Maria Augusta Constante Puget (Magu)

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1 Maria Augusta Constante Puget (Magu)
Mecânica – Aula 7 Maria Augusta Constante Puget (Magu)

2 Energia (1) Um dos conceitos mais importantes desenvolvidos na física é o de energia. É preciso energia para executar qualquer movimento: arremessar uma bola, transportar um equipamento para o último andar de um edifício, atravessar o Oceano Atlântico de avião, etc. Gasta-se verdadeiras fortunas para se obter e utilizar energia. Guerras foram travadas por causa de fontes de energia. Guerras foram decididas pelo uso de armas que liberam grande quantidades de energia de forma explosiva.

3 Energia (2) A energia se manifesta na natureza sob duas formas básicas: Energia cinética: Energia associada ao estado de movimento de um objeto. Energia potencial: Quando um sistema de corpos está numa situação que lhe permite entrar em movimento a qualquer instante, dizemos que ele armazena energia potencial. A energia potencial pode se manifestar de várias formas: gravitacional, elétrica, elástica.

4 Conservação de Energia (1)
Os vários tipos de energia podem se transformar uns nos outros. Estas transformações são muito importantes para o homem. Pode-se dizer que a própria vida se fundamenta numa cadeia de transformações de energia. Investigando uma grande variedade de fenômenos, os cientistas constataram que a energia nunca desaparece e nem é criada do nada. Isto levou à formulação do Princípio da Conservação de Energia: Em um sistema energeticamente isolado, a energia total permanece constante.

5 Trabalho (1) Significado cotidiano da palavra trabalho: Qualquer atividade que necessita de um esforço físico ou intelectual. Na física, este conceito possui uma definição mais precisa. Vamos considerar inicialmente a seguinte situação: Um corpo se desloca (por enquanto, vamos considerar que seja em um movimento retilíneo) por uma distância s. O corpo se move sob a ação de uma força de módulo constante F, que atua sobre ele na mesma direção e sentido de seu deslocamento. Nestas condições, o trabalho W realizado pela força constante F que atua sobre o corpo é definido como: W = Fs

6 Trabalho – Unidade (1) W = Fs
O trabalho realizado é tanto maior quanto maior for a força F e/ou quanto maior for o deslocamento s. A unidade de trabalho é o Joule (J), em homenagem a James Prescott Joule (1818 – 1889), físico britânico que deu importantes contribuições ao estudo da natureza do calor e suas relações com o trabalho mecânico. 1J = 1N∙m

7 Trabalho – Exemplo (1) O carro de José morre no meio de um cruzamento. Enquanto sua companheira gira o volante, José empurra o carro 19 m para desimpedir o cruzamento. Sabendo que ele empurra o carro com uma força de 210 N na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento, qual é o trabalho realizado por esta força sobre o carro? W = Fs = (210 N)(19 m) = 4,0 X 103 J

8 Trabalho – Força e Deslocamento com Direções Diferentes (1)
Se José empurrasse o carro mantendo um ângulo  com a direção do deslocamento, apenas a componente da força na direção do movimento do carro seria a força efetiva para deslocar o carro. Assim, quando a força 𝐹 e o deslocamento 𝑠 possuem direções diferentes, tomamos o componente de 𝐹 na direção do deslocamento 𝑠 e definimos o trabalho como o produto deste componente pelo módulo do deslocamento: W = Fs cos 

9 Trabalho – Força e Deslocamento com Direções Diferentes (2)
W = Fs cos  Esta equação possui a forma de um produto escalar entre dois vetores: 𝐴 ∙ 𝐵 =𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠 Assim, podemos escrever a definição de trabalho de uma forma mais genérica: 𝑊= 𝐹 ∙ 𝑠 Deve-se observar que o resultado do produto escalar entre dois vetores é uma grandeza escalar.

10 Trabalho – Força e Deslocamento com Direções Diferentes (3)
Para calcular o trabalho que uma força realiza sobre um objeto quando este sofre um deslocamento, usamos apenas a componente da força na direção do deslocamento do objeto. A componente da força perpendicular ao deslocamento não realiza trabalho.

11 Trabalho – Força e Deslocamento (1)
O trabalho de uma força pode ser positivo, negativo ou nulo. Verificando a expressão: W = Fs cos  temos as seguintes possibilidades: Se a força possui uma componente na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento: O ângulo  é agudo (00    900) e cos  é positivo. O trabalho é positivo. Dizemos que o trabalho da força é motor.  𝐹 𝑠

12 Trabalho – Força e Deslocamento (2)
Se a força possui uma componente na mesma direção e no sentido oposto ao do deslocamento: O ângulo  é obtuso (900    1800) e cos  é negativo. O trabalho é negativo. Dizemos que o trabalho da força é resistente.  𝐹 𝑠

13 Trabalho – Força e Deslocamento (3)
Se a força é perpendicular ao deslocamento:  = 900 e cos  é nulo. O trabalho é nulo.  𝐹 𝑠 .

14 Trabalho e Energia Cinética (1)
Consideremos uma partícula de massa m movendo-se ao longo do eixo Ox sob a ação de uma força resultante constante de módulo F, orientada no sentido positivo do eixo Ox, conforme figura abaixo: A aceleração da partícula, neste caso, é constante e é dada pela segunda lei de Newton, F = ma. Suponha que a velocidade varie de v1 a v2 enquanto a partícula vai do ponto x1 a x2, realizando um deslocamento s = x2 – x1. 𝐹 m

15 Trabalho e Energia Cinética (2)
A partir da equação de Torricelli: v22 = v12 + 2∙a∙s conseguimos expressar a aceleração em termos das velocidades inicial e final e do deslocamento: 𝑎= v22−v12 2𝑠 Assim: 𝐹=𝑚𝑎=𝑚 v22−v12 2𝑠 e o trabalho W é dado por: W = Fs = 𝑚 v22−v12 2

16 Trabalho e Energia Cinética (3)
Assim: W = 1 2 𝑚v 𝑚v12 A grandeza K= 1 2 𝑚v2 denomina-se energia cinética da partícula. A energia cinética é uma grandeza escalar que depende apenas da massa e do módulo da velocidade da partícula. A energia cinética nunca pode ser negativa, sendo igual a zero apenas quando a partícula está em repouso.

17 Trabalho e Energia Cinética (4)
Na equação: W = 1 2 𝑚v 𝑚v12 O primeiro termo do membro direito é K2= 1 2 𝑚v22, a energia cinética final da partícula, após o deslocamento. O segundo termo do membro direito é a energia cinética inicial K1= 1 2 𝑚v12. A diferença entre os dois termos é a variação da energia cinética.

18 Trabalho e Energia Cinética (5)
Desta forma, a equação: W = 1 2 𝑚v 𝑚v12 mostra que: O trabalho realizado pela força resultante sobre a partícula fornece a variação da energia cinética da partícula. Este resultado é conhecido como Teorema do trabalho-energia: WTOT = K2 – K1 = K

19 Trabalho e Energia Cinética (6)
Quando WTOT > 0 : K2 > K1 , isto é, a energia cinética aumenta e a velocidade final da partícula é maior do que a sua velocidade inicial. Quando WTOT < 0 : K2 < K1 , isto é, a energia cinética diminui e a velocidade final da partícula é menor do que a sua velocidade inicial. Quando WTOT = 0 : K2 = K1 e a velocidade não se altera.

20 Trabalho e Energia Cinética (7)
Unidades: Pela equação WTOT = K2 – K1 = K, vemos que trabalho e energia cinética têm as mesmas unidades. A unidade no SI, tanto para a energia cinética como para o trabalho é o Joule.

21 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional (1)
Consideremos uma bola de massa m sendo arremessada para cima com velocidade inicial v0, como mostra a figura ao lado. Sua energia cinética inicial será dada por 1 2 𝑚v02. Na subida a bola é desacelerada pela força gravitacional 𝐹 g. O trabalho realizado pela força gravitacional cujo módulo é dado por Fg = mg é dado por: Wg = mgd cos Durante a subida, a força gravitacional tem sentido contrário ao do deslocamento: logo  = 1800 e temos: Wg = -mgd O sinal negativo indica que, durante a subida, a força gravitacional remove uma energia mgd da energia cinética do objeto. Isto está de acordo com o fato de que o objeto perde velocidade na subida. 𝑣 0 𝑑 𝐹 g

22 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional (2)
Depois que o objeto atinge a altura máxima e começa a descer, o ângulo  entre a força 𝐹 g e o deslocamento 𝑑 é zero. Assim: Wg=mgd cos 00 Ou seja: Wg= +mgd O sinal positivo indica que, na descida, a força gravitacional transfere uma energia mgd para a energia cinética do objeto. Isto está de acordo com o fato de que o objeto ganha velocidade na descida. 𝑑 𝐹 g

23 Trabalho Realizado para Levantar e Baixar um Objeto (1)
Vamos supor que levantamos um objeto, aplicando sobre ele uma força vertical 𝐹 . Esta força, sendo na mesma direção do deslocamento, realiza um trabalho positivo Wa sobre o objeto. Ao mesmo tempo, a força gravitacional, que atua no sentido contrário ao deslocamento realiza um trabalho negativo Wg sobre o objeto. A variação K na energia cinética do objeto, devido a estas duas transferências de energia (a força aplicada transfere energia para o objeto e a força gravitacional remove energia do objeto) é: K = Kf – Ki = Wa + Wg onde: Kf  Energia cinética no fim do deslocamento. Ki  Energia cinética no início do deslocamento. 𝐹 𝑑 𝐹 g

24 Trabalho Realizado para Levantar e Baixar um Objeto (2)
Note-se que a mesma equação: K = Kf – Ki = Wa + Wg também se aplica à descida do objeto, mas neste caso: A força gravitacional realiza um trabalho positivo, pois atua no mesmo sentido do deslocamento. A força aplicada realiza um trabalho negativo, pois atua no sentido contrário ao do deslocamento. Em muitos casos, o objeto está em repouso antes e depois do levantamento. Exemplo: Quando você levanta um livro do chão e o coloca sobre uma mesa. Neste caso, Kf e Ki são nulas e temos: Wa + Wg = 0 Wa = -Wg Wa = -mgd cos  𝐹 𝑑 𝐹 g

25 Trabalho Realizado para Levantar e Baixar um Objeto (3)
De: Wa = -mgd cos  Se o deslocamento é verticalmente para cima:  = 1800 e o trabalho realizado pela força aplicada é: Wa = mgd. Se o deslocamento é verticalmente para baixo:  = 00 e o trabalho realizado pela força aplicada é: Wa = -mgd. Estas equações se aplicam a qualquer situação em que o objeto é levantado ou baixado, com o objeto em repouso antes e depois do deslocamento. Exemplo: Se você levanta um copo que estava no chão acima da sua cabeça, a força que você exerce sobre o copo varia consideravelmente durante o levantamento. Mesmo assim, como o copo está em repouso antes e depois do levantamento, o trabalho que a força aplicada por você ao copo realiza é dado por Wa = mgd.

26 Força Elástica (1) A figura ao lado mostra uma mola no seu estado relaxado, ou seja, nem comprimida nem alongada. Uma das extremidades está fixa e, na outra extremidade, tem-se um bloco preso a ela. Se alongarmos a mola, puxando o bloco para a direita, a mola puxa o bloco para a esquerda. Se comprimirmos a mola empurrando o bloco para a esquerda, a mola empurra o bloco para a direita.

27 Força Elástica (2) Como uma boa aproximação para muitas molas, a força 𝐹𝑒𝑙 de uma mola é proporcional ao deslocamento 𝑑 da extremidade livre a partir da posição que ocupa quando a mola está no estado relaxado. Assim, a força é dada por: 𝐹𝑒𝑙 =−𝑘 𝑑 conhecida como Lei de Hooke, em homenagem a Robert Hooke, cientista inglês do final do século XVII. O sinal negativo indica que o sentido da força elástica é sempre oposto ao sentido do deslocamento da extremidade livre da mola. A constante k é chamada de constante elástica e é uma medida da rigidez da mola. Sua unidade no SI é o newton por metro.

28 Força Elástica (3) Adotando o eixo x como aquele ao longo do qual ocorre o deslocamento, podemos escrever: Fx = -kx Nesta equação: Se x é positivo (ou seja, a mola está alongada para a direita), Fx é negativa (é um puxão para a esquerda). Se x é negativo (ou seja, a mola está comprimida para a esquerda), Fx é positiva (é um empurrão para a direita). Deve-se notar que a força elástica é uma força variável, uma vez que depende de x, a posição da extremidade livre.

29 Trabalho Realizado por uma Força Elástica (1)
Para determinar o trabalho realizado pela mola quando o bloco preso a ela se move, vamos fazer as seguintes hipóteses: A mola não tem massa: sua massa é desprezível em relação à massa do bloco. A mola é ideal, isto é, obedece exatamente à lei de Hooke. Também vamos supor que não exista atrito entre o bloco e o piso.

30 Trabalho Realizado por uma Força Elástica (2)
Vamos agora dar ao bloco um impulso para a direita, apenas para colocá-lo em movimento. Quando o bloco se move para a direita a força elástica Fx realiza trabalho sobre ele, diminuindo a energia cinética e desacelerando o bloco. Entretanto, não podemos calcular o trabalho usando a expressão W = Fd cos  porque essa equação supõe que a força F é constante. E sabemos que a força elástica é variável. Para efetuar este cálculo, precisamos do cálculo integral.

31 Trabalho Realizado por uma Força Elástica (3)
Seja xi a posição inicial do bloco e xf a posição do bloco em um instante posterior. Obtemos o trabalho da força elástica calculando: 𝑊 𝑒𝑙 = 𝑥 𝑖 𝑥 𝑓 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 𝑊 𝑒𝑙 =− 𝑥 𝑖 𝑥 𝑓 𝑘𝑥 𝑑𝑥= −𝑘 𝑥 2 2 | 𝑊 𝑒𝑙 = 1 2 𝑘 𝑥 𝑖 𝑘 𝑥 𝑓 2 xf xi

32 Trabalho Realizado por uma Força Elástica (4)
O trabalho realizado pela mola pode ser negativo ou positivo, dependendo do fato de a transferência total de energia ser do bloco para a mola ou da mola para o bloco quando este se move de xi para xf. Trabalho Realizado por uma Força Aplicada Vamos supor que deslocamos o bloco ao longo do eixo x, mantendo uma força 𝐹 𝑎 aplicada ao bloco. Durante o deslocamento a força aplicada realiza sobre o bloco um trabalho Wa, enquanto a força elástica realiza um trabalho Wel. A variação K da energia cinética do bloco devido a estas duas transferências de energia é: K = Kf – Ki = Wa+Wel

33 Trabalho Realizado por uma Força Elástica (5)
Avaliando esta expressão: K = Kf – Ki = Wa+Wel se o bloco está em repouso no início e no fim do deslocamento, Ki e Kf são iguais a zero e temos: Wa = - Wel Assim, se um bloco que está preso a uma mola se encontra em repouso antes e depois de um deslocamento, o trabalho realizado sobre o bloco pela força aplicada responsável pelo deslocamento é o negativo do trabalho realizado sobre o bloco pela força elástica.

34 Trabalho Realizado por uma Força Variável Genérica (1)
Considerando uma força variável F(x) unidimensional qualquer, o trabalho realizado por esta força sobre uma partícula quando ela se desloca de uma posição inicial xi para uma posição final xf é dado por: 𝑊= 𝑥 𝑖 𝑥 𝑓 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥 Geometricamente, o trabalho é igual à área entre a curva de F(x) e o eixo x, entre os limites xi e xf:

35 Trabalho Realizado por uma Força Variável Genérica (2)
Se a força for tridimensional, podemos expressá-la como: 𝐹 =𝐹𝑥𝒊+𝐹𝑦𝒋+𝐹𝑧𝒌 Supondo que a partícula sofra um deslocamento incremental: d 𝑟 =𝑑𝑥𝒊+𝑑𝑦𝒋+𝑑𝑧𝒌 e teremos que: dW = 𝐹 ∙𝑑 𝑟 O trabalho realizado pela força 𝐹 enquanto a partícula se move de uma posição inicial ri = (xi, yi, zi) para uma posição final rf = (xf, yf, zf) é, portanto: 𝑊= 𝑟 𝑖 𝑟 𝑓 𝑑𝑊= 𝑥 𝑖 𝑥 𝑓 𝐹𝑥 𝑑𝑥+ 𝑦 𝑖 𝑦 𝑓 𝐹𝑦 𝑑𝑥+ 𝑧 𝑖 𝑧 𝑓 𝐹𝑧 𝑑𝑥

36 Potência (1) A taxa de variação com o tempo do trabalho realizado por uma força recebe o nome de potência. Se uma força realiza um trabalho W em um intervalo de tempo t, a potência média desenvolvida durante esse intervalo de tempo é: 𝑃 𝑚𝑒𝑑 = 𝑊 ∆𝑡 A potência instantânea P é a taxa de variação instantânea com a qual o trabalho é realizado, podendo ser expressa como: 𝑃= 𝑑𝑊 𝑑𝑡

37 Potência (2) Também podemos expressar a taxa com a qual uma força realiza trabalho sobre uma partícula em termos da força e da velocidade da partícula. Para uma partícula que se move em linha reta (ao longo do eixo x, digamos) sob a ação de uma força que faz um ângulo  com a direção do movimento da partícula, temos: 𝑃= 𝑑𝑊 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑃=𝐹 𝑣 𝑐𝑜𝑠 ou ainda: 𝑃= 𝐹 ∙ 𝑣

38 Potência – Unidade (1) No SI, a unidade de potência é o watt (W) que equivale ao volt- ampère: 1 V∙A = (1 J/C) ∙ (1 C/s) = (1 J/s) = 1 W James Watt (Greenock, Escócia, 19 de Janeiro de 1736 — Heathfield Hall, Inglaterra, 25 de Agosto de 1819) foi um matemático e engenheiro escocês. Construtor de instrumentos científicos, destacou-se pelos melhoramentos que introduziu no motor a vapor, que se constituíram num passo fundamental para a Revolução Industrial.