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REA.4.1.1-TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Adaptado da apostila de Física IV – IFUSP – de autoria de Manoel R. Robillota et al. Evento: Algo que realmente acontece.

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1 REA TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Adaptado da apostila de Física IV – IFUSP – de autoria de Manoel R. Robillota et al. Evento: Algo que realmente acontece num ponto do espaço e do tempo. Dois observadores, em referenciais diferentes, nunca discordam quanto à ocorrência do evento. Eles podem discordar quanto à descrição do evento.

2 Maria, no referencial S M, vê um evento ocorrendo no ponto (x M, y M, z M ; t M ). João vê o mesmo evento ocorrendo no mesmo ponto do espaço tempo, que no referencial S J, é descrito pelas coordenadas (x J, y J, z J ; t J ). M J

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5 Fig.1-(a): evolução do pulso luminoso no referencial de Maria x 2 M + y 2 M + z 2 M - c 2 t 2 M = 0

6 Fig.2-(a): evolução do pulso luminoso no referencial de João x 2 J + y 2 J + z 2 J - c 2 t 2 J = 0

7 x 2 M + y 2 M + z 2 M - c 2 t 2 M = 0 (1) x 2 J + y 2 J + z 2 J - c 2 t 2 J = 0 (2) Suposição: as transformações são lineares. Essa suposição visa preservar a HOMOGENEIDADE DO ESPAÇO e a UNIFORMIDADE DO TEMPO nos dois referenciais. Em outras palavras, a Física não pode depender da escolha das origens das coordenadas espaciais e temporais. Em uma transformação linear as novas coordenadas são combinações lineares das antigas. Um exemplo de transformação linear seria: x M = a.x J + b.t J Na relatividade, uma mudança de referencial não pode alterar o paralelismo entre 2 planos. Por isso as coordenadas de um ponto não se alteram nas direções perpendiculares ao movimento relativo.

8 y M z x y J z x v x J = x M (3) z J = z M (4) Como não sabemos nada sobre as demais coordenadas, vamos representá-las por transformações lineares genéricas: y J = a 1.y M + a 2.t M (5) t J = a 3.t M + a 4.y M (6) O problema é achar os coeficientes a i em função de v, já que é a velocidade relativa que diferencia os referencias S M e S J.

9 Como temos 4 incógnitas a serem determinadas, temos a necessidade de igual nº de condições relacionando os pontos de S M e S J. Condição 1: Decorre do fato de que João,na origem de S J,move-se com velocidade v em relação a S M. Num instante t 0 M, qualquer o origem de S J será dada, em S M, por y 0 M = v.t 0 M. Em S J, por outro lado, essa posição é sempre 0, já que João está fixo na origem do seu sistema. A (5) pode ser escrita: 0 = a 1. v.t 0 M + a 2.t 0 M (7) a 2 = - v.a 1 (8) Condição 2: Maria está fixa no referencial S M enquanto que, no referencial S J, sua posição é sempre y 0 J = -v.t 0 J. Assim as equações (5) e (6) nos fornecem: -v.t 0 J = a 2.t 0 M (9) t 0 J = a 3.t 0 M (10) Dividindo (9) por (10) e usando a (8): a 3 = a 1 (11)

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11 Para determinar a condição 3, supomos que um grão de poeira seja iluminado pela passagem da frente de onda emitida por Maria. A descrição desse evento, que chamaremos de E, nos dois referenciais, permitirá que encontremos os coeficientes das transformações de Lorentz. Evento E: Maria: (x E M, y E M, z E M ; t E M ) João: (x E J, y E J, z E J ; t E J ) Estes pontos estão vinculados entre si pelo fato de pertencerem à frente de onda, portanto, obedecem às eq. (1) e (2): (x E J ) 2 + (y E J ) 2 + (z E J ) 2 – c 2 (t E J ) 2 = (x E M ) 2 + (y E M ) 2 + (z E M ) 2 – c 2 (t E M ) 2 (12) As equações (3) e (4) permitem escrever: (y E J ) 2 – c 2 (t E J ) 2 = (y E M ) 2 – c 2 (t E M ) 2 (13) Usando (5), (6), (8) e (11), obtemos: a 1 2 ( y E M - v t E M ) 2 - c 2 (a 1 t E M + a 4 y E M ) 2 = (y E M ) 2 – c 2 (t E M ) 2 (14)

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14 Exemplos Exemplo 1: A dilatação do tempo Eventos: Origem espaço temporal dos 2 referenciais: o acendimento dos pavios. Evento de referência Maria: (0, 0, 0; 0) João : (0, 0, 0; 0)

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17 J M J Fig. 3: Sucessão de eventos no referencial da Maria

18 Tempo no ref. da Maria J M y Instante t M = 0 y J M y J M Sucessão de eventos no referencial de Maria

19 Sucessão de eventos no referencial de João Tempo no ref. de João J M y Instante t J = 0 y J M y J M

20 Exemplo 2: mais dilatação do tempo M1

21 000 M3 000 M2 000 M4 000 M1 000 J câmaras 000 M1000 J Fig.-5: Foto dos relógios J e M, tirada por Maria; nesta foto não está representada a contração do relógio de João

22 Descrição dos eventos Evento a, de referência – foto dos relógios J e M1: Maria: (0, 0, 0; 0) João : (0, 0, 0; 0) Evento b, foto dos relógios J e M2: Maria: (0, L, 0; t b M ) João : (0, 0, 0; t b J ) Evento c, foto dos relógios J e M3: Maria: (0, 2L, 0; t c M ) João : (0, 0, 0; t c J ) Evento d, foto dos relógios J e M4: Maria: (0, 3L, 0; t d M ) João : (0, 0, 0; t d J )

23 060 M2 840 J Fig.6: foto dos relógios J e M2 tirada por Maria

24 A uniformidade do tempo foto1234 t J (s) t M (s) A velocidade de passagem do tempo em cada um dos referenciais é sempre a mesma.


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