Imagem Digital Conceitos, Processamento e Análise

Apresentação em tema: "Imagem Digital Conceitos, Processamento e Análise"— Transcrição da apresentação:

1 Imagem Digital Conceitos, Processamento e Análise
Parte 1: Conceitos básicos Imagem e funções Imagem digital: amostragem, quantização e codificação Re-amostragem de funções Séries e Transformadas de Fourier e de Cosseno Teorema de Nyquist e Alias

2 Imagem: Modelo Matemático: Função
0% 20% 40% 60% 80% 100% Níveis de cinza Posição ao longo da linha x u v L L(u,v) Função

3 Imagem colorida u v G R B

4 Imagem coloridas como 3 canais de cor
B B(u,v) R(u,v) G(u,v) v v v u u u = + +

5 Amostragem, quantização e codificação
Imagem Digital Amostragem, quantização e codificação

6 Amostragem, quantização e codificação de f(x)
partição do eixo x x

7 Amostragem, quantização e codificação de f(x)
6 amostra quantizada  5 4 3 2 1 x codificação = (3, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 5, 5, 4, 2)

8 Digitalização de Imagens
Discretização espacial (amostragem)

9 quantizada e codificada
Processos básicos 64x54 Imagem amostrada amostragem Imagem de tons contínuos 64x cores Imagem amostrada e quantizada quantização 55 20 22 23 45 10 09 11 43 42 70 28 76 codificação 8*55, 1*20, 1*22, 1*23, …. Imagem amostrada, quantizada e codificada

10 Imagem Digital: Histogramas
Uma outra maneira de ver a informação da imagem: probabilidade de ocorrência de um determinado valor, uso do intervalo [0,255], contraste,...

11 Histogramas de Imagem Colorida

12 Propriedades básicas de uma Imagem Digital

13 Problemas associados a re-amostragem de um sinal digital f(x)
6 função original     5 função reconstruída pelo vizinho mais próximo função reconstruída por interpolação linear    4   3     2 1 x (a) aumento de resolução

14 Re-amostragem de f(x) (b) redução de resolução f(x)         
6 função original     5    4   3    2 função reconstruída pelo vizinho mais próximo  função reconstruída por interpolação linear 1 x (b) redução de resolução

15 Freqüência de Amostragem
f(x) x x f(x)

16 Estudo de sinais digitais
Transformadas para o domínio da freqüencia Teorema de Nyquist e Alias

17 revisão Harmônicos T A t+ -A A

18 Integrais de senos e cosenos em [-,]
revisão cos(nx) sin(nx) n = 1 n = 2 Áreas se compensam. Integrais resultam em 0. sin(nx)cos(nx)

19 Integrais de senos e cosenos em [-,]
revisão Integrais de senos e cosenos em [-,] Funções ortogonais

20 Série de Fourier f(t) t T Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
T Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange ( ), and Pierre Simon de Laplace ( ).

21

22 Exemplo: Série de harmônicos

23 Série de Fourier: cálculo de a0
f(t) t T

24 Série de Fourier: an e bn
f(t) t T ...

25 Resumindo f(t) t T

26 Domínios f(t) tempo ou espaço t T ak w bk freqüencia w

27 Coeficientes de funções pares e ímpares
f-ímpar ak= 0 f-par bk= 0

28 Periodicidade da Série de Fourier
f(t) t T t f(t) T

29 Números complexos x é a parte real y é a parte imaginária
revisão eixo imagnário x é a parte real y é a parte imaginária A é a magnitude q é a fase y A q eixo real x

30 Operação básicas com complexos
revisão Operação básicas com complexos

31 revisão Derivada de eit C.Q.D.

32 Outras propriedades úteis
revisão i -1 1

33 Outras propriedades úteis (2)
revisão 1 -1 i -i o cosseno corresponde a média de dois harmônicos de freqüências w e -w

34 Outras propriedades úteis (2)
revisão 1 -1 i -i o seno também corresponde a dois harmônicos: w e -w

35 Outras propriedades úteis (3)
revisão

36 Amplitude e fase de complexos
revisão Amplitude e fase de complexos Dado um valor: Amplitude  -A A Fase

37 Série de Fourier com números complexos

38 Escrevendo em complexos

39 Serie de Fourier de Sinais Discretos

40 Sinal discreto r t 1 2 3 4 5 6 N-1

41 1 2 3 4 5 N t . . .

42 onde: onde:

43 onde: onde:

44 Inversa da inversa onde: Qual o valor?

45 Se s=k Se s ≠ k é a soma de uma PG de N termos e razão q. Mas

46 onde: Qual o valor? C.Q.D.

47 real imaginário  1 N=5 N=3 N=6 N=4

48 Transformada Discreta
T - não é o período do sinal!

49 Transformada Discreta de Fourier
todas as feqüências computadas são multiplas destas

50 Outro exemplo f3 ( t ) := 10 cos ( 2 p t ) + 6 sin ( 10 p t ) + .8 cos
40 p t )

51 Transformada

52 Eixo de freqüência

53 Tutorial com o Excel

54 Discrete Cosine Transformation (DCT)

55 o cosseno pode substituir o seno

56 Transformada de Fourier

57 Exemplo 1: Função caixa (box)
f(x) a x b

58 Transformada da função box
f(x) a x b F(w)  1/b 2/b 3/b -1/b -2/b -3/b ab sinc(bw) w

59 Distribuição normal: Gaussiana

60 Exemplo 2: Gaussiana || F(w) || f(x) w x

61 Transformada da Gaussiana

62 Exemplo 3: Delta de Dirac
f(x) 1/b -b/2 b/2 x

63 Delta de Dirac de Gaussianas

64 Transformada do Delta de Dirac
f(x) (x) x || F(w) || w 1

65 Transformada do cosseno
x

66 Exemplo 4: Cosseno || F(w) || x w

67 Exemplo 5: Sequência de impulsos
f(x) || F(w) || 1/b 2/b -1/b -2/b x -2b -1b 1b 2b 3b w f(x) || F(w) || w 1/b 2/b -1/b -2/b x 1b 2b 3b -1b -2b

68 Pares importantes

69 Propriedades da transformada
convolução

70 Convolução

71 Convolution Pictorially f(x) h(x)

72 Convolution h(t-x) f(t) x

73 Convolution Consider the function (box filter):

74 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

75 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

76 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

77 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

78 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

79 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

80 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

81 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

82 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

83 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

84 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

85 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

86 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

87 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

88 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

89 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

90 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

91 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

92 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

93 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

94 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

95 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

96 Convolution This particular convolution smooths out some of the high frequencies in f(x). f(t) f(x)g(x)

97 Ilustação da convolução

98 Ilustração da convolução

99 Sinal sub-amostrado

100 Amostragem e Reconstrução
Observando os domínio do espaço e das freqüências

101 Sinal original domínio do espaço domínio das freqüências

102 Sinal discretizado

103 Amostragem domínio do espaço domínio das freqüências produto
convolução

104 Sinal discretizado domínio do espaço domínio das freqüências

105 Reconstrução domínio do espaço domínio das freqüências convolução
produto

106 Retorno ao sinal original
domínio do espaço domínio das freqüências

107 Sinal original com mais altas freqüências
domínio do espaço domínio das freqüências

108 Mesma taxa de amostragem
domínio do espaço domínio das freqüências produto convolução

109 Sinal amostrado Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!
domínio do espaço domínio das freqüências Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!

110 Teorema de Nyquist Para que um sinal de banda limitada (i.e. aqueles cuja a transformada resultam em zero para freqüências f > B) seja reconstruido plenamente ele precisa ser amostrado numa freqüência f >= 2B. Um sinal amostrado na freqüência (f=2B) é dito amostrado por Nyquist e f=2B é a freqüência de Nyquist. Não há perda de informação nos sinais amostrados na freqüência de Nyquist, e não adicionamos nenhuma informação se amostrarmos numa freqüência maior.

111 Aliasing Esta mistura de espectros é chamada de aliasing.
Existem duas maneiras de lidarmos com aliasing. Passar um filtro passa-baixa no sinal. Aumentar a freqüência de amostragem.

112 Alias                                                                                                                                                            Texture errors