REA.4.1.1-TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Adaptado da apostila de Física IV – IFUSP – de autoria de Manoel R. Robillota et al. Evento: Algo que realmente acontece.

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1 REA TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Adaptado da apostila de Física IV – IFUSP – de autoria de Manoel R. Robillota et al. Evento: Algo que realmente acontece num ponto do espaço e do tempo. Dois observadores, em referenciais diferentes, nunca discordam quanto à ocorrência do evento. Eles podem discordar quanto à descrição do evento.

2 Maria, no referencial SM , vê um evento ocorrendo no ponto (xM , yM , zM ; tM ).
João vê o mesmo evento ocorrendo no mesmo ponto do espaço tempo, que no referencial SJ , é descrito pelas coordenadas (xJ , yJ , zJ ; tJ ). J M

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5 x2 M + y2 M + z2 M - c2t2M = 0 Fig.1-(a): evolução do pulso luminoso no referencial de Maria

6 x2 J + y2 J + z2 J c2t2J = 0 Fig.2-(a): evolução do pulso luminoso no referencial de João

7 x2 M + y2 M + z2 M - c2t2M = (1) x2 J + y2 J + z2 J c2t2J = (2) Suposição: as transformações são lineares. Essa suposição visa preservar a HOMOGENEIDADE DO ESPAÇO e a UNIFORMIDADE DO TEMPO nos dois referenciais. Em outras palavras, a Física não pode depender da escolha das origens das coordenadas espaciais e temporais. Em uma transformação linear as novas coordenadas são combinações lineares das antigas. Um exemplo de transformação linear seria: xM = a.xJ + b.tJ Na relatividade, uma mudança de referencial não pode alterar o paralelismo entre 2 planos. Por isso as coordenadas de um ponto não se alteram nas direções perpendiculares ao movimento relativo.

8 y J z x v y M z x xJ = xM (3) zJ = zM (4) Como não sabemos nada sobre as demais coordenadas, vamos representá-las por transformações lineares genéricas: yJ = a1.yM + a2.tM (5) tJ = a3.tM + a4.yM (6) O problema é achar os coeficientes ai em função de v, já que é a velocidade relativa que diferencia os referencias SM e SJ.

9 Como temos 4 incógnitas a serem determinadas, temos a necessidade de igual nº de condições relacionando os pontos de SM e SJ. Condição 1: Decorre do fato de que João,na origem de SJ ,move-se com velocidade “v” em relação a SM . Num instante t0M, qualquer o origem de SJ será dada, em SM , por y0M = v.t0M. Em SJ , por outro lado, essa posição é sempre 0, já que João está fixo na origem do seu sistema. A (5) pode ser escrita: 0 = a1. v.t0M + a2.t0M (7) a2 = - v.a (8) Condição 2: Maria está fixa no referencial SM enquanto que, no referencial SJ , sua posição é sempre y0J = -v.t0J. Assim as equações (5) e (6) nos fornecem: -v.t0J = a2.t0M (9) t0J = a3.t0M (10) Dividindo (9) por (10) e usando a (8): a3 = a (11)

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11 João: (xEJ , yEJ , zEJ ; tEJ )
Para determinar a condição 3, supomos que um grão de poeira seja iluminado pela passagem da frente de onda emitida por Maria. A descrição desse evento, que chamaremos de E, nos dois referenciais, permitirá que encontremos os coeficientes das transformações de Lorentz. Evento E: Maria: (xEM , yEM , zEM ; tEM ) João: (xEJ , yEJ , zEJ ; tEJ ) Estes pontos estão vinculados entre si pelo fato de pertencerem à frente de onda, portanto, obedecem às eq. (1) e (2): (xEJ)2 + (yEJ)2 + (zEJ)2 – c2(tEJ)2 = (xEM)2 + (yEM)2 + (zEM)2 – c2(tEM)2 (12) As equações (3) e (4) permitem escrever: (yEJ)2 – c2(tEJ)2 = (yEM)2 – c2(tEM) (13) Usando (5), (6), (8) e (11), obtemos: a12(yEM - v tEM )2 - c2(a1tEM + a4yEM )2 = (yEM)2 – c2(tEM) (14)

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14 Exemplos Exemplo 1: A dilatação do tempo
Eventos: Origem espaço temporal dos 2 referenciais: o acendimento dos pavios. Evento de referência Maria: (0, 0, 0; 0) João : (0, 0, 0; 0)

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17 Fig. 3: Sucessão de eventos no referencial da Maria
J J M

18 Sucessão de eventos no referencial de Maria
J M y Instante tM = 0 y J M Tempo no ref. da Maria y J M

19 Sucessão de eventos no referencial de João
M y Instante tJ = 0 y J M Tempo no ref. de João y J M

20 Exemplo 2: mais dilatação do tempo
1 5 M1

21 J M1 M2 M3 M4 câmaras J Fig.-5: Foto dos relógios J e M, tirada por Maria; nesta foto não está representada a contração do relógio de João M1

22 Descrição dos eventos Evento a, de referência – foto dos relógios J e M1: Maria: (0, 0, 0; 0) João : (0, 0, 0; 0) Evento b, foto dos relógios J e M2: Maria: (0, L, 0; tbM) João : (0, 0, 0; tbJ ) Evento c, foto dos relógios J e M3: Maria: (0, 2L, 0; tcM) João : (0, 0, 0; tcJ ) Evento d, foto dos relógios J e M4: Maria: (0, 3L, 0; tdM) João : (0, 0, 0; tdJ )

23 Fig.6: foto dos relógios J e M2 tirada por Maria
8 4 J 6 M2 Fig.6: foto dos relógios J e M2 tirada por Maria

24 A uniformidade do tempo
foto 1 2 3 4 tJ(s) 48 96 144 tM(s) 60 120 180 A “velocidade” de passagem do tempo em cada um dos referenciais é sempre a mesma.