Unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 1 Unidade teórica 4. O Modelo simplificado de Sharpe (1963)

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1 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 1 Unidade teórica 4. O Modelo simplificado de Sharpe (1963) Avaliação de activos financeiros: Modelo C.A.P.M. (Notas de Moukhamedjanova Sabina Chan Bonnie e de Abhishek Kapur & Geir Sivertsen) C arlos Arriaga Costa 2005/06

2 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 2.Bibliografia  Eugene F. Fama e Merton H. Miller The Theory of Finance (Hinsdale, Illinois: Dryden Press, 1972) Cap 7.

3 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 3 Eficiência segundo Markowitz – baseado na média e na variância w T Ω w Variância do portfólio Vector de ponderações w=[w 1... w N ] Matriz das variâncias-covariânciasΩ Vector de retornos R=[R 1... R N ] Vector unitário 1=[1 1... 1 N ] w T R Retorno do portfólio Considere N activos num portfolio e as seguintes notações :

4 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 4 Fronteira do Portfolio Retornos do portfolio : w T R Variância do Portfolio : w T Ω w 1 2 3 5 4 6

5 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 5 Efficiencia segundo Markowitz (Média-Var) 1=1 T w s.a. r=R T w Optimização : min w T Ω w + (1-1 T w) +  (r- R T w) w min w T Ω w w Para encontrar a fronteira de eficiência 1 2

6 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 6 Multiplicando equação 1 por 1 T e R T : Eq. 3 :1=a +b  Eq. 4 : r=b +c  onde : a=1 T Ω -1 1, b=1 T Ω -1 R, c=R T Ω -1 R Eq. 1 : Ωw= 1 +  R Eq. 2 :w=Ω -1 1 + Ω -1 R  FOC :

7 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 7 Resolvendo em ordem a e  nas equações 3 e 4, e substituindo na eq 2, obtem-se : w=v 1 +v 2 r V 1 e v 2 são dois vectores fixos. Por outro lado, qualquer combinação convexa de portfolios eficientes é também um portfolio eficiente. O portfolio de mercado não é mais do que uma combinação ponderada de portfólios, e que,por sua vez também é eficiente.

8 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 8 Modelo simplificado de Sharpe  Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959)  Conhecimento da matriz das co-varâncias  Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor comum subjacente:  Ř i = α i + β i Ĩ + ũ i  Ĩ = α n +1 + v n+1

9 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 9 CAPM –Mossin, Jan. “Equilibrium in a Capital Asset Market.” Econometrica 34(Oct. 1966): 768-83. –Sharpe, W. F. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” Journal of Finance 19(Sept. 1964): 425-42.

10 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 10 –Lintner, John. “Security Prices, Risk, and Maximal Gain from Diversification.” Journal of Finance 20(Dec. 1965): 587- 615. –Lintner, John. “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.” Review of Economics and Statistics 47(Feb. 1965): 13-37.

11 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 11 Avaliação de activos financeiros: Modelos C.A.P.M. e A.P.T.  Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe)  SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado.  CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market line.  APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos cativos financeiros são função lineares de mais do que um factor

12 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 12 O papel do activo sem risco no modelo  O equilíbrio de mercado oferece dificuldades de representação porque diferentes investidores têm assumpções diferentes quanto ao risco. A introdução do activo sem risco resolve esta ambiguidade. –O activo sem risco reduz o número potencial de portfolios eficientes a um único portfolio.

13 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 13 pp pp rfrf pp rprp

14 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 14 –Dentro deste equilíbrio, existe apenas um portfolio eficiente. Qualquer grau de aversão ao risco pode ser retratado no modelo através de uma combinação de um portfolio simples e eficiente e um emprestimo ou emprestar (borrowing ou lending) à taxa sem risco. –Substituindo x m por x p ou deixando que o “portfolio índice” seja o portfolio de mercado eficiente, ter-se-á:

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17 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 17 Conceitos Borrowing Portfolio  Um investidor é capaz de se endividar de maneira a comprar um montante de um portfólio cujo valor seja superior aos valores iniciais:  E(Řp) = X z r z + (1-X z )r b  r b é a taxa de empréstimo

18 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 18 Conceitos Lending portfolio  Emprestador sobre o mercado monetário (sem risco) e associação à aquisição de activos com risco.  Condições :  - Existe ao menos alguem que não apresenta risco de não cumprimento da dívida (quem pede emprestado com risco nulo) - O rendimento presente e futuro de quem adquire este activo é um valor certo - O rendimento presente e futuro de quem adquire este activo é um valor certo - Este activo oferece uma protecção perfeita contra a perda do poder de compra - Este activo oferece uma protecção perfeita contra a perda do poder de compra

19 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 19 MODELO CAPM O CAPM considera que todos os investidores possuem portfolios eficientes no sentido de maior valor esperado para um mínimo risco. Pelo teorema de separação de dois portfolios, o portfólio de mercado é também eficiente. Para a validade do CAPM, o portfolio de mercado deve encontrar- se na fronteira eficiente.

20 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 20 Condições de estimação do modelo de mercado  O índice de mercado deverá responder às condições seguintes:  1. Ser exaustivo, isto é, deverá ser calculado a partir de todos os activos financeiros com risco existente no mercado (vinte são representativos)  2. Ser um indice de rendimento e não apenas um índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e juros).  3. Ser um índice ponderado e não uma média aritmética simples.

21 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 21 Versões do CAPM Sharpe-Lintner : Black : E[Z i ]=  i + ß i (E[Z m ]) E[R i ]=  i + ß i (E[R m ]) Este activo assume a presença de um Activo sem risco Este modelo trata a taxa sem risco como uma variável aleatória

22 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 22 Problema de minimiza ç ão  Black version  Sharpe-Lintner (com activo sem risco)

23 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 23 Sharpe Model  Regressão de Z it sobre Z mt  Hip ó tese nula : Versão de Black  Regressão  Hip ó tese nula α = (i-β)γ

24 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 24 Modelo de Sharpe-Lintner  A solução de Sharpe- Lintner é uma fronteira de eficiência.  Esta fronteira de eficiência combina uma posição longa no portfolio de mercado com um activo sem risco adquirido em situação de “lending” ou “borrowing”

25 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 25 Black CAPM

26 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 26 Security Market Line  E(Rp)  E(rm)  y  rf  Zero Beta Portfolio   1 σ (p)

27 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 27 Security Market Line Derivamos a security market line: Em forma de retorno em excesso

28 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 28  A intercepção é zero  Beta captura completamente a variação dos retornos em excesso.  O prémio de mercado é positivo. Como testar o CAPM? Os testes do CAPM focam-se em três implicações do modelo de excesso de retorno

29 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 29 Testes sobre a “intercept” Sharpe-Lintner : E[Z i ]=  i + ß i (E[Z m ]) Testar se  i = 0 Black : E[R i ]=  i + ß i (E[R m ]) Testar se  i = (1-ß i ) E[R 0 ]

30 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 30 Zero-Beta CAPM

31 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 31 Pressupostos implicitos do modelo As estimativas encontram-se sujeitas a erro de amostragem pelo que o portfolio de mercado não é suposto ser ex-post eficiente. A medida do racio de sharp mede a ineficiencia do portfolio de mercado que nos permite detrminar quando deveremos rejeitar o CAPM.

32 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 32 Rácio de Sharpe Dada uma tangente a, e um portfolio de mercado m : a rfrf A diferença r a - r m dá- nos uma medida da ineficiência de m m

33 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 33 Oferta de acções pela empresa  Assumimos que cada empresa vende acções a um preço P i. Os Investidores desejam adquirir estas acções fundamentados no valor futuro da empresa no final do período, V i. O valor de aquisição e o valor da empresa no final do período determinarão a taxa de retorno:

34 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 34 O valor futuro da empresa implica algum risco, por isso a taxa de retorno possui risco. Por outro lado, todos os investidores avaliam o investimento considerando o equilibrio da linha de “capital market”.  Matematicamente, o preço e o valor do portfolio de mercado fica:

35 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 35

36 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 36 Incorporano o risco usando o CAPM  Os ajustamentos ao risco advêm da última equação (taxa de desconto ajustada ao risco).  Reduzindo a expressão à formula do CAPM

37 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 37  A taxa de desconto ajustada ao risco pode ser utilizado na análise do valor presente:

38 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 38  Reformulando a equação  Esta aproximação leva-nos a transformar as taxas anuais de retorno a “certainty equivalents” baseados no portfolio de mercado:

39 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 39