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Imagem Digital Conceitos, Processamento e Análise 1.Imagem e funções 2.Imagem digital: amostragem, quantização e codificação 3.Re-amostragem de funções.

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1 Imagem Digital Conceitos, Processamento e Análise 1.Imagem e funções 2.Imagem digital: amostragem, quantização e codificação 3.Re-amostragem de funções 4.Séries e Transformadas de Fourier e de Cosseno 5.Teorema de Nyquist e Alias Parte 1: Conceitos básicos

2 Imagem: Modelo Matemático: Função u v L L(u,v) Função

3 Imagem colorida R G B u v

4 Imagem coloridas como 3 canais de cor =++ u v R R(u,v) u v G G(u,v) u v B B(u,v)

5 Imagem Digital Amostragem, quantização e codificação

6 Amostragem, quantização e codificação de f(x) x f(x)f(x) amostra partição do eixo x

7 codificação = (3, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 5, 5, 4, 2) Amostragem, quantização e codificação de f(x) x f(x)f(x) amostra quantizada

8 Digitalização de Imagens Discretização espacial (amostragem)

9 Processos básicos Imagem de tons contínuos 64x54 Imagem amostrada amostragem 64x cores Imagem amostrada e quantizada quantização codificação 8*55, 1*20, 1*22, 1*23, …. Imagem amostrada, quantizada e codificada

10 Imagem Digital: Histogramas Uma outra maneira de ver a informação da imagem: probabilidade de ocorrência de um determinado valor, uso do intervalo [0,255], contraste,...

11 Histogramas de Imagem Colorida

12 Propriedades básicas de uma Imagem Digital

13 (a) aumento de resolução Problemas associados a re-amostragem de um sinal digital f(x) x f(x) função reconstruída pelo vizinho mais próximo função reconstruída por interpolação linear função original

14 Re-amostragem de f(x) x f(x) função reconstruída pelo vizinho mais próximo função reconstruída por interpolação linear função original (b) redução de resolução

15 Freqüência de Amostragem x f(x) x

16 Estudo de sinais digitais Transformadas para o domínio da freqüencia Teorema de Nyquist e Alias

17 Harmônicos t+ A-A T revisão A

18 Integrais de senos e cosenos em [-, ] cos(nx) sin(nx) n = 1 n = 2 sin(nx)cos(nx) revisão Áreas se compensam. Integrais resultam em 0.

19 Integrais de senos e cosenos em [-, ] Funções ortogonais revisão

20 Série de Fourier t f(t)f(t) 0 T Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange ( ), and Pierre Simon de Laplace ( ).

21

22 Exemplo: Série de harmônicos

23 Série de Fourier: cálculo de a 0 t f(t)f(t) 0 T

24 Série de Fourier: a n e b n... t f(t)f(t) 0 T

25 Resumindo t f(t)f(t) 0 T

26 Domínios t f(t)f(t) 0 T w akak 0 w bkbk 0 tempo ou espaço freqüencia

27 Coeficientes de funções pares e ímpares f-ímpara k = 0 f-parb k = 0

28 Periodicidade da Série de Fourier t f(t)f(t) 0 T t f(t)f(t) 0 T

29 Números complexos x é a parte real y é a parte imaginária A é a magnitude é a fase A x eixo real eixo imagnário y revisão

30 Operação básicas com complexos revisão

31 Derivada de e i t C.Q.D. revisão

32 Outras propriedades úteis i 1 revisão

33 Outras propriedades úteis (2) revisão 1 i -i o cosseno corresponde a média de dois harmônicos de freqüências w e -w

34 Outras propriedades úteis (2) revisão 1 i -i o seno também corresponde a dois harmônicos: w e -w

35 Outras propriedades úteis (3) revisão

36 Amplitude e fase de complexos A-A Dado um valor: Amplitude Fase revisão

37 Série de Fourier com números complexos

38 Escrevendo em complexos

39 Serie de Fourier de Sinais Discretos

40 Sinal discreto t N-1 r

41 N t...

42 onde:

43

44 Qual o valor? Inversa da inversa

45 Se s=k Se s k é a soma de uma PG de N termos e razão q. Mas

46 onde: Qual o valor? C.Q.D.

47 real imaginário 1 N =3 N =4 N =5 N =6

48 Transformada Discreta T - não é o período do sinal!

49 Transformada Discreta de Fourier todas as feqüências computadas são multiplas destas

50 Outro exemplo :=()f3t 10()cos2 t6()sin10 t.8()cos40 t

51 Transformada

52 Eixo de freqüência

53 Tutorial com o Excel

54 Discrete Cosine Transformation (DCT)

55 o cosseno pode substituir o seno

56 Transformada de Fourier

57 Exemplo 1: Função caixa (box) f(x)f(x) x a b

58 Transformada da função box F( w ) 0 1/b2/b 3/b -1/b-2/b-3/b ab w sinc( bw) f(x)f(x) x a b

59 Distribuição normal: Gaussiana

60 Exemplo 2: Gaussiana f(x) x || F(w) || w

61 Transformada da Gaussiana

62 Exemplo 3: Delta de Dirac f(x) x b/2 -b/2 1/b

63 Delta de Dirac de Gaussianas

64 Transformada do Delta de Dirac f(x) x (x) || F(w) || w 1

65 Transformada do cosseno x

66 Exemplo 4: Cosseno || F(w) || w x

67 Exemplo 5: Sequência de impulsos w f(x) x 1b2b3b-1b-2b || F(w) || 1/b 2/b -1/b -2/b f(x) x 1b2b3b-1b-2b || F(w) || w 1/b 2/b -1/b -2/b

68 Pares importantes

69 Propriedades da transformada convolução

70 Convolução

71 Convolution Pictorially f(x) h(x)

72 Convolution f(t) x h(t-x)

73 Convolution Consider the function (box filter):

74 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

75 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

76 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

77 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

78 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

79 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

80 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

81 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

82 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

83 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

84 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

85 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

86 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

87 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

88 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

89 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

90 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

91 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

92 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

93 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

94 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

95 Convolution This function windows our function f(x). f(t)

96 Convolution This particular convolution smooths out some of the high frequencies in f(x). f(x) g(x) f(t)

97 Ilustação da convolução

98 Ilustração da convolução

99 Sinal sub-amostrado

100 Amostragem e Reconstrução Observando os domínio do espaço e das freqüências

101 Sinal original domínio do espaçodomínio das freqüências

102 Sinal discretizado

103 Amostragem domínio do espaço domínio das freqüências produtoconvolução

104 Sinal discretizado domínio do espaço domínio das freqüências

105 Reconstrução domínio do espaço domínio das freqüências convoluçãoproduto

106 Retorno ao sinal original domínio do espaçodomínio das freqüências

107 Sinal original com mais altas freqüências domínio do espaçodomínio das freqüências

108 Mesma taxa de amostragem domínio do espaçodomínio das freqüências produtoconvolução

109 Sinal amostrado domínio do espaçodomínio das freqüências Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!

110 Teorema de Nyquist Para que um sinal de banda limitada (i.e. aqueles cuja a transformada resultam em zero para freqüências f > B) seja reconstruido plenamente ele precisa ser amostrado numa freqüência f >= 2B. Um sinal amostrado na freqüência (f=2B) é dito amostrado por Nyquist e f=2B é a freqüência de Nyquist. Não há perda de informação nos sinais amostrados na freqüência de Nyquist, e não adicionamos nenhuma informação se amostrarmos numa freqüência maior.

111 Aliasing Esta mistura de espectros é chamada de aliasing. Existem duas maneiras de lidarmos com aliasing. –Passar um filtro passa-baixa no sinal. –Aumentar a freqüência de amostragem.

112 Alias Texture errors


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