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Imagem Digital Conceitos, Processamento e Análise 1.Imagem e funções 2.Imagem digital: amostragem, quantização e codificação 3.Re-amostragem de funções.

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1 Imagem Digital Conceitos, Processamento e Análise 1.Imagem e funções 2.Imagem digital: amostragem, quantização e codificação 3.Re-amostragem de funções 4.Séries e Transformadas de Fourier e de Cosseno 5.Teorema de Nyquist e Alias Parte 1: Conceitos básicos

2 Imagem: Modelo Matemático: Função u v L L(u,v) Função

3 Imagem colorida R G B u v

4 Imagem coloridas como 3 canais de cor canal vermelho canal verde canal azul

5 Imagem Digital Amostragem, quantização e codificação

6 Amostragem, quantização e codificação de f(x) x f(x)f(x) amostra partição do eixo x

7 codificação = (3, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 5, 5, 4, 2) Amostragem, quantização e codificação de f(x) 0 1 2 3 4 5 6 x f(x)f(x) amostra quantizada

8 Digitalização de Imagens Discretização espacial (amostragem)

9 Processos básicos Imagem de tons contínuos 64x54 Imagem amostrada amostragem 64x54 - 16 cores Imagem amostrada e quantizada quantização 55 2022234555 10091155 43427055 28762255 codificação 8*55, 1*20, 1*22, 1*23, …. Imagem amostrada, quantizada e codificada

10 Imagem Digital: Histogramas Uma outra maneira de ver a informação da imagem: probabilidade de ocorrência de um determinado valor, uso do intervalo [0,255], contraste,...

11 Histogramas de Imagem Colorida

12 Propriedades básicas de uma Imagem Digital

13 (a) aumento de resolução Problemas associados a re-amostragem de um sinal digital f(x) x f(x) função reconstruída pelo vizinho mais próximo função reconstruída por interpolação linear 0 1 2 3 4 5 6 função original

14 Re-amostragem de f(x) x f(x) função reconstruída pelo vizinho mais próximo função reconstruída por interpolação linear função original (b) redução de resolução 0 1 2 3 4 5 6

15 Freqüência de Amostragem x f(x) x

16 Estudo de sinais digitais Transformadas para o domínio da freqüencia Teorema de Nyquist e Alias

17 Harmônicos t+ A-A T revisão A

18 Integrais de senos e cosenos em [-, ] cos(nx) sin(nx) n = 1 n = 2 sin(nx)cos(nx) revisão Áreas se compensam. Integrais resultam em 0.

19 Integrais de senos e cosenos em [-, ] Funções ortogonais revisão

20 Série de Fourier t f(t)f(t) 0 T Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).

21 Exemplo: Série de harmônicos

22 Série de Fourier: cálculo de a 0 t f(t)f(t) 0 T

23 Série de Fourier: a n e b n... t f(t)f(t) 0 T

24 Resumindo t f(t)f(t) 0 T

25 Domínios t f(t)f(t) 0 T w akak 0 w bkbk 0 tempo ou espaço freqüencia

26 Coeficientes de funções pares e ímpares f-ímpara k = 0 f-parb k = 0

27 Periodicidade da Série de Fourier t f(t)f(t) 0 T t f(t)f(t) 0 T

28 Números complexos x é a parte real y é a parte imaginária A é a magnitude é a fase A x eixo real eixo imagnário y revisão

29 Operação básicas com complexos revisão

30 Derivada de e i t C.Q.D. revisão

31 Outras propriedades úteis i 1 revisão

32 Outras propriedades úteis (2) revisão 1 i -i o cosseno corresponde a média de dois harmônicos de freqüências w e -w

33 Outras propriedades úteis (2) revisão 1 i -i o seno também corresponde a dois harmônicos: w e -w

34 Outras propriedades úteis (3) revisão

35 Amplitude e fase de complexos A-A Dado um valor: Amplitude Fase revisão

36 Série de Fourier com números complexos

37 Escrevendo em complexos

38 Serie de Fourier de Sinais Discretos

39 Sinal discreto t 0123456N-1 r

40 0 12345N t...

41 onde:

42

43 Qual o valor? Inversa da inversa

44 Se s=k Se s k é a soma de uma PG de N termos e razão q. Mas

45 onde: Qual o valor? C.Q.D.

46 real imaginário 1 N =3 N =4 N =5 N =6

47 Transformada Discreta T - não é o período do sinal!

48 Transformada Discreta de Fourier todas as feqüências computadas são multiplas destas

49 Outro exemplo :=()f3t 10()cos2 t6()sin10 t.8()cos40 t

50 Transformada

51 Eixo de freqüência

52 Tutorial com o Excel http://www.me.psu.edu/me82/Learning/FFT/FFT.html

53 Discrete Cosine Transformation (DCT)

54 o cosseno pode substituir o seno

55 Transformada de Fourier

56 Exemplo 1: Função caixa (box) f(x)f(x) x a b

57 Transformada da função box F( w ) 0 1/b2/b 3/b -1/b-2/b-3/b ab w sinc( bw) f(x)f(x) x a b

58 Distribuição normal: Gaussiana

59 Exemplo 2: Gaussiana f(x) x || F(w) || w

60 Transformada da Gaussiana

61 Exemplo 3: Delta de Dirac f(x) x b/2 -b/2 1/b

62 Delta de Dirac de Gaussianas

63 Transformada do Delta de Dirac f(x) x (x) || F(w) || w 1

64 Transformada do cosseno x

65 Exemplo 4: Cosseno || F(w) || w x

66 Exemplo 5: Sequência de impulsos w f(x) x 1b2b3b-1b-2b || F(w) || 1/b 2/b -1/b -2/b f(x) x 1b2b3b-1b-2b || F(w) || w 1/b 2/b -1/b -2/b

67 Pares importantes

68 Propriedades da transformada convolução

69 Convolução

70 Ilustação da convolução

71 Ilustração da convolução

72 An undersampled signal http://lcni.uoregon.edu/fft/fft.ppt

73 Amostragem e Reconstrução Observando os domínio do espaço e das freqüências

74 Sinal original domínio do espaçodomínio das freqüências

75 Amostragem domínio do espaço domínio das freqüências produtoconvolução

76 Sinal discretizado domínio do espaço domínio das freqüências

77 Reconstrução domínio do espaço domínio das freqüências convoluçãoproduto

78 Retorno ao sinal original domínio do espaçodomínio das freqüências

79 Sinal original com mais altas freqüências domínio do espaçodomínio das freqüências

80 Mesma taxa de amostragem domínio do espaçodomínio das freqüências produtoconvolução

81 Sinal amostrado domínio do espaçodomínio das freqüências Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!

82 Teorema de Nyquist Para que um sinal de banda limitada (i.e. aqueles cuja a transformada resultam em zero para freqüências f > B) seja reconstruido plenamente ele precisa ser amostrado numa freqüência f >= 2B. Um sinal amostrado na freqüência (f=2B) é dito amostrado por Nyquist e f=2B é a freqüência de Nyquist. Não há perda de informação nos sinais amostrados na freqüência de Nyquist, e não adicionamos nenhuma informação se amostrarmos numa freqüência maior.

83 Aliasing Esta mistura de espectros é chamada de aliasing. Existem duas maneiras de lidarmos com aliasing. –Passar um filtro passa-baixa no sinal. –Aumentar a freqüência de amostragem.

84 Alias Texture errors


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