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Introdução A palavra trigonometria (do grego TRIGONO = triângulo, METRIA = medida) teve origem na resolução de problemas práticos, relacionados principalmente.

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2 Introdução A palavra trigonometria (do grego TRIGONO = triângulo, METRIA = medida) teve origem na resolução de problemas práticos, relacionados principalmente à navegação e à astronomia. A trigonometria relaciona mas medidas dos lados dos triângulos com a medida de seus ângulos e é de grande utilidade para o cálculo de distancias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, torres, distancia entre rios.

3 Acredita-se que como ciência, a trigonometria nasceu pelas mãos de diversos homens, com destaque ao astrônomo grego Hiparco de Nicélia (190 aC – 125 aC). Introdução Este astrônomo utilizou a matemática aplicada para prever eclipses e movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e propiciando mais segurança à navegação. Hiparco ficou conhecido como pai da trigonometria por ter sistematizado algumas relações no triangulo retângulo.

4 A trigonometria não se limita ao estudo de triângulos, encontramos aplicações, por exemplo: na engenharia: na cinemática, trabalho, no movimento harmônico na acústica: o som segue uma função seno. Introdução

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6 A trigonometria não se limita ao estudo de triângulos, encontramos aplicações, por exemplo: na química: Na química utilizamos a trigonometria para definir a geometria das moléculas e assim definir algumas propriedades suas. na astronomia: Para o calculo do distancia entre o astros. na medicina: A variação da pressão nas paredes dos vasos sanguíneos de um certo indivíduo em função do instante de coleta dessa medida. Introdução

7 Conceitos iniciais: Razões trigonométricas no triângulo retângulo

8 Atividade 1: Em uma folha, desenhe, utilizando régua, e transferidor um triangulo retângulo, em que um dos ângulos meça 50 ̊. Agora, calcule as seguintes razões: Razões trigonométricas no triângulo retângulo Por que deu igual o de todo mundo?

9 Todos encontraram o mesmo resultado por que a razão está relacionada ao valor do ângulo e não da medida do lado propriamente dito. Razões trigonométricas no triângulo retângulo Vale lembrar: Todos os triângulos desenhados na sala são semelhantes, pois possuem todos os ângulos internos iguais. Ou seja, os lados de todos os triângulos são proporcionais, logo a razão resultará num mesmo valor. Vale lembrar: Todos os triângulos desenhados na sala são semelhantes, pois possuem todos os ângulos internos iguais. Ou seja, os lados de todos os triângulos são proporcionais, logo a razão resultará num mesmo valor. Essas divisões, recebem, cada uma, um nome específico. SENO, COSSENO, TANGENTE São eles: SENO, COSSENO, TANGENTE.

10 Voltemos à atividade 1... CO CA H

11 Atividade 1: Em uma folha, desenhe, utilizando régua, e transferidor um triangulo retângulo, em que um dos ângulos meça 50 ̊. Agora, calcule as seguintes razões: Razões trigonométricas no triângulo retângulo

12 Atividade 1: Ou seja: Podemos concluir que: Razões trigonométricas no triângulo retângulo Seno de 50 ̊ = 0,766 sen(50 ̊) = 0,766 Coseno de 50 ̊ = 0,642 cos(50 ̊) = 0,642 Tangente de 50 ̊ = 1,119 tg(50 ̊) = 1,119 CO CA H

13 Os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulo menores que 90 ̊, já são conhecidos e estão tabelados. Observe ao lado: Razões trigonométricas no triângulo retângulo

14 Atividade 2: O ângulo de elevação do topo da encosta tomado a partir do pé de uma árvore é de 60 ̊. Sabendo que a arvore está a 50m de distância da base da encosta, qual é a medida que deve ter um cabo de aço para ligar a base da arvore ao topo da encosta? Razões trigonométricas no triângulo retângulo Da tabela: cos(60 ̊) = 0,5 Qual relação vamos utilizar? COSSENO

15 Atividade 3: A determinação feita por radares da altura de uma nuvem em relação ao solo é importante para previsões meteorológicas e na orientação de aviões para que evitem turbulências. Nessas condições, determine a altura das nuvens detectadas pelos radares conforme o desenho a seguir. Razões trigonométricas no triângulo retângulo Da tabela: tg (4 ̊) = 0,07 Qual relação vamos utilizar? TANGENTE

16 Atividade 4: Uma escada de um carro de bombeiros pode estender-se até um comprimento máximo de 30m, quando é levantada a um ângulo máximo de 70 ̊. Sabe-se que a base da escada está colocada sobre um caminhão, a uma altura de 2m do solo. Que altura em relação ao solo, essa escada poderá alcançar? Razões trigonométricas no triângulo retângulo Da tabela: sen(70 ̊) = 0,939 Qual relação vamos utilizar? SENO

17 Como saber qual relação usar??? Depende dos dados do seu problema... Se as variáveis a serem relacionadas são: Cateto Oposto e Hipotenusa ->Seno Cateto Adjacente e Hipotenusa -> Cosseno Cateto Oposto e Cateto Adjacente -> Tangente Razões trigonométricas no triângulo retângulo

18 Na resolução de alguns problemas é mais conveniente usar os valores da seguinte tabela: Razões trigonométricas no triângulo retângulo

19 Exercícios: – Página 71: E 33, 34, 43 Razões trigonométricas no triângulo retângulo

20 Objetivo: Determinar a altura de objetos do modo indireto, utilizando as funções trigonométricas

21 O teodolito é um instrumento ótico utilizado na Topografia e na Agrimensura para realizar medidas de ângulos verticais e horizontais, usando cálculos de triangulação. Basicamente é um telescópio com movimentos graduados na vertical e na horizontal, e montado sobre um tripé, podendo possuir ou não uma bússola incorporada. Razões trigonométricas no triângulo retângulo

22 Construindo um teodolito: Razões trigonométricas no triângulo retângulo Materiais necessários Materiais necessários: Copo plástico com tampa de encaixe. Cópia de transferidor circular Quadrado de papelão Pedaço de arame fino ( 15 cm) Conudinho do Mc Donal`s

23 Construindo um teodolito: Razões trigonométricas no triângulo retângulo Como construir 1.Cubra o quadrado do papelão, colando a cópia do transferidor, no centro do quadrado; posicione o ângulo zero na direção do ponto médio de um lado. 2. Cole a tampa do copo no interior da figura do transferidor, centralizada.

24 Construindo um teodolito: Razões trigonométricas no triângulo retângulo Como construir 3. Passe o arame pela boca do copo numa posição diametral, deixando que suas pontas, atinjam as extremidades do transferidor. 4. Cole o pedaço de canudinho no fundo do copo, também em posição diametral, na mesma direção do arame. 5. Encaixe o copo na tampa.

25 Utilizando o um teodolito: Razões trigonométricas no triângulo retângulo

26 Vamos então fazer um experimento? Vamos então fazer um experimento? Podemos ir até o ginásio de esportes da escola para medir a altura da tabela da cesta da basquete. Razões trigonométricas no triângulo retângulo Procedimento: Primeiro deve-se marcar no chão a linha perpendicular que contém a tabela. Deste ponto em diante, usar a trena para marcar as distâncias de 5m, 10m, 20m, 30m para serem referência de marcação.

27 Os dados obtidos serão registrados em uma tabela: Razões trigonométricas no triângulo retângulo

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29 Há duas relações importantes válidas entre as razões trigonométricas estudadas. Observe a primeira: Razões trigonométricas no triângulo retângulo

30 Segunda relação: Razões trigonométricas no triângulo retângulo a b c Pelo Teorema de Pitágoras: Substituindo, obtemos:

31 As duas relações aprendidas servem como uma ferramenta a mais para determinarmos o valor das funções trigonométricas dos ângulos. EXERCÍCIOS: Página 61 – E14, 15 Razões trigonométricas no triângulo retângulo


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