. –Tomar a estrada A24. Deverá considerar o melhor entre dois planos (hipóteses)possíveis: Deverá considerar o melhor entre dois planos (hipóteses)possíveis: - Tomar a A23 - Tomar a A23 – Tomar a A24

5 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 25exemplo Sabe todavia que Sabe todavia que – Na estrada A23 o tráfego costuma ser lento. –Na estrada A24 costuma circular ligeiramente melhor que na A23. No entanto o rádio informa-o do seguinte: No entanto o rádio informa-o do seguinte: –Lento na A23, rápido na A24 Então –Lento (x) => Evitar (x) –Evitar(x) ^ Rápido(y) => selecionar (y) –Deverá seleccionar a A24. Decidiu em certeza

6 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 26 Incerteza Incerteza Pode, todavia, não possuir esta resposta isto é, Pode, todavia, não possuir esta resposta isto é, –Não saber qual a estrada que é mais lenta –Mas, estimar, por exemplo, que há 70% de possibilidade que uma das estradas (A24) seja lenta A incerteza pode modificar a decisão de um agente. A incerteza pode modificar a decisão de um agente.

7 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 27 Decisão em incerteza Decisão em incerteza Que decisão pode o condutor tomar?: Que decisão pode o condutor tomar?: –Plano 1 – A23  80% que seja bem sucedido  A23 será relativamente rápida mas pára totalmente com um acidente (cerca de 1 hora).  Se plano 1 for bem sucedido o resultado será muito bom, mas se falhar o resultado será muito mau. –Plano 2 – A24  70% de probabilidade de ser bem sucedido  A circulação na estrada é relativamente rápida mas não será muito má se houver problemas.  Se o plano 2 for bem sucedido o resultado será bom (não tão bom como o anterior) mas se houver problemas não será tão mau como o anterior.

8 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 28 Decisão em incerteza Qual a escolha: Plano1 ou Plano2? Qual a escolha: Plano1 ou Plano2? –Plano 1 porque tem uma probabilidade maior de sucesso? –Plano 2 porque a consequência de falhar é menos má? Então a escolha entre acções ou planos dados dois elementos depende: Então a escolha entre acções ou planos dados dois elementos depende: –Probabilidade de sucesso/falhanço –Consequência do sucesso e do falhanço.

9 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 29 CONCEITOS DA INCERTEZA A INCERTEZA PODE SER DEFINIDA COMO UMA SITUAÇÃO EM QUE O AGENTE ECONÓMICO VÊ AS CONSEQUÊNCIAS DAS SUAS DECISÕES DEPENDER DE FACTORES EXÓGENOS CUJOS ESTADOS DA NATUREZA NÃO PODEM SER PREVISTOS COM CERTEZA A INCERTEZA PODE SER DEFINIDA COMO UMA SITUAÇÃO EM QUE O AGENTE ECONÓMICO VÊ AS CONSEQUÊNCIAS DAS SUAS DECISÕES DEPENDER DE FACTORES EXÓGENOS CUJOS ESTADOS DA NATUREZA NÃO PODEM SER PREVISTOS COM CERTEZA Encontra-se em situação de risco. Encontra-se em situação de risco. O risco pode ser quantificado. Associa-se ao risco uma distribuição de probabilidades. O risco pode ser quantificado. Associa-se ao risco uma distribuição de probabilidades. Probabilidade objectiva ou subjectiva? Probabilidade objectiva ou subjectiva?

10 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 210 activos contingentes Ano 1 23 Cashflow E6 E6E106 Cupões zero Ano Terminal Valor nominal 1 1 ano E6 2 2 anos E6 3 3 anos E 106 E100= 6.v1+6.v2+106.v3

11 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 211 Activos financeiros e a incerteza Preço Hoje Cash flow Boa conjuntura Cash flow má conjuntura Cupão zero unitário v111 Acçãoa Cfa 1b Cfa 1m

12 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 212 Activos financeiros e a incerteza V1= 1 / (1+rf) V1= 1 / (1+rf) Cfa1 = p. Cfa1b + (1-p). Cfa1m Cfa1 = p. Cfa1b + (1-p). Cfa1m Ra = (cfa1-a) / a Ra = (cfa1-a) / a a = cfa1 / (1+ra) a = cfa1 / (1+ra)

13 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 213Decisão Teoria da decisão = teoria de probabilidades (relativo às hipóteses )+ teoria de utilidade (relativo aos resultados) Ideia fundamental: Ideia fundamental: –Máxima utilidade esperada –Ponderação decada resultado obtido pela probabilidade de ocorrência.

14 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 214 REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO: As preferências de um indivíduo têm uma representação da utilidade esperada se existir uma função u tal que um consumo aleatório x é preferível a um consumo aleatório y se e só se : As preferências de um indivíduo têm uma representação da utilidade esperada se existir uma função u tal que um consumo aleatório x é preferível a um consumo aleatório y se e só se : E [u(x) ≥ E [u(y)] E [u(x) ≥ E [u(y)] Onde E[.] é a expectativa de acordo com a probabilidade subjectiva de cada indivíduo. Onde E[.] é a expectativa de acordo com a probabilidade subjectiva de cada indivíduo.

15 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 215 REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO (2) Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo possam ter uma representação na utilidade esperada? Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo possam ter uma representação na utilidade esperada? Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo apresentem aversão ao risco tendo como pressuposto a existência de uma utilidade esperada? Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo apresentem aversão ao risco tendo como pressuposto a existência de uma utilidade esperada?

16 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 216 REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO (3) Probabilidade objectiva (Von Neumann- Morgenstern (1953) e probabilidade subjectiva (Savage (1972): diferentes aproximações á representação das preferência através de uma função de utilidade esperada. Probabilidade objectiva (Von Neumann- Morgenstern (1953) e probabilidade subjectiva (Savage (1972): diferentes aproximações á representação das preferência através de uma função de utilidade esperada. Uma relação de preferência é uma relação binária que é transitiva e completa Uma relação de preferência é uma relação binária que é transitiva e completa

17 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 217 Princípio básico Um agente tem de selecionar uma acção Um agente tem de selecionar uma acção Considere Ac = {A 1, A 2,…A i } um conjunto de acções Considere Ac = {A 1, A 2,…A i } um conjunto de acções Considere Res = {res 1, res 2,…} um conjunto de possíveis resultados Considere Res = {res 1, res 2,…} um conjunto de possíveis resultados Ex possiveis acções: plano 1 e 2. Ex possiveis acções: plano 1 e 2. Possíveis resultados: Chegar a casa cedo; Chegar a casa mais ou menos cedo; Chegar a casa tarde por causa do tráfego. Possíveis resultados: Chegar a casa cedo; Chegar a casa mais ou menos cedo; Chegar a casa tarde por causa do tráfego.

18 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 218 Princípio básico P(res j | A i ) = Probabilidade de obtenção do resultado res j, dada a acção A i : P(res j | A i ) = Probabilidade de obtenção do resultado res j, dada a acção A i : U(res j ) = utilidade associada a cada resultado. U(res j ) = utilidade associada a cada resultado. Utilidade Utilidade –Captura o desejo de realização de res j –Um agente ec preferirá um estado que lhe possa dar maior utilidade. –U(res j ) > U(res i )  res j é preferível a res i

19 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 219 Continuação do exemplo Continuação do exemplo plano1 e plano2 são acções plano1 e plano2 são acções Plano 1 considera a estrada A23 Plano 1 considera a estrada A23 –P(casa cedo|plano1) = 0.8 –P(preso estrada A23|plano1) = 0.2 –Rápido se não houver problemas, 1 hora de paragem se houver problemas. –U(chegar a casa cedo) = 100 –U(preso na estrada A23) = -1000 Plano 2 utiliza a estrada a24 Plano 2 utiliza a estrada a24 –P(chegar a casa mais ou menos cedo|plano2) = 0.7 –P(preso na estrada|plano2) = 0.3 –Mais ou menos rápido se não houver problemas, não tão mau se houver problemas. –U(de chegar mais ou menos cedo) = 50 –U(preso na estrada A24) = -10

20 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 220 Princípio básico Dada P(res 1 | A i ), utilidade U(res 1 ), Dada P(res 1 | A i ), utilidade U(res 1 ), P(res 2 | A i ), utilidade U(res 2 )… P(res 2 | A i ), utilidade U(res 2 )… A utilidade esperada (EU) de uma acção A i i: EU(A i ) =  U(res j )*P(res j |A i ) A utilidade esperada (EU) de uma acção A i i: EU(A i ) =  U(res j )*P(res j |A i ) Escolher A i tal que maximize EU MEU = argmax  U(res j )*P(res j |A i ) A i  Ac res j  OUT Escolher A i tal que maximize EU MEU = argmax  U(res j )*P(res j |A i ) A i  Ac res j  OUT res-j  res

21 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 221 Aplicação do princípio EU(Plano1) = P(casa cedo | plano1) *U(casa cedo) + EU(Plano1) = P(casa cedo | plano1) *U(casa cedo) + P(preso na A23 | plano1) * U(preso na A23) P(preso na A23 | plano1) * U(preso na A23) =0.8 * 100 + 0.2 * -1000 = -120 =0.8 * 100 + 0.2 * -1000 = -120 EU(Plano2) = P(casa mais ou menos cedo | plano2) * U(casa mais ou menos cedo) + P(preso na A24 | plano2) * U(preso na A24) = 0.7 * 50 + 0.3 * -10 = 32 EU(Plano2) = P(casa mais ou menos cedo | plano2) * U(casa mais ou menos cedo) + P(preso na A24 | plano2) * U(preso na A24) = 0.7 * 50 + 0.3 * -10 = 32 EU (plano2) é maior, logo escolho o plano 2 EU (plano2) é maior, logo escolho o plano 2

22 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 222 Another View: Decision Tree Decision node: You play Chance node: Nature plays Plan1 Plan2 0.70 0.30 0.80 0.20 Success Reward: $100 Success Reward: $50 Failure Reward: -$1000 Failure Reward: -$10 EU(Plan2): $50*0.7 -10*0.3 = 32 EU(Plan1): 100*0.8 –1000*0.2 = -120

23 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 223 Bigger Trees Possible Plan1 Plan2 0.70 0.80 0.20 Plan3 0.30 Plan1 Plan2 0.70 0.80 0.20 Plan3 0.30 Dec node

24 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 224 REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO (4) Conceitos: Conceitos: - Os modelos de incerteza partem de uma situação simples de dois momentos (t0 e t1) - Os modelos de incerteza partem de uma situação simples de dois momentos (t0 e t1) A incerteza em economia é modelizada pela consideração de diversos estados da natureza “incertos” a serem realizados em t1 A incerteza em economia é modelizada pela consideração de diversos estados da natureza “incertos” a serem realizados em t1 Um estado da natureza é a descrição completa de uma situação de incerteza a ocorrer entre t0 e t1. Um estado da natureza é a descrição completa de uma situação de incerteza a ocorrer entre t0 e t1. Um plano de consumo é a especificação do número de unidades de consumo de um bem em diversos estados da natureza Um plano de consumo é a especificação do número de unidades de consumo de um bem em diversos estados da natureza Relação de preferência do indivíduo face a diversos planos de consumo: mecanismo que permite um indivíduo comparar diferentes planos de consumo Relação de preferência do indivíduo face a diversos planos de consumo: mecanismo que permite um indivíduo comparar diferentes planos de consumo Função de utilidade permite concretizar a relação de preferência do indivíduo Função de utilidade permite concretizar a relação de preferência do indivíduo X é preferível a x´ se e só se U(x) ≥ U(x´) ou X é preferível a x´ se e só se U(x) ≥ U(x´) ou Em termos de utilidade esperada: Em termos de utilidade esperada: E[u(x)] ≥ E[u(x´)] E[u(x)] ≥ E[u(x´)]

25 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 225 Formalização do risco A decisão do investidor é subjectiva A decisão do investidor é subjectiva Existem linhas de acção a tomar Existem linhas de acção a tomar O resultado futuro é função dos estados de natureza considerados no momento da decisão. O resultado futuro é função dos estados de natureza considerados no momento da decisão. Os estados da natureza deverão ser mutuamente exclusivos e exaustivos Os estados da natureza deverão ser mutuamente exclusivos e exaustivos Os estados da natureza encontram-se fora do controle do decisor. Os estados da natureza encontram-se fora do controle do decisor. Para cada linha de acção existe uma consequência Para cada linha de acção existe uma consequência Existe uma matriz de resultados (payoff matrix) Existe uma matriz de resultados (payoff matrix)

26 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 226 Payoff matrix Estados da natureza Linhas de acção E1 E2 E3 ….. Ej ……… En A1A2...Ai...Am C11 C12 C13 …… C1j ……….C1n C21 C22 C23 …… C2j ……….C2n Ci1 Ci2 Ci3 …… Cij ……….Cin Cm1 Cm2 Cm3 …… Cmj ……….Cmn

27 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 227 Payoff matrix Exemplo Um vendedor de jornais vende ao preço de 5 euros uma revista que ele adquire ao preço de 3 euros. A sua experiência permite-lhe considerar que as vendas deste tipo de revista se situa em 2,3 ou 4 exemplares, sendo raro 1 ou 5. Tem a certeza de que vende pelo menos um exemplar. Um vendedor de jornais vende ao preço de 5 euros uma revista que ele adquire ao preço de 3 euros. A sua experiência permite-lhe considerar que as vendas deste tipo de revista se situa em 2,3 ou 4 exemplares, sendo raro 1 ou 5. Tem a certeza de que vende pelo menos um exemplar.

28 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 228 Payoff matrix Exemplo Nº exemplares vendidos Nºde exemplares armazenados 1 2 3 4 5 12345 2 2 2 2 2 -1 4 4 4 4 -4 1 6 6 6 -7 -2 3 8 8 -10 -5 0 5 10

29 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 229 Payoff matrix Exemplo Qual a melhor decisão? Critério Laplace : Não há razão q um estado da natureza seja melhor que o outro – Média aritmética de cada linha e tomar a que der média mais elevada. Critério Laplace : Não há razão q um estado da natureza seja melhor que o outro – Média aritmética de cada linha e tomar a que der média mais elevada. Critério Wald – Tomar em cada linha de acção a situação mais desfavorável e decidir pela menos desfavorável Critério Wald – Tomar em cada linha de acção a situação mais desfavorável e decidir pela menos desfavorável Critério Hurwicz – Cada linha é ponderada pela situação mais favorável e menos favorável e faz-se a media aritmética (ponderada). O factor de ponderação é efectuado pelo decisor. Critério Hurwicz – Cada linha é ponderada pela situação mais favorável e menos favorável e faz-se a media aritmética (ponderada). O factor de ponderação é efectuado pelo decisor. Critério de regressão – Procede a um regressão entre o valor previsto e o valor obtido à posteriori. Os parâmetros obtidos pela regressão irão afectar as decisões futuras. Critério de regressão – Procede a um regressão entre o valor previsto e o valor obtido à posteriori. Os parâmetros obtidos pela regressão irão afectar as decisões futuras.

30 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 230 Activos financeiros e a incerteza C1b>C1m>F Cash flow DívidaAcções Boa conjunt. Má conjunt. Valor mercado C1bC1m D=F.v1b+ F.v1m FF A=(c1b- F).v1b+(c1m- F).v1m C1b-FC1m-F Valor da empresa com dívida=A+D =C1b.v1b+C1m.v1m =valor da empresa sem dívida C1b>F>C1m Cash flow DívidaAcções Boa conjunt. Má conjunt. Valor mercado C1bC1m D=F.v1b+C1m. v1m FC1m A=(c1b- F).v1b C1b-F0

31 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 231 Decisão de investimento e mercado completo Preço hoje Cash flow boa conj Cash flow má conj Cupão zero unit Acção0,951,451211 Activos contingentes B Activos contingentes M Cupão zero unit 11 Acção221 0,95=1.v1b+1.v1m1,45=2.v1b+1.v1m V1b = 0,5 v1m = 0,45

32 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 232 Aversão ao risco, exemplo… Suponha que a um agente económico é dada a escolha de uma das seguintes hipóteses: Suponha que a um agente económico é dada a escolha de uma das seguintes hipóteses: Escollha 1: obter certo $1,000,000 Escollha 1: obter certo $1,000,000 –Esolha 2: Mandar uma moeda ao ar  Se sair cara, ganhar $3,000,000  Se sair coroa, não ganhar nada Cálculo da utilidade esperada: Cálculo da utilidade esperada: –EU(escolha1) = $1,000,000 –EU(escolha2) = 0.5 * $0 + 0.5 * $3,000,000 = $1,500,000 Porque muita gente prefere a escolha 1? Porque muita gente prefere a escolha 1?

33 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 233 Aversão ao risco Porque a maior parte das pessoas são “avessas ao risco” Porque a maior parte das pessoas são “avessas ao risco” As funções de utilidade poderão ser : As funções de utilidade poderão ser : –Para o primeiro milhão U($1M) = 10 –Para o segundo milhão U($2M) = 15 (Não 20) –Para o terceiro milhão U($3M) = 18 (Não 30) –….

34 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 234 Aversão ao risco If we plot amount of money on the x-axis and utility on the y-axis, we get a concave curve If we plot amount of money on the x-axis and utility on the y-axis, we get a concave curve EU(choice1) = U($1M) = 10 EU(choice1) = U($1M) = 10 EU(choice2) = 0.5*U(0) + 0.5*U($3M =18) = 9 EU(choice2) = 0.5*U(0) + 0.5*U($3M =18) = 9 That is why we prefer the sure $1M That is why we prefer the sure $1M

35 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 235 Atitude face ao risco Indiferença (neutro ao risco) Indiferença (neutro ao risco) Aversão ao risco Aversão ao risco Propensão ao risco Propensão ao risco Nota: Há uma função de utilidade associada

36 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 236 Indiferença ao risco Utilidade (U) Utilidade (U)

37 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 237 propensão ao risco Utilidade Utilidade Riqueza Riqueza

38 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 238 Aversão ao risco Utilidade Utilidade Riqueza Riqueza

39 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 239 Risk Averse, Risk Neutral Risk Seeking RISK AVERSERISK NEUTRAL RISK SEEKER EU(Choice1) = 10 EU(Choice2) = 9 EU(Choice1) =10 EU(Choice2) =15 EU(Choice1)=10 EU(Choice2)=25

40 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 240 conclusão Os activos financeiros são activos de risco. Os activos financeiros são activos de risco. Há todavia activos de maior ou menor risco e activos sem risco. Há todavia activos de maior ou menor risco e activos sem risco. Os indivíduos têm um grau de maior ou menor aversão ao risco traduzido pela utilidade esperada do ganho obtido. Os indivíduos têm um grau de maior ou menor aversão ao risco traduzido pela utilidade esperada do ganho obtido. Os pagamentos são incertos o que envolve que as escolhas sejam designadas de lotarias mas o princípio de maximização da utilidade esperada é uma decisão racional. Os pagamentos são incertos o que envolve que as escolhas sejam designadas de lotarias mas o princípio de maximização da utilidade esperada é uma decisão racional.

41 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 241 Anexo – about uncertainty measure Anexo – about uncertainty measure

42 Economist’s jargon Economists call a lottery a situation which involves uncertain payoffs: Economists call a lottery a situation which involves uncertain payoffs: –Cultivating apples is a lottery –Cultivating pears is another lottery –Playing with a fair die is another one –Monthly consumption Each lottery will result in a prize Each lottery will result in a prize

43 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 243 Drawing an indifference curve X2X2 X1X1 EU 1 EU 2 EU 3 Convex Indifference curves Important to understand that: EU 1 < EU 2 < EU 3 Line of lotteries without risk

44 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 244 Indifference curve and risk aversion X1X1 X2X2 3125/0.25 3125/0.75 Line of lotteries without risk 3125 4000 500 Lot. A Lot. B We had said that if the individual was risk averse, he will prefer Lottery A to Lottery B. These indifference curves belong to a risk averse individual as the Lottery A is on an indifference curve that is to the right of the indifference curve on which Lottery B lies. Lot A and Lot B have the same expected value but the individual prefers A because he is risk averse and A does not involve risk

45 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 245 What shape is the utility function of a risk averse individual? X=money U(x) U’(x)>0, increasing U’(x)>0, increasing U’’(x)<0, concave U’’(x)<0, concave

46 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 246 Indifference curves and risk aversion We have just seen that if the indifference curves are convex then the individual is risk averse We have just seen that if the indifference curves are convex then the individual is risk averse Could a risk averse individual have concave indifference curves? No…. Could a risk averse individual have concave indifference curves? No….

47 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 247 Does risk aversion imply anything about the sign of U’’(x) Convexity means that the second derivative is positive In order for this second derivative to be positive, we need that U’’(x)<0 A risk averse individual has utility function with U’’(x)<0

48 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 248 Geometric property A risk-averse utility function U is concave A risk-averse utility function U is concave Such a function satisfies: Such a function satisfies: –U[(1 - p) x + p y] ≥ (1 - p) U(x) + p U(y) –For each x, y, and p  [0,1] –(Not just p = ½, which is where we started) Geometrically, the curve lies on or above a line through any two of its points Geometrically, the curve lies on or above a line through any two of its points

49 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 249 Measuring Risk Aversion The most commonly used risk aversion measure was developed by Pratt The most commonly used risk aversion measure was developed by Pratt For risk averse individuals, U”(X) < 0 For risk averse individuals, U”(X) < 0 –r(X) will be positive for risk averse individuals

50 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 250 Now take wealth into account The coefficient a(x) helps measure what a person would pay to avoid a gamble: The coefficient a(x) helps measure what a person would pay to avoid a gamble: –That payment is approximately a(x) times ½ the variance of the gamble What fraction of wealth would the person pay to avoid a gamble? What fraction of wealth would the person pay to avoid a gamble? –Where wealth is given by x > 0

51 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 251 The Arrow-Pratt Measures of Risk Aversion Absolute risk aversion Absolute risk aversion - U΄΄(W)/U΄(W) = RA(W) - U΄΄(W)/U΄(W) = RA(W) Relative risk aversion Relative risk aversion -WU΄΄(W)/U΄(W) = RR(W) -WU΄΄(W)/U΄(W) = RR(W) Risk aversion means U΄(W) > 0 and U΄΄(W)  0 Risk aversion means U΄(W) > 0 and U΄΄(W)  0 The inverse of these measures gives a measure of risk tolerance The inverse of these measures gives a measure of risk tolerance

52 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 252 Risk Aversion If utility is logarithmic in consumption If utility is logarithmic in consumption U(X) = ln (X ) where X> 0 where X> 0 Pratt’s risk aversion measure is Pratt’s risk aversion measure is Risk aversion decreases as wealth increases Risk aversion decreases as wealth increases

53 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 253 Risk Aversion If utility is exponential If utility is exponential U(X) = -e -aX = -exp (-aX) where a is a positive constant where a is a positive constant Pratt’s risk aversion measure is Pratt’s risk aversion measure is Risk aversion is constant as wealth increases Risk aversion is constant as wealth increases

54 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 254 Willingness to Pay for Insurance Consider a person with a current wealth of £100,000 who faces a 25% chance of losing his automobile worth £20,000 Consider a person with a current wealth of £100,000 who faces a 25% chance of losing his automobile worth £20,000 Suppose also that the utility function is Suppose also that the utility function is U(X) = ln (x)

55 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 255 Willingness to Pay for Insurance The person’s expected utility will be The person’s expected utility will be E(U) = 0.75U(100,000) + 0.25U(80,000) E(U) = 0.75 ln(100,000) + 0.25 ln(80,000) E(U) = 11.45714 In this situation, a fair insurance premium would be £5,000 (25% of £20,000=expected loss) In this situation, a fair insurance premium would be £5,000 (25% of £20,000=expected loss)

56 15-04-2015 Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 256 Willingness to Pay for Insurance The individual will likely be willing to pay more than £5,000 to avoid the gamble. How much will he pay? The individual will likely be willing to pay more than £5,000 to avoid the gamble. How much will he pay? E(U) = U(100,000 - y) = ln(100,000 - y) = 11.45714 100,000 - y = e 11.45714 y= 5,426 The maximum premium he is willing to pay is £5,426 The maximum premium he is willing to pay is £5,426 The individual will insure if he is charged a fair premium (£5000) The individual will insure if he is charged a fair premium (£5000) Though this is just an example, this shows a general result. Risk averse individuals will prefer to be insured as long as the cost of that insurance is not too large Though this is just an example, this shows a general result. Risk averse individuals will prefer to be insured as long as the cost of that insurance is not too large