Um pouco de História da Trigonometria

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1 Um pouco de História da Trigonometria

2 A origem da trigonometria é incerta.
Entretanto, pode dizer-se que o início do seu desenvolvimento se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura, e Navegação, com os egípcios e babilónios.

3 Os povos da Antiguidade admiravam
o céu, os seus mistérios e a sua influência na vida: - clima, colheitas, estações do ano ...

4 A Matemática foi criada, em grande parte, para entender e tentar aceder aos segredos do Universo.

5 A Trigonometria foi aplicada na navegação

6 Os navegadores da antiguidade precisavam de calcular a distância a que se encontravam da terra enquanto navegavam.

7 O astrolábio é um antigo instrumento astronómico,
hoje em dia obsoleto, que teve muita importância na astronomia, principalmente na astronomia náutica, quando os astros visíveis no céu constituíam o principal referencial dos primeiros grandes navegadores.

8 O astrolábio também era usado na
agrimensura, para se conhecer, por exemplo, a altura de uma montanha a partir do cálculo do ângulo formado pela sua sombra.

9 A antiga civilização egípcia durou cerca de 3000 anos.
Durante esse tempo, em terras vizinhas, surgiram outras culturas, que prosperaram e desapareceram surgindo outras no seu lugar. Por exemplo, em épocas diferentes várias culturas viveram na terra conhecida hoje por Israel.

10 Os Mesopotâmios viveram na
Ásia Ocidental entre os rios Tigre e Eufrates, no atual Iraque. Faziam parte da Mesopotâmia vários povos, entre os quais os sumérios, os babilônios, os assírios. A Mesopotâmia foi muito influente e os seus costumes perduram até aos dias de hoje.

11 A linguagem dos ângulos e a astronomia nasceram na Mesopotâmia
Fontes principais: tábuas de barro cozido Escrita: cuneiforme Período: aC Região: entre os rios Tigre e Eufrates (Médio Oriente) Principal cidade-estado: Babilónia

12 Desde o início do Século XIX foram escavadas aproximadamente meio milhão de
tábuas de argila babilônicas e milhares delas são de natureza matemática. Provavelmente o mais famoso destes exemplos de matemática babilônica seja a tábua Plimpton 322.

13 Tábua com numerais cuneiformes babilônios
A tradução das tábuas cuneiformes teve início em 1870, quando se descobriu uma inscrição trilíngue nas encostas do monte Behistun, narrando a vitória do rei Dario sobre Cambises. Tábua com numerais cuneiformes babilônios de 2800 aC

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15 Um trapézio. A base e o lado medem 2,20 O topo mede 2. A área obtida é 5,3,20.

16 YBC 7302 um círculo com os números 3, 9 e 45. 45 representa a área do círculo, e 3 o raio da circunferência. Usavam A=5C^2 ou A=C^2/12.

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19 O Antigo Egipto foi uma civilização
da Antiguidade que se desenvolveu no canto nordeste do continente  africano, limitado a leste pelo deserto da Arábia, a oeste pelo deserto da Líbia, a sul pela Núbia e a norte pelo Mar Mediterrâneo. .

20 A história do Antigo Egipto inicia-se em
cerca de 3100 a.C., altura em que se verificou a unificação dos reinos do Alto e do Baixo Egipto, e termina em 30 a.C. quando o Egipto, já então sob dominação estrangeira, se transformou numa província do Império Romano, após a derrota da rainha Cleópatra.

21 Fontes da História da Matemática do Egito Antigo
Fontes principais: inscrições em monumentos; inscrições em objetos; papiros. Escrita principal: hieróglifos Período imperial: aC Região: litoral mediterrâneo da África

22 Sistema de Numeração Egípcio
- Talvez o mais antigo dos sistemas de numeração desenvolvidos; Usava a escrita no formato Hieroglífico (cada um dos sinais da escrita das antigas civilizações); - Usava sistema de agrupamento simples (base 10).

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24 Exemplo de numeral egípcio
Como representar 325 em numeral egípcio? 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 5

25 Gravura num cetro real egípcio:
prisioneiros cabras capturadas (!)

26 Unidades de Medida ao Longo da História
Durante muito tempo, o mundo usou medidas imprecisas, como aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. Isso gerou muitos problemas, principalmente no comércio, devido à falta de um padrão para determinar quantidades de produtos. Muitos aproveitavam para roubar ou tirar vantagem por causa dessa imprecisão. Atualmente as unidades de medidas utilizadas e padronizadas pelo sistema internacional de medidas são: Quilómetro (km), Hectómetro (hm), Decâmetro (dam), metro (m), Decímetro (dm), Centímetro (cm) e Milímetro (mm). Das unidades citadas utilizamos como referencial o metro.

27 O cúbito era uma unidade utilizada pelos egípcios há, aproximadamente, 4.000 anos.
Ela consistia na distância do cotovelo até a ponta do dedo médio do faraó. 

28 Como as pessoas tinham tamanhos diferentes, o cúbito causava grandes confusões nos resultados das medições. Desta forma verificou-se que, para que os padrões fossem úteis, era necessário que estes fossem iguais para todos. Diante disso, os egípcios resolveram criar um padrão único. Assim, eles passaram a usar nas suas medições, barras de pedra com o mesmo comprimento, tendo assim surgido o cúbito-padrão. Logo as dificuldades apareceram: o padrão feito de pedra era difícil de transportar, obrigando a que estes fossem confecionados em madeira. Porém, como a madeira rapidamente se desgastava, foram gravados comprimentos equivalentes a um cúbito-padrão nas paredes dos principais templos.

29 O palmo era muito utilizado pelos povos
egípcios, e esta medida consistia na utilização de quatro dedos juntos e correspondia à sétima parte do cúbito. Hoje o palmo ainda é utilizado em medições caseiras, e é medido pela distância em linha reta do polegar ao dedo mindinho. 

30 Algumas unidades ainda são utilizadas por
determinados países até os dias atuais. A Inglaterra e os Estados Unidos utilizam a jarda como medida de comprimento. Essa medida consiste na distância entre o nariz e a ponta do dedo médio, com o braço esticado.

31 Nos jogos de futebol, a jarda é utilizada nos momentos em que o juiz precisa marcar a distância entre a bola e a barreira, para isso ele faz a medição contando passos ( 3 passos é a medida aproximada de 1 jarda). No futebol americano as distâncias percorridas pelos atletas são registadas em jardas, que medem aproximadamente 0,91 metros.

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33 Papiro de Rhind e Papiro de Moscou
Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios baseia-se em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes (ou papiro de Rhind) e o Papiro de Moscou.

34 Trecho do Papiro de Moscou
Problema do cálculo do volume de um tronco de pirâmide de base quadrada.

35 Papiro Ahmes conhecido como Papiro Rhind
Um certo número de papiros egípcios resistiu ao desgaste do tempo por mais de três milénios. O mais extenso dos de natureza matemática é um rolo de papiro com cerca de 0,33 m de altura e 5,5 m de comprimento, o papiro Rhind.

36 Este papiro data de aproximadamente 1650 a. C
Este papiro data de aproximadamente 1650 a.C., e contém 84 problemas e respetivas soluções, dos quais quatro fazem menção ao seqt de um ângulo. Na construção das pirâmides era essencial manter uma inclinação constante das faces, o que levou os egípcios a introduzirem o conceito de seqt. Ahmes não foi claro ao expressar o significado desta palavra mas, pelo contexto, pensa-se que o seqt de uma pirâmide regular seja equivalente ao que entendemos hoje ser a cotangente do ângulo que a face lateral da pirâmide faz com a sua base .

37 Alguns Problemas do Papiro Rhind
Problema 57: A seked de uma pirâmide é 5 palmos e 1 dedo, e a base é 140 cúbitos. Qual é a altura? Solução: /3 Problema 58: A altura de uma pirâmide é 93 1/3 cúbitos, e a base é 140 cúbitos. Qual é a seked? Solução: 5 palmos e um dedo. Problema 59: A altura de uma pirâmide é 8 cúbitos, e a base é 12 cúbitos. Qual é a seked? Solução: 5 palmos e um dedo.

38 Além da utilização da trigonometria nas medições das pirâmides, apareceu no Egito (1500 a.C. aproximadamente) a ideia de associar as sombras projetadas por uma vara vertical a sequências numéricas, relacionando os seus comprimentos com as horas do dia (relógios de sol). O gnómon deve ter sido o mais antigo instrumento astronómico construído pelo homem. Na sua forma mais simples, consistia apenas de uma vara fincada, geralmente na vertical, no chão.

39 Gnômon Um relógio de sol vertical, muito usado pelas primeiras civilizações. Este tipo de relógio de sol ainda é usado por tribos indígenas brasileiras. Observando a sombra da gnômon ao longo de um dia, os antigos astrónomos puderam perceber que ela era muito longa ao amanhecer e que ia mudando tanto de direção como de comprimento ao longo do dia. Verificaram que o instante em que a sombra era a mais curta do dia, correspondia ao instante que dividia a parte clara do dia em duas metades. A esse instante deram o nome de Meio-dia e a direção em que a sombra se encontrava nesse instante recebeu o nome de Linha do Meio-dia ou seja, linha meridiana.

40 À linha horizontal perpendicular à linha
meridiana chamaram linha Este-Oeste, sendo que a direção Este foi nomeada aquela que corresponde ao lado do nascer do Sol, ficando o Oeste para o lado oposto.  De pé, com os dois braços esticados na horizontal, e apontando o direito para o leste, define-se o Norte como sendo a direção da linha meridiana à frente da pessoa e Sul para trás. Assim foram definidos os pontos cardeais Norte, Sul, Este e Oeste.

41 Modelo do Relógio de Sol Egípcio

42 O gnómon, isto é a vareta GN da figura espetava-se no chão, formando com ele um ângulo de 90º, e o comprimento da sua sombra (AN) era observado, num horário determinado: meio dia. Uma observação dos limites da sombra permitia medir a duração do ano e o movimento lateral diário do ponto A permitia medir a duração do dia.

43 O princípio do relógio de sol supõe uma divisão da inclinação da sombra em intervalos de 15o

44 Triângulos retângulos com ângulos notáveis (“triângulos das horas”)
1 15o 30o 45o 60o 75o

45 Cada ângulo notável pode ser associado a uma hora do dia

46 As divisões em 15o assinalam os valores notáveis de ângulos
Dividido em 24 partes, cada uma com 15o, pode representar as horas do dia 30o 15o 0o

47 Sabemos que os diversos ramos da Matemática não se formaram nem evoluíram da mesma maneira e ao mesmo tempo, mas sim gradualmente. O desenvolvimento da trigonometria está intimamente ligado ao da geometria. Neste campo, a Grécia produziu grandes sábios; entre eles Thales ( a.C.), com seus estudos de semelhança de triângulos que são a base da trigonometria, e seu discípulo Pitágoras ( a.C.)

48 Grécia Antiga: berço da Matemática sistematizada
Fontes principais: referências históricas em escritos filosóficos ou matemáticos Escrita: grego Período: aC Região: em torno do mar Egeu

49 (demonstração matemática)
O primeiro dos sábios da Grécia, que buscou o conhecimento no Egito e na Mesopotâmia: Tales de Mileto ( aC) inaugurou o método da prova imaterial (demonstração matemática)

50 Provável aluno de Tales, criador da palavra matemática:
Pitágoras de Samos ( aC) Pitágoras criou uma matemática investigativa e interdisciplinar. Descobriu a teoria matemática das notas musicais

51 Os documentos gregos eram mais facilmente destruídos
que os papiros egípcios e as tabletas de barro babilônias. Mas os gregos criaram uma tradição oral e escrita que perdurou até hoje. Sócrates foi o precursor do método da busca filosófica, base da concepção científica. Não há escritos de Sócrates: ele aparece como um personagem nos Diálogos de Platão. Platão ( aC)

52 A Matemática foi organizada com base na Lógica filosófica.
A Matemática grega possuía algo antes inédito: a noção de demonstração. Aristóteles escreveu o Organon, ou Instrumento da Ciência, estabelecendo as bases da Lógica. Aristóteles ( aC)

53 Teorema de Pitágoras em Os Elementos de Euclides
Os gregos inauguraram o método da prova imaterial, a Demonstração matemática Teorema de Pitágoras em Os Elementos de Euclides (manuscrito árabe)

54 Segundo o historiador Heródoto (490 - 420 a. C
Segundo o historiador Heródoto ( a.C.), foram os gregos que deram o nome gnómon ao relógio de sol que chegou até eles através dos babilônios, embora já tivesse sido utilizado pelos egípcios antes de 1500 a.C.. Este instrumento evidencia e reforça a hipótese de que a trigonometria foi uma ferramenta essencial para observação dos fenómenos astronómicos pelos povos antigos, uma vez que a documentação relativa a esse período é praticamente inexistente. (“ponteiro” em grego)

55 Os gregos generalizaram o conhecimento egípcio

56 Para os gregos não haviam razões trigonométricas, mas linhas trigonométricas
1 sen  

57 A palavra cosseno vem de complementi sinus
Havia apenas o seno, o cosseno era apenas o seno do ângulo complementar (não tinha nome próprio) 1  sen  A palavra cosseno vem de complementi sinus (seno do ângulo complementar)  cos 

58 Seno e cosseno não eram razões entre lados, mas comprimentos de segmentos de reta, aplicáveis aos demais triângulos por semelhança   1 sen  a b  cos   c sen  = b/a cos  = c/a

59 A Tangente refere-se à reta que toca (tange) o círculo
 1

60 Cotangente também vem de tangente do ângulo complementar
 a  b tan    c 1 tan  = b/c tan  = cotan  = c/b

61 Helenismo: a cultura grega espalhou-se pelo mundo através do império que Alexandre Magno construiu entre 333 e 323 aC, fundando diversos centros cosmopolitas de integração racial e cultural, alguns com o nome de Alexandria. Alexandre foi aluno de Aristóteles.

62 Após a sua morte, o império de Alexandre foi dividido e Alexandria no Egito ficou sob comando do General Ptolomeu, que deu continuidade aos sonhos de Alexandre, fundando ali uma grande Universidade. Euclides foi chamado para ser o coordenador da parte de Matemática da Biblioteca de Alexandria.

63 Euclides escreveu em uma única obra
toda a Matemática conhecida no ano 300 aC. Os Elementos, em 13 volumes A Biblioteca de Alexandria continha cerca de volumes, com informação abundante sobre História da Matemática. Euclides de Alexandria ( aC)

64 Foi Eratóstenes de Cirene (276 -196 a.C.)
que produziu a mais notável medida da Antiguidade para a circunferência da Terra, usando semelhança de triângulos e razões trigonométricas, o que o levou a perceber a necessidade de relações mais sistemáticas entre ângulos e cordas. O tratado “Sobre a medida da Terra” resume as conclusões a que ele chegou mas, infelizmente, esses escritos perderam-se e tudo o que conhecemos sobre o assunto chegou até nós pelos relatos de Ptolomeu e Heron.

65 Medida do raio da Terra por Eratóstenes
É de salientar que, para tornar possível o trabalho de Eratóstenes, foi determinante na época o conhecimento do conceito de ângulo e de como medi-lo.

66 Hiparco de Nicea (atual Turquia) (c. 190 - 120 aC)
Astrónomo e geógrafo grego fortemente influenciado pela matemática da Babilônia, acreditava que a melhor base de contagem era a 60 (sistema sexagesimal). Não se sabe exatamente quando se tornou comum dividir a circunferência em 360 partes, mas isto parece dever-se a Hiparco, assim como a atribuição do nome arco de 1 grau a cada parte em que a circunferência ficou dividida. Ele dividiu cada arco de 1 grau em 60 partes obtendo o arco de 1 minuto. “O maior astrônomo da Antiguidade” Corrigiu vários cálculos de Aristarco

67 A sua trigonometria baseava-se numa única função, na qual a cada arco de circunferência de raio arbitrário, era associada a respetiva corda. Hiparco construiu o que foi presumivelmente a primeira tabela trigonométrica com os valores das cordas de uma série de ângulos de 0º a 180º. Ele observou que num dado círculo a razão do arco para a corda diminui quando o arco diminui de 180º graus para 0º. Resolveu então associar a cada corda de um arco o angulo central correspondente, o que representou um grande avanço na Astronomia e por isso ele recebeu o título de Pai da Trigonometria.

68 Ptolomeu de Alexandria (c. 85 - 165)
Condensou e estabeleceu os métodos da trigonometria

69 Ela ficou conhecida como Almagesto, que significa em árabe “A maior” =
Hiparco foi uma figura de transição entre a astronomia babilónica e o grande Cláudio Ptolomeu, autor da mais importante obra da trigonometria da Antiguidade, surgida no século dois da nossa era, na Alexandria, a “Syntaxis Mathemática”, composta por treze volumes. Ela ficou conhecida como Almagesto, que significa em árabe “A maior” = Al magest, pois os tradutores árabes consideravam-na a maior obra existente na época, em Astronomia. Ela é indispensável para se entender o legado astronómico da Antiguidade grega.

70 Ptolomeu, na verdade, sistematizou e compilou no
Almagesto uma série de conhecimentos bastante difundidos na sua época e a maior parte da obra é baseada no trabalho do astrónomo e matemático grego Hiparco, cujos livros se perderam. Ele menciona que Hiparco escreveu doze livros sobre cálculo de cordas, incluindo uma tábua de cordas. Dos treze livros que compõem o Almagesto, o primeiro contém as informações matemáticas preliminares, indispensáveis na época, para uma investigação dos fenómenos celestes, tais como proposições sobre geometria esférica, métodos de calculo, uma tábua de cordas e explicações gerais sobre os diferentes corpos celestes. Os demais livros são dedicados à Astronomia.

71 Ptolomeu desenvolveu o estudo da
trigonometria nos capítulos dez e onze do primeiro livro do Almagesto. O capítulo 11 consiste numa tabela de cordas O capítulo 10 explica como tal tabela pode ser calculada. Na verdade, não existe no Almagesto nenhuma tabela contendo as “funções” seno e cosseno, mas sim a função corda do arco x, ou crd x.

72 No Almagesto existe: (a) Uma tabela mais completa que a de Hiparco, com ângulos de meio em meio grau, de 0 graus a 180 graus; (b) O uso da base 60, com a circunferência dividida em 360 graus e o raio em 60 partes e frações sexagesimais, não só para expressar ângulos mas também para qualquer tipo de calculo, com exceção dos de medida de tempo. (c) O uso, também utilizando cordas, do seno do arco metade:

73 (d) O resultado que passou a ser conhecido como
Teorema de Ptolomeu: Se ABCD é um quadrilítero convexo inscrito num círculo, então a soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto das diagonais. A partir desse resultado, operando com as cordas dos arcos, Ptolomeu chegou a um equivalente das fórmulas de seno da soma e da diferença de dois arcos. Especialmente a fórmula para a corda da diferença foi usada por ele para a construção da tabela trigonométrica.

74 Círculo trigonométrico de Ptolomeu, com raio constante (60, base das frações sexagesimais)

75 O círculo trigonométrico posteriormente passou a ter raio unitário
1 1 1 1 1 1 1 1

76 Obrigada pela vossa atenção