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TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 1 2. Sinais e Sistemas Discretos Notação: x[n] Discreto x(t) Contínuo n(amostras) Sinal Discreto x[n]=x(n.T)

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1 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 1 2. Sinais e Sistemas Discretos Notação: x[n] Discreto x(t) Contínuo n(amostras) Sinal Discreto x[n]=x(n.T) Sinal Digital x q [n] Sinal Contínuo x(t) n Sinal Amostrado x a (t) t (ms)

2 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 2 Sistemas: x(t)y(t)H(s) Contínuo: x a (t)y a (t)H(z) Amostrado: x[n]y[n]H(z) Discreto: x q [n]y q [n]H q (z) Digital: Ex.: Filtros ativos e passivos Ex.: Filtros a capacitor chaveado Ex.: Filtros digitais com Precisão Infinita Ex.: Filtros digitais com Precisão Finita

3 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 3 Sinais Discretos: Sequência de números reais ou complexos. x[n] não é definido para n não-inteiro Ex.: x[n]={..., 1.3, 1.6, 2.0, 1.8, }

4 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR Sequências Básicas e Operações Soma: z[n]=x[n]+y[n] Produto: z[n]=x[n].y[n] Escalamento: y[n]=.x[n] Operações realizadas amostra a amostra Deslocamento: y[n]=x[n-n o ]

5 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 5 Sinais Discretos Básicos: –Impulso Unitário: (Delta de Dirac) p[n]=a -3 [n+3]+a 1 [n-1]+a 2 [n-2]+a 7 [n-7] Sinal arbitrário:

6 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 6 Generalizando: -Degrau unitário: Analogamente:

7 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 7 Função Exponencial Complexa: x[n]=A. n Se A e forem números reais x[n] será Real Considerando A real positivo Se 0< <1 Se =1 Se >1 Se -1< <0 Se <-1

8 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 8 Se A e forem números complexos x[n] será Complexa Considerando: Então: Euler: Logo:

9 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 9 | |<1 | |=1 | |>1 A= alpha=.9/ alpha=1/ alpha=1.1/ Re{x[n]}Im{x[n]}

10 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 10 Propriedades das exponenciais complexas Sinal Contínuo: Nota-se que: - Aumentando 0 Aumenta taxa de oscilação - p/ 0 é sempre periódica - em um tempo T existem infinitas senóides completas Sinal Discreto: - Aumentando 0 de 2 : Conclusão: Repetição dos sinais em 2., 4.,... Exponenciais complexas discretas necessitam serem consideradas no intervalo (0,2. ) ou (-, ).

11 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR =0 0 = /6 0 = /3 0 = /2 0 = 0 =3 /2 0 =5 /3 0 =2 0 =11 /6

12 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 12 Logo: Baixas Frequências 0 próximo de 0 ou 2 Altas Frequências 0 próximo de -Propriedade 2: Para um sinal ser periódico com período N é necessário que: x[n]=x[n+N] para todo n Então: Logo: m Ou: Não é periódico p/ 0 !!!!

13 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 13 Definindo: Período Fundamental: Frequência Fundamental: Sinais harmonicamente relacionados: Contínuo: Logo: existem funções diferentes periódicas em T

14 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 14 No caso Discreto: Logo: Existem apenas N funções periódicas diferentes que possuem período N. k=0k=1k=2k=3 p/ N= k=0 N= k=1 N= k=2 N= k=3 N=4

15 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 15 Exemplos: São periódicas as seguintes funções? 1) 2) 3)

16 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR Sistemas Discretos Um sistema discreto é uma transformação ou operação que mapeia um sequência de entrada x[n] em uma sequência de saída y[n] y[n]=T{x[n]} T{ } x[n] y[n]

17 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 17 Ex.: Sistema de Atraso y[n]=x[n-n 0 ] n 0 > 0 Sistema de atraso n 0 < 0 Sistema de avanço Ex.: Média Móvel (Moving Average - MA) Na figura: M 1 =0 M 2 =5

18 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 18 Um sistema é dito sem memória se a saída y[n] a cada valor de n depende somente da entrada x[n] p/ mesmo valor de n. Ex.: y[n]=x[n] 2 Atraso? Média Móvel? Sistemas Sem-Memória

19 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR Sistemas Lineares Um sistema é dito linear se obedece ao Princípio da Superposição: Dado: y 1 [n]=T{x 1 [n]} e y 2 [n]=T{x 2 [n]} Então: Linearidade:T{a.x 1 [n]+b.x 2 [n]}=a.T{x 1 [n]}+b.T{x 2 [n]} Aditividade: T{x 1 [n]+x 2 [n]}=T{x 1 [n]}+T{x 2 [n]} Homogeneidade: T{a.x[n]}=a.T{x[n]} Ex.: Acumulador, logaritmo

20 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR Sistemas Invariantes no Tempo Certo: Sistemas invariantes ao deslocamento Um sistema Invariante no Tempo é aquele que um deslocamento no sinal de entrada causa um correspondente deslocamento no sinal de saída. Se: y[n]=T{x[n]} Então: y[n-n 0 ]=T{x[n-n 0 ]} Ex.: Acumulador, Compressor

21 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR Causalidade Um sistema é dito causal se uma amostra y[n 0 ] depende de y[n] e/ou x[n] para n n 0. Isto é, não depende de valores futuros. Sistema não-antecipativo. Ex.: Forward Difference: y[n]=x[n+1]-x[n] Não-Causal Backward Difference: y[n]=x[n]-x[n-1] Causal

22 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR Estabilidade Diversos critérios... Critério BIBO ( Bounded Input – Bounded Output ) Sistema é estável se para toda sequência de entrada limitada esse sistema produz uma saída também limitada. x[n] é limitado se: |x[n]| B x < para todo n y[n] é limitado se: |y[n]| B y < para todo n O sistema é estável se y[n] é limitado para todo e qualquer sinal x[n] limitado. Basta encontrar um caso que não cumpra a condição para o sistema ser considerado instável.

23 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 23 Exemplos: 1) y[n]=x[n] 2 2) y[n]=log(x[n]) 3)Acumulador

24 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR Sistemas Lineares Invariantes no Tempo - LTI Dado: Se o sistema é Linear : h k [n] é a resposta ao impulso do sistema no instante k. h[n]=T{ [n]}

25 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 25 Se o sistema é Invariante no Tempo: Logo para sistemas LTI: O sistema T{} é completamente caracterizado pela sua resposta ao impulso h[n]. Soma de Convolução.

26 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 26 Soma de Convolução: Mesma interpretação da integral de convolução dos sistemas contínuos Porém com senso mais prático, pois será usada para Implementar sistemas, ao contrário da integral de convolução que é de senso mais teórico.

27 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 27 Interpretação 1 : Soma das respostas ao impulso do sistema, ponderadas e deslocadas.

28 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 28 Interpretação 2:

29 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 29

30 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR Propriedades dos Sistemas LTI Comutatividade: x[n]*h[n] = h[n]*x[n] Demonstrar... h 1 [n]h 2 [n] x[n]y[n] h 2 [n]h 1 [n] x[n]y[n] h 1 [n]*h 2 [n] x[n]y[n]

31 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 31 Distributividade: Provar... x[n]*(h 1 [n]+h 2 [n])=x[n]*h 1 [n]+x[n]*h 2 [n] h 1 [n] h 2 [n] + x[n]y[n] h 1 [n]+h 2 [n] x[n]y[n]

32 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 32 Estabilidade: Critério BIBO: Um sistema LTI é estável se e somente se Sua resposta ao impulso for absolutamente somável. Provar...

33 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 33 Causalidade O sistema é causal se sua resposta ao impulso for um sinal causal. Sistema não-antecipativo. h[n]=0, n<0 Provar....

34 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 34 Sistema Inverso h 1 [n]h 2 [n] x[n] y[n] z[n] O sistema h 2 [n] é dito sistema inverso de h 1 [n] se z[n]=x[n] Logo: h[n]=h 1 [n]*h 2 [n]= [n] Pois: x[n]* [n]=x[n]

35 TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 35 Exercícios: Analisar os sistemas, calculando suas h[n] e classificando-os segundo os tipos de sistemas estudados: Atraso Ideal: y[n]=x[n-n 0 ] Média Móvel: Acumulador: Forward Difference: y[n]=x[n+1]-x[n] Backward Difference: y[n]=x[n]-x[n-1] Compressor: y[n]=x[M.n]


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