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PublicouLaura Marcos Alterado mais de 10 anos atrás
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Imagem Digital Conceitos, Processamento e Análise 1.Imagem e funções 2.Imagem digital: amostragem, quantização e codificação 3.Re-amostragem de funções 4.Séries e Transformadas de Fourier e de Cosseno 5.Teorema de Nyquist e Alias Parte 1: Conceitos básicos
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Imagem: Modelo Matemático: Função u v L L(u,v) Função
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Imagem colorida R G B u v
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Imagem coloridas como 3 canais de cor canal vermelho canal verde canal azul
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Imagem Digital Amostragem, quantização e codificação
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Amostragem, quantização e codificação de f(x) x f(x)f(x) amostra partição do eixo x
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codificação = (3, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 5, 5, 4, 2) Amostragem, quantização e codificação de f(x) 0 1 2 3 4 5 6 x f(x)f(x) amostra quantizada
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Digitalização de Imagens Discretização espacial (amostragem)
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Processos básicos Imagem de tons contínuos 64x54 Imagem amostrada amostragem 64x54 - 16 cores Imagem amostrada e quantizada quantização 55 2022234555 10091155 43427055 28762255 codificação 8*55, 1*20, 1*22, 1*23, …. Imagem amostrada, quantizada e codificada
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Imagem Digital: Histogramas Uma outra maneira de ver a informação da imagem: probabilidade de ocorrência de um determinado valor, uso do intervalo [0,255], contraste,...
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Histogramas de Imagem Colorida
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Propriedades básicas de uma Imagem Digital
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(a) aumento de resolução Problemas associados a re-amostragem de um sinal digital f(x) x f(x) função reconstruída pelo vizinho mais próximo função reconstruída por interpolação linear 0 1 2 3 4 5 6 função original
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Re-amostragem de f(x) x f(x) função reconstruída pelo vizinho mais próximo função reconstruída por interpolação linear função original (b) redução de resolução 0 1 2 3 4 5 6
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Freqüência de Amostragem x f(x) x
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Estudo de sinais digitais Transformadas para o domínio da freqüencia Teorema de Nyquist e Alias
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Harmônicos t+ A-A T revisão A
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Integrais de senos e cosenos em [-, ] cos(nx) sin(nx) n = 1 n = 2 sin(nx)cos(nx) revisão Áreas se compensam. Integrais resultam em 0.
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Integrais de senos e cosenos em [-, ] Funções ortogonais revisão
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Série de Fourier t f(t)f(t) 0 T Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).
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Exemplo: Série de harmônicos
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Série de Fourier: cálculo de a 0 t f(t)f(t) 0 T
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Série de Fourier: a n e b n... t f(t)f(t) 0 T
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Resumindo t f(t)f(t) 0 T
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Domínios t f(t)f(t) 0 T w akak 0 w bkbk 0 tempo ou espaço freqüencia
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Coeficientes de funções pares e ímpares f-ímpara k = 0 f-parb k = 0
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Periodicidade da Série de Fourier t f(t)f(t) 0 T t f(t)f(t) 0 T
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Números complexos x é a parte real y é a parte imaginária A é a magnitude é a fase A x eixo real eixo imagnário y revisão
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Operação básicas com complexos revisão
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Derivada de e i t C.Q.D. revisão
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Outras propriedades úteis i 1 revisão
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Outras propriedades úteis (2) revisão 1 i -i o cosseno corresponde a média de dois harmônicos de freqüências w e -w
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Outras propriedades úteis (2) revisão 1 i -i o seno também corresponde a dois harmônicos: w e -w
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Outras propriedades úteis (3) revisão
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Amplitude e fase de complexos A-A Dado um valor: Amplitude Fase revisão
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Série de Fourier com números complexos
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Escrevendo em complexos
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Serie de Fourier de Sinais Discretos
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Sinal discreto t 0123456N-1 r
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0 12345N t...
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onde:
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Qual o valor? Inversa da inversa
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Se s=k Se s k é a soma de uma PG de N termos e razão q. Mas
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onde: Qual o valor? C.Q.D.
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real imaginário 1 N =3 N =4 N =5 N =6
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Transformada Discreta T - não é o período do sinal!
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Transformada Discreta de Fourier todas as feqüências computadas são multiplas destas
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Outro exemplo :=()f3t 10()cos2 t6()sin10 t.8()cos40 t
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Transformada
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Eixo de freqüência
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Tutorial com o Excel http://www.me.psu.edu/me82/Learning/FFT/FFT.html
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Discrete Cosine Transformation (DCT)
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o cosseno pode substituir o seno
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Transformada de Fourier
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Exemplo 1: Função caixa (box) f(x)f(x) x a b
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Transformada da função box F( w ) 0 1/b2/b 3/b -1/b-2/b-3/b ab w sinc( bw) f(x)f(x) x a b
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Distribuição normal: Gaussiana
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Exemplo 2: Gaussiana f(x) x || F(w) || w
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Transformada da Gaussiana
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Exemplo 3: Delta de Dirac f(x) x b/2 -b/2 1/b
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Delta de Dirac de Gaussianas
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Transformada do Delta de Dirac f(x) x (x) || F(w) || w 1
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Transformada do cosseno x
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Exemplo 4: Cosseno || F(w) || w x
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Exemplo 5: Sequência de impulsos w f(x) x 1b2b3b-1b-2b || F(w) || 1/b 2/b -1/b -2/b f(x) x 1b2b3b-1b-2b || F(w) || w 1/b 2/b -1/b -2/b
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Pares importantes
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Propriedades da transformada convolução
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Convolução
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Ilustação da convolução
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Ilustração da convolução
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An undersampled signal http://lcni.uoregon.edu/fft/fft.ppt
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Amostragem e Reconstrução Observando os domínio do espaço e das freqüências
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Sinal original domínio do espaçodomínio das freqüências
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Amostragem domínio do espaço domínio das freqüências produtoconvolução
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Sinal discretizado domínio do espaço domínio das freqüências
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Reconstrução domínio do espaço domínio das freqüências convoluçãoproduto
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Retorno ao sinal original domínio do espaçodomínio das freqüências
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Sinal original com mais altas freqüências domínio do espaçodomínio das freqüências
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Mesma taxa de amostragem domínio do espaçodomínio das freqüências produtoconvolução
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Sinal amostrado domínio do espaçodomínio das freqüências Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!
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Teorema de Nyquist Para que um sinal de banda limitada (i.e. aqueles cuja a transformada resultam em zero para freqüências f > B) seja reconstruido plenamente ele precisa ser amostrado numa freqüência f >= 2B. Um sinal amostrado na freqüência (f=2B) é dito amostrado por Nyquist e f=2B é a freqüência de Nyquist. Não há perda de informação nos sinais amostrados na freqüência de Nyquist, e não adicionamos nenhuma informação se amostrarmos numa freqüência maior.
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Aliasing Esta mistura de espectros é chamada de aliasing. Existem duas maneiras de lidarmos com aliasing. –Passar um filtro passa-baixa no sinal. –Aumentar a freqüência de amostragem.
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Alias Texture errors
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