Prof. José Mauricio Neto

Apresentação em tema: "Prof. José Mauricio Neto"— Transcrição da apresentação:

1 Prof. José Mauricio Neto
Universidade Federal da Paraíba Departamento de Engenharia Elétrica Centro de Energias Alternativas e Renováveis Transformada Discreta de Fourier Prof. José Mauricio Neto 1 1 1

2 Transformada Discreta de Fourier
Para um sinal discreto não periódico x[n], de tamanho L: 2 2

3 Transformada Discreta de Fourier
L = k = 0,1,2,3,4 3 3

4 Transformada Discreta de Fourier
Módulo e Fase 4 4

5 Transformada Discreta de Fourier
Resolução da TDF: 5 5

6 Transformada Discreta de Fourier
Para um sinal discreta não periódica x[n], de tamanho L: Constrói-se um sinal periódica , de tamanho N: 6 6

7 Transformada Discreta de Fourier
A Transformada de Fourier para o sinal x[n], de tamanho N, é definido por: Notação: 7 7

8 Exemplo 1: Determinar a DFT de x[n]
Sinal não Periódica De tamanho L Sinal Periódica De tamanho N 8 8

9 “N-L” zeros “L” amostras de x[n] 9 9

10 A Transformada Discreta de Fourier (DFT)
10 10

11 Para L=5, N=20 (N-L=15 zeros) Frequência Relativa 11 11

12 Para L=5, N=50 (N-L=45 zeros) Frequência Relativa 12 12

13 Resumo das Formulas da Transformada Discreta de Fourier
13 13

14 Transformada Discreta de Fourier
2  fs   f (Hz) 14 14

15 Desenvolvimento da Formula da DFT
Para uma sequência x[n], 0nN-1, a DFT é dada por: 15 15

16 Inversa da DFT 16 16

17 Análise do Espectro T0=NT
Para uma sequência discreta x[n] obtida através da amostragem de um sinal analógico x(t) e truncada utilizando uma janela com comprimento T0=NT, em que T é o Tempo de amostragem e N é o numero de pontos dos dados amostrados. O tempo para a janela de dados é T0=NT 17 17

18 Análise do Espectro 18 18

19 Análise do Espectro Para uma sequência x[n], n=0,1,...,(N-1), com DFT:
A partir do calculo dos coeficientes da DFT (número complexo) pode ser determinada: Amplitude do espectro Fase do espectro Potência do espectro 19 19

20 Análise do Espectro Amplitude do espectro:
Pode-se modificar a amplitude do espectro para um lado da representação espectral dobrando a amplitude, mantendo o termo DC em k=0. 20 20

21 Análise do Espectro Fase do espectro: 21 21

22 Análise do Espectro Potência do espectro:
Trasladando-se para o espectro de interesse: 22 22

23 Exemplo 2 Para a sequência discreta, com frequência de amostragem fs = 100 amostras/s, determine a amplitude, fase e potência do espectro. 23 23

24 Exemplo 2 Para a sequencia discreta x[n] ={1, 2, 3, 4}, com N=4, os coeficientes da DFT são: Amplitude do espectro Fase do espectro Potência do espectro 24 24

25 25 25

26 Amplitude Fase Potência
26 26

27 Trasladando-se a amplitude para o espectro de interesse:
27 27

28 Estimação de Espectros usando Funções de Janelas (Window Functions)
Considere um sinal senoidal com f0=1Hz, com 32 amostras N=32 amostras 28 28 28

29 Estimação de Espectros usando Funções de Janelas (Window Functions)
Se for usado uma janela de N=16 amostras que é um múltiplo de dois ciclos de onda. A janela seguinte repetirá a onda com continuidade e a DFT é: 29 29 29

30 Estimação de Espectros usando Funções de Janelas (Window Functions)
Se for usado uma janela de N=18 amostras, que não é um múltiplo de um ciclo de onda (2,25 ciclos), a segunda janela repetirá a primeira janela com descontinuidade, e a DFT é: 30 30 30

31 Uma única componente de frequência (o esperado)
Componente da frequência principal e harmônicos (que não existem no sinal original), denominado de Vazamento Espectral (Espectral Leakage), devido a que a amplitude é descontínua no domínio do tempo. 31 31 31

32 Estimação de Espectros usando Funções de Janelas (Window Functions)
Para reduzir o efeito do vazamento espectral, uma função de janela pode ser usado cuja amplitude se reduz de forma suave e gradual (próximo a zero) nos extremos da janela. Aplicando a função de janela w[n] para a sequência discreta x[n], se obtém uma nova sequência xw[n]: 32 32 32

33 Redução da descontinuidade
33 33 33

34 Transformada de Fourier
Redução do Vazamento Espectral 34 34 34

35 Funções de Janelas (Window Functions)
Janela Retangular Janela Triangular Janela de Hamming Janela de Hanning 35 35 35

36 Funções de Janelas (Window Functions)
36 36 36

37 Exemplo 3 Para a sequência discreta x[0]=1, x[1]=2, x[2]=3 e x[3]=4, e dada uma frequência de amostragem fs=100amostras/s, Ts=0,01s, determinar a amplitude, fase e potência do espectro, usando a janela triangular 37 37

38 Exemplo 3 Para N=4 38 38

39 Exemplo 3 A nova sequência é A DFT de xw[n] para k=0,1,2,3: 39 39

40 Exemplo 3 A resolução do espectro é
Determinação da Amplitude, Fase e Potência 40 40

41 Propriedades da DFT Simetria e Periodicidade 41 41

42 Propriedades da DFT 42 42

43 Propiedades de la TDF 43 43

44 Propriedades da DFT 44 44

45 Propriedades da DFT 45 45

46 Propriedades da DFT 46 46

47 Propriedades da DFT O espectro de interesse para o filtro passa-baixos é ilustrado entre as frequências de 0 a fs/2 47 47

48 Considerações de Sistemas de Aquisição do Sinal
X[n] X[n] x(t) A/D 1 N-1 n 1 n t fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Tempo entre amostras discretas N = número de amostras 48 48

49 A/D fs = 10 kHz Ts = 1/fs = 0.1 ms (Tempo de amostragem)
N = 100 amostras twindow = N*Ts=100*0.1ms = 10 ms X[n] x(t) X[n] A/D twindow 1 N-1 n 1 n t fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Tempo entre amostras discretas N = número de amostras 49 49

50 A/D fs = 10 kHz Ts = 1/fs = 0.1 ms (Tempo de amostragem)
N = 100 amostras twindow = N*Ts=100*0.1ms = 10 ms X[n] x(t) X[n] A/D twindow 1 N-1 n 1 n t DFT 50 50

51 Código em Matlab clc, close all, clear
fs = 10000; %Frequencia de Amostragem Ts = 1/fs; %Periodo de amostragem (sampling) N = 100; %Numero de amostras em twindow %Vetor de Tempo n = 0:1:(N-1); %Tempo discreto n t = n*Ts; %Tempo discreto t (s) fo = 1000; %Frequencia do sinal (Hz) x = sin(2*pi*fo*t); %Aplicando a FFT X = fft(x); k = 0:1:(N-1); omega = 2*pi*k/N; plot(omega,abs(X)) xlabel('omega (rad)') ylabel('|FFT|') title('Espectro de x(n)') 51 51

52 Propriedades da DFT Simetria Período igual a 2* N=100 fs=10 kHz
fo = 1 kHz 52 52

53 Transformação de escalas de  (rad) para frequência em Hertz
2  fs Omega  f(Hz) 53 53

54 Código em Matlab 54 fs = 10000; %Frequencia de Amostragem
Ts = 1/fs; %Tempo de amostragem (sampling) N = 100; %Numero de amostras em twindow %Vetor de Tempo n = 0:1:(N-1); %Tempo discreto n t = n*Ts; %Tempo discreto t (s) fo = 1000; %Frequencia do señal (Hz) x = sin(2*pi*fo*t); %Aplicando a DFT X = fft(x); k = 0:1:(N-1); omega = 2*pi*k/N; Hertz = omega*fs/(2*pi); figure plot(Hertz,abs(X)) xlabel('f(Hz)') ylabel('|FFT|') title('Espectro de x(n)') plot(n,x) xlabel('n') ylabel('x(n)') 54 54

55 Realizando a Transformação
Simetria com respeito a fs/2 Período igual a fs Largura de Banda de interesse é igual ao intervalo [0, fs/2] BW = [0, fs/2]=[0, 5kHz] 55 55

56 DFT de um sinal com ruído branco Gaussiano
Valor médio = 0 Desvio padrão = 0.1 %Codigo em MATLAB r = *randn(1,1000); figure, hist(r,100) 56 56

57 Código em MATLAB 57 fs = 10000; %Frequencia de Amostragem
Ts = 1/fs; %Tempo de amostragem(sampling) N = 100; %Numero de amostras en twindow %Vetor de Tempo n = 0:1:(N-1); %Tempo discreto n t = n*Ts; %Tempo discreto t (s) fo = 1000; %Frequencia do señal (Hz) r = *randn(1,N); %ruido branco Gaussiano x = sin(2*pi*fo*t)+r; %Aplicando a DFT X = fft(x); k = 0:1:(N-1); omega = 2*pi*k/N; Hertz = omega*fs/(2*pi); figure plot(Hertz,abs(X)) xlabel('f(Hz)') ylabel('|FFT|') title('Espectro de x(n)') plot(n,x) xlabel('n') ylabel('x(n)') 57 57

58 DFT do ruído branco Gaussiano
58 58

59 Código em MATLAB 59 fs = 10000; %Frequencia de Amostragem
Ts = 1/fs; %Tempo de amostragem(sampling) N = 100; %Numero de amostras en twindow %Vetor de Tempo n = 0:1:(N-1); %Tempo discreto n t = n*Ts; %Tempo discreto t (s) fo = 1000; %Frequencia do señal (Hz) r = *randn(1,N); %ruido branco Gaussiano x = sin(2*pi*3*fo*t)+sin(2*pi*fo*t)+r; %Aplicando a DFT X = fft(x); k = 0:1:(N-1); omega = 2*pi*k/N; Hertz = omega*fs/(2*pi); figure plot(Hertz,abs(X)) xlabel('f(Hz)') ylabel('|FFT|') title('Espectro de x(n)') plot(n,x) xlabel('n') ylabel('x(n)') 59 59

60 DFT de 2 sinais senoidais
fo = 1 kHz f1 = 3 KHz 60 60

61 Que contecerá se a frequência do sinal de entrada f1 é superior a fs/2 = 5000 Hz ??
Para fo = 1000 Hz Se f1 = 6000 Hz Teorema de Amostragem fs2fmax  fs/2fmax 5000 fo e f1 SE OBSERVA QUE NÃO SE SATISFAZ O TEOREMA DE AMOSTRAGEM Simetria de f1 Simetria de fo fo f1 61 61

62 Con a finalidade de garantir que o análise do espectro seja realizado respeitando a largura de banda de interesse [0, fs/2], se deve de colocar na entrada do sistema de processamento do sinal um filtro passa-baixos com frequência de corte fs/2. El FPB limitara a banda dos sinais de entrada. x(n) Filtro Passa Baixo x(n) x(t) A/D twindow fc=fs/2 1 N-1 n 1 n t DFT 62 62

63 Aplicações da Transformada Discreta de Fourier (DFT)
x(n) y(n) x(t) A/D Processador Digital de Sinais Algoritmo que implemente la Transf. Discreta de Fourier “FFT” Aplicações: Filtrado Digital Análise de Espectro 63 63

64 Espectro em Frequência
Análise de Espectro Para um sinal x(t) Espectro em Frequência 64 64

65 Espectro em Frequência
Análise de Espectro Projeto de Filtros Digitais. Por exemplo, passa-faixa centrado em Hz Filtro Passa-Faixa Espectro em Frequência 65 65