Categorias e Funtores: doce e carinhosa introdução

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1 Categorias e Funtores: doce e carinhosa introdução
Jorge Muniz Barreto UFSC-INE Curso: Fundamentos da Computação

2 Categoria: Contexto de Discurso
O conceito de categoria nasce da necessidade de formalizar o contexto de um discurso. Em um discurso tem-se essencialmente objetos de que se fala e ligações entre estes objetos, exatamente as que fazem com que objetos diferentes pertençam à mesma categoria. J.M.Barreto UFSC-INE

3 Categoria: Contexto de Discurso
Categorias podem ser: Reais: as que existem no mundo real e podem ser representadas por categorias abstratas. Elas podem ainda ser consideradas interpretações de categorias abstratas. Abstratas: entidades metemáticas, podendo ter várias interpretações. J.M.Barreto UFSC-INE

4 Exemplos de Categorias Reais
Categoria dos artigos sobre esportes. Os objetos são os artigos. As ligações são pares de esportes. Categoria dos cursos de PG do mestrado fora de sede ora em desenvolvimento. Os objetos são cursos e as ligações são as de um preceder o outro (no total é conjunto munido de ralação de ordem). J.M.Barreto UFSC-INE

5 Definição de Categoria
Categoria é o par (Ob,Mor) onde Ob são os objetos da categoria e Mor os morfismos, satisfazendo a: Morfismos se referem a pares de objetos; assim existe Mor(Ob1,Ob2) Composição de morfismos é morfismo. Composição de morfismos é associativa. Existe o morfismo identidade. J.M.Barreto UFSC-INE

6 Sistema Formal Gerando Categoria
(Ob,Mor) Ob2 Mor23 Mor12 Mor11 Ob3 Ob1 Mor13 Nota: frequentemente denota-se morfismos por letras como f, g, h, ... J.M.Barreto UFSC-INE

7 Exemplos de Categorias
Categoria dos conjuntos (Set). Categoria dos conjuntos parcialmente ordenados (Poset). Categoria dos automata. Categoria dos conjuntos nebulosos. Categoria dos Espaços topológicos. E Sistemas formais será categoria? J.M.Barreto UFSC-INE

8 Representação de um Morfismo
Morfismos geralmente são representados por setas, iniciando no primeiro objeto e terminando no segundo objeto do morfismo. A B Sobre a seta se escreve o mome do morfismo. f J.M.Barreto UFSC-INE

9 Diagramas A utilização da representação de morfismos por setas permite a construção de diagra-mas. Diagramas permitem vizualizar claramente composições complexas de morfismos. Não esquecer que o ser humano compreende melhor desenhos do que números em tabelas. J.M.Barreto UFSC-INE

10 Diagramas Comutativos
Definição: Diz-se que um diagrama é comutativo quando, em todo par de objetos, o uso de todo percurso indicado pelos morfismos produz o mesmo resultado. Observação: Note a ambiguidade do termo isolado comutativo. Por exemplo, pode-se ter uma operação comutativa que significa outra coisa bem definida. J.M.Barreto UFSC-INE

11 Tipos de Morfismos Monomorfismo Epimorfismo A B C A B C g g f f h h
Se o diagrama é comutativo, gf = hf Se isto implica: gf = hf  g = h então f é um epimorfismo Analogamente se fg = fh  g = h então f é um monomorfismo Um morfismo que é mono e epi diz-se isomorfismo J.M.Barreto UFSC-INE

12 Categoria dos Conjuntos
Identificação dos componentes: Ob: conjuntos Mor: funções definidas entre conjunto domínio e conjunto contradomínio. Monomorfismos são funções injetoras. Epimorfismos são funções sobrejetoras Isomorfismos são funções bijetoras. J.M.Barreto UFSC-INE

13 Categoria dos conjuntos
Epimorfismos são funções sobrejetoras. A B C Tem-se a definição: Se gf = hf  g = h então f é um epimorfismo Em Set f,g,h são funções, Suponha que f não é sobrejetora. Então bB,bf(A). Assim, mesmo que g(b)h(b) a comutatividade do diagrama estará assegurada. Logo, comutatividade não assegura igualdade das funções se f não for sobrejetora. f h g J.M.Barreto UFSC-INE

14 Categoria dos Conjuntos
Monomorfismos são funções injetoras A B C Tem-se a definição: Se fg = fh  g = h então f é um monomorfismo Em Set f,g,h são funções. Suponha f não injetora. Então !(b1,b2), b1  b2 (b1)=f(b2). Decorre que g e f podem ser diferentes, por exemplo, pode existir a1 tal que h(a1)=b1 e g(a1)=b2 mas fg = fh. Portanto deve ser injetora. g f h J.M.Barreto UFSC-INE

15 Categoria dos Conjuntos
Observações: A teoria das categorias ensina a raciocinar com funções em lugar de elementos. As demonstrações feitas em termos de elementos, são válidas na Categoria Set, mas não são válidas em outras categorias, onde o raciocínio primitivo deve ser feito baseado em morfismos. J.M.Barreto UFSC-INE

16 Exemplo: Mudança de Base (1/4)
Seja as equações dinâmicas de RNA, linearizadas, a tempo discreto, síncrona, neurônios dinâmicos: x(k+1) = Ax(k)+Bu(k); y(k)=Cx(k) Onde: x(k): vetor de dimensão n (nº de neurônios); u(k): vetor entrada, dimensão m; y(k): vetor saída, dimensão p; k: etapa de funcionamento da rede. As matrizes A,B,C são obtidas por linearização em torno de ponto de equilíbrio para estudo da parada. J.M.Barreto UFSC-INE

17 Exemplo: Mudança de Base (2/4)
Para achar ponto de equilíbrio faz-se em: x(k+1) = Ax(k)+Bu(k) X(k+1) = x(k) Tendo: x(k) = Ax(k) + Bu(k) (I-A)x(k) = Bu(k) Então: x(k) = (I – A)-1Bu(k) Ou operações similares antes de linearizar. J.M.Barreto UFSC-INE

18 Exemplo: Mudança de Base (3/4)
Deseja-se mudar base de x, por exemplo, usando a matriz dos autovetores. z=Tx, Logo: T-1z(k+1) = A T-1z + Bu(k); y(k)=CT-1z Premultiplicando a primeira por T tem-se o novo sistema: z(k+1) = T A T-1z + + TBu(k) y(k)=CT-1z J.M.Barreto UFSC-INE

19 Exemplo: Mudança de Base (4/4)
Mesmo resultado pode ser obtido por manipulação de diagramas comutativos. A x x C B u T T y TB CT-1 z z T A T-1 J.M.Barreto UFSC-INE

20 E SE TIVERMOS DUAS? FUNTOR Calma!
Não são os axiomas de Peano! Só duas... Agora vamos ter uma espécie de função generalizada, mandando Objetos em Objetos e Morfismos em Morfismos. Esta função generalizada se chama: FUNTOR J.M.Barreto UFSC-INE

21 Mentirinha... Três... Existe o Funtor identidade, que associa uma categoria a ela mesma. Funtores podem ser compostos dando novos Funtores. Funtores se compõem de modo associativo. E pode ir bem mais longe, mas já creio bastou despertar a curiosidade. Só mais um pouquinho... J.M.Barreto UFSC-INE

22 Funtor Definição: Funtor é o objeto matemático que dadas duas categorias associa elemento a elemento e morfismo a morfismo, satisfazendo a: Composição de funtores é um funtor; existe funtor identidade. J.M.Barreto UFSC-INE

23 Para pensar: Um programa pode ser visto como um transformador de dados. Dados não são amorfos, existem morfismos. Dados de entrada constituem uma categoria e dados de saida outra. O programa, seria um funtor? Alguns programas não utilizam tudo que se encontra nos dados de entrada (ex: fichas de pacientes) O funtor correspondente se chama esquecedor “forget”. J.M.Barreto UFSC-INE

24 Para pensar: Como definir morfismos em linguagens formais?
Defina a Categoria dos Automata. Defina a Categoria das expressões válidas em Cálculo das Proposições (ver capítulo de Lógica. Defina a Categoria dos Poset e mostre o funtor que a liga à Categoria dos Naturais (defina) J.M.Barreto UFSC-INE

25 Que será que podem perguntar destas coisas estranhas todas?
J.M.Barreto UFSC-INE