Principais Modelos Discretos Josemar Rodrigues AULA:

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1 Principais Modelos Discretos Josemar Rodrigues AULA:

2 2 Principais modelos probabilísticos discretos 1. Modelo Bernoulli Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados Exemplo: 1.Uma peça é classificada como boa ou defeituosa; 2.O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativa. 3.Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; 4.No lançamento de um dado ocorre ou não face 6; 5.No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa. Situações com alternativos dicotômicas, podem ser representadas genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso. Esses experimentos recebem o nome de Ensaio de Bernoulli e originam uma v.a. com distribuição de Bernoulli.

3 3 1.2 Aleatória De Bernoulli É uma variável aleatória X que apenas assume apenas dois valores 1 se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), e, sendo p a probabilidade de sucesso, 0 < p <1. Isto é, se X(S)=1 e X(F)=0. Logo a distribuição de probabilidade é dado por: x P(X=x) 0 1 1-p p Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli. Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que: E(X)=p Var(X)=p(1-p). Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao modelo Binomial.

4 4 2. Modelo Binomial Exemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade da variável X, número de caras nos 3 lançamentos. Denotemos, S: sucesso, ocorrer cara (c) e F:fracasso, ocorrer coroa(k). O espaço amostral para o experimento de lançar um moeda 3 vezes é: ={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS} Seja, X i é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3). Então a variável X=X 1 +X 2 +X 3, representa o número de caras nos 3 lançamentos.

5 5 Daí temos que: A distribuição de probabilidade da v.a. X é dada por: O comportamento de X, pode ser representado pela seguinte função:

6 6 Definição[Distribuição Binomial] Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dado por: Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p. Se X~B(n,p) pode-se mostrar que: E(X)=np Var(X)=np(1-p).

7 7 Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p

8 8 Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p

9 9 Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p

10 10 O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla escolha, consistente em 10 questões cada uma com 5 alternativas cada questão. Suponha que nenhum dos estudantes que vão a fazer a prova não vão as aulas e não estudaram para a prova (o que é muito freqüente). O professor estabeleceu que para aprovar deve contestar corretamente ao menos 6 questões. Se 200 alunos se apresentaram, quantos alunos aprovaram a disciplina?. Solução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10 questões. Então o evento de interesse é: S: questão respondida corretamente F:questão respondida incorretamente P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p). A probabilidade de aprovar a prova um aluno é: Portanto, dos 200 alunos que fizeram a prova aprovariam:200(0,00637) 2, alunos Exemplo 2.

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13 13 Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida) Exemplo: 1.Número de consultas a uma base de dados em um minuto. 2.Número de acidentes de trabalho por semana em uma empresa industrial. 3.Número de machas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma geladeira. 4.Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma empresa num intervalo de tempo (digamos de 8,0 a 12,0). 5.Número de autos que chegam ao Campus entre 7,0 a.m. a 10,0 a.m. 6.Número de microorganismos por cm cúbico de água contaminada. Distribuição de Poisson

14 14 Suposições básicas: Considere que o intervalo pode ser dividido em subintervalos com comprimento suficientemente pequeno tal a probabilidade de mais uma contagem em um subintervalo seja zero, a probabilidade de uma contagem em um subintervalo seja a mesma para todos os subintervalos e proporcional ao comprimento de subintervalo e a contagem em cada subintervalo seja independente de outros subintervalos.

15 15 Onde: X: número de eventos discretos em t unidades de medida, : media de eventos discretos em uma unidade de medida, t: unidade de medida = t: media de eventos discretos em t unidades de medida Notação: X~P( ), para indicar que a v.a. X tem distribuição de Poisson com parâmetro. Definição[Distribuição de Poisson] Uma variável discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro se sua função de probabilidade é dada por:

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18 18 Exemplo 1. As consultas num banco de dados ocorrem de forma independente e aleatório seguindo a distribuição de Poisson. Suponha que a média de consultas é 3 a cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que banco de dados seja consultado no máximo 2 em um intervalo de 2 minutos? Se X: número de consultas num banco de dados em 2 minutos, então, X ~P( ). Aqui t=2 e =3/4=0,75, então =(0,75)(2)=1,5. Ou seja X~P(1,5)

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20 20 Exemplo 2: O número de pedidos de empréstimos que um banco recebe por dia é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com =7,5. Determine as probabilidades de que, em um dia qualquer, o banco receba (a)Exatamente 2 pedidos de empréstimo; (b)No máximo 4 pedidos de empréstimo; (c)No mínimo oito pedidos de empréstimo.

21 21 X: número de pedidos de empréstimos que um banco recebe por dia X~P(7,5)

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26 26 PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Se X ~P( ), então. (i) A função de distribuição acumulada é dada por: (ii) E(X)=, Var(X)=.

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28 28 X~P(7,5)

29 29 Exemplo 3: Consideremos o exemplo 2,

30 30 Exemplo 3. Contaminação é um problema de fabricação de discos ópticos de armazenagem. O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson e o número médio de partículas por centímetro quadrado da superfície é 0,1. A área do disco em estudo é 100 centímetros quadrados. Encontre a probabilidade de que 12 partículas ocorram na área de um disco sob estudo. Se X: número de partículas na área de um disco sob estudo, então, X ~P( ). Aqui t=100 e =0,1, então =(100)(0,1)=10. Ou seja X~P(10)

31 31 A Distribuição Poisson Como Aproximação da Distribuição Binomial A distribuição Binomial para x sucessos em n ensaios de Bernoulli ´e dada por: Se =np, p= /n, substituindo p na função probabilidade temos

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34 34 Exemplo 5. 5. A probabilidade de um rebite particular na superfície da asa de uma aeronave seja defeituosa é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a probabilidade de que seja instalados não mais de seis rebites defeituosos? Usando a aproximação de Poisson, =4000(0,001)=4 X~P(4) Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então, X~B(400,0,001)

35 35 Exemplo 6. Em uma fabrica foram registradas em três semanas a média de acidentes: 2,5 na primeira semana, 2 na segunda semana e 1,5 na terceira semana. Suponha que o número de acidentes por semana segue um processo de Poisson. Qual é a probabilidade de que haja 4 acidentes nas três semanas?