Processamento de Imagens

Processamento de Imagens
Prof. Dr. Kamel Bensebaa Aula 10

Multiresolução e Transformada wavelets
Na última década, a análise de wavelets tem despertado muito interesse de vários pesquisadores de diferentes áreas Atualmente essa teoria representa uma das ferramentas mais potentes nas áreas de processamento de sinais e processamento de imagens Encontra suas aplicabilidades para solucionar problemas tais como: Segmentação de imagens Atenuação de ruído Compressão de imagens

Multiresolução e Transformada wavelets
A Transformada wavelets como é conhecida é uma melhoria da Transformada de Fourier É capaz de decompor e descrever outros funções no domínio de freqüências de forma que podemos analisar estas funções em diferentes escalas de freqüência e de tempo.

Transformada de Fourier
A Transformada de Fourier é a ferramenta mais conhecida para análise de sinais Separa o sinal em seus componentes (co-senos e senos) de diferentes freqüências Outra maneira de ver a Transformada de Fourier seria como uma técnica matemática que transforma o sinal observado no domínio de tempo ( ou de espaço) para o domínio de freqüência/periodicidade (número de ondas, no caso espacial)

A análise de Fourier faz a dualidade (coexistência) entre uma função estacionária f de uma variável t (cujo as propriedades estatísticas são independentes do tempo) e uma função F da variável =1/t, chamada transformada de Fourier de f .

Assim, é possível acessar ao comportamento freqüêncial de uma função do tempo pela sua representação num escala graduada em freqüências Da mesma forma é possível reconstruir a função do tempo a partir da sua transformada de Fourier Ao longo do tempo, os algoritmos de cálculo da transformada de Fourier evoluíram para conduzir à transformada de Fourier rápida ou FFT, desenvolvida por James Cooley e John Tuckey em 1965

A Transformada de Fourier de um sinal contínua f (t) apresenta um sério problema para análise de sinais que mudam durante o tempo, visto que na transformação para o domínio das freqüências, a informação do tempo é perdida Para sinais estacionários (conteúdo em freqüências não muda ao longo do tempo ou a composição em freqüências dos sinais é independente do tempo), esse problema é indiferente.

Limitação da Transformada de Fourier
A maioria dos sinais (sinais físicos) como o som de um sirene não são estacionários ou transitórios (fluxos, mudanças abruptas, início ou final de um evento, etc.) Como estas características são as partes mais importantes de um sinal, a análise de Fourier se torna inadequada para a detecção deste tipo de sinais Portanto, a Transformada de Fourier apresenta limitações quando se trata de sinais não estacionários que representam a maioria dos sinais físicos

Limitação da Transformada de Fourier
Em outras palavras, podemos dizer que a TF não leva em conta a informação veiculada pela estrutura temporal do sinal o que torna difícil determinar ou localizar as descontinuidades do sinal Variações de freqüências dependantes do tempo são comuns em: Voz humana Sinais geofísicos não estacionários Para estudar tais sinais, deve-se efetuar uma Transformada capaz de obter o conteúdo de freqüências de um sinal localmente no tempo (ou no espaço)

Transformada de Fourier Janelada
Para superar este problema, várias alternativas foram propostas objetivando ter uma análise ao mesmo tempo temporal e freqüêncial de sinais não estacionários A primeira delas foi a Transformada de Fourier de curta duração (Short Time Fourier Transform) ou a Transformada de Fourier Janelada (Windowed Fourier Transform) Esta transformada foi desenvolvida por Denis Gabor (1946)

Gabor adaptou esta transformada para analisar uma pequena porção do sinal em um tempo através da transformada de Fourier janelada A idéia de Gabor é introduzir um parâmetro de freqüência local (local no tempo) como se a "Transformada de Fourier Local" observasse o sinal através de uma curta "janela" dentro da qual o sinal permanece aproximadamente estacionário.

Na tentativa de analisar séries não-estacionárias utilizada-se a transformada de Fourier de curta duração (TFCD) ou transformada de Gabor Para um dado sinal f(t), aplicamos uma janela g(t) a f(t): Essa janela é real, tem duração finita e é centrada em t0 . A transformada de Fourier de curta duração (TFCD) é, então, definida por: Essa transformada é calculada para todos os valores de t0 e fornece uma representação em tempo-freqüência de f(t)

Necessita-se agora de uma representação bidimensional F(,t0) do sinal f(t), composta por características espectrais dependentes do tempo. Existem diversas escolhas para a janela, sendo a mais comum uma janela Gaussiana. O detalhe mais importante é que uma vez fixada a janela para a STFT, a resolução no tempo e na freqüência f e t permanece constante em todo o plano t –f Ilustração da transformada de Fourier de um sinal continua f(t)

Limitações da Transformada de Fourier Janelada
O sinal está sendo analisado por uma janela de dimensão fixa, a resposta tempo-freqüência é então a mesma para todas as freqüências. Conseqüentemente, a janela não é suficientemente larga para as freqüências pequenas e não é suficientemente curta para as freqüências altas. Obtém-se então uma análise que leva em conta o aspecto temporal mas onde a qualidade de análise freqüêncial vale apenas para as freqüências “médias”

Observa-se que o estudo das freqüências extremas contém excessivas informações interessantes como os contornos ou o ruído e, através as baixas freqüências identifica-se a natureza da imagem como por exemple faces paisagem, etc. Portanto a TFJ trabalha com uma janela fixa no domínio tempo-freqüência, o que torna mais difícil capturar os componentes de alta e baixa freqüências simultaneamente Em outras palavras, a TFJ não conta com a flexibilidade de uma janela que aumenta para baixas freqüências e diminua para altas freqüências.

A TFJ é mais recomendada para a análise de processos onde todas suas freqüências possuem a mesma freqüência Quando as freqüências variam a aplicação de uma outra transformada tipo wavelets é necessária visto que tem a característica de flexibilidade de janela apropriada

Transformada Wavelets
Segundo Ingrid Daubechies “A Transformada Wavelets é uma ferramenta que fatia dados ou funções ou operadores em componentes freqüências diferentes e então estuda cada componente com uma resolução casada com sua escala”.

A Transformada Wavelets representa uma melhoria da transformada de Fourier visto que na análise Wavelets a escala possui um papel importante no processamento de dados A Wavelet pode ser utilizando em processamento de sinais e imagens utilizando diferentes escalas e resoluções

Ilustramos a Transformada Wavelet contínua (Continuous Wavelet Transform) de um sinal contínuo f(t) da seguinte forma:

Uma interpretação interessante está associada com imagens do tipo “mapas”. Uma mudança de escala pode permitir: Escala maior  Visão mais global e menor precisão (baixa freqüência). Escala menor  Detalhes, mas perde-se em estudar o comportamento global (alta freqüência). A análise Wavelet permite visualizar tanto a floresta quanto as árvores.

Um mar de wavelets Existe um grande número de funções que podem ser eleitas como Wavelets mãe (outra vantagem). Nome das famílias: Haar, Daubechies, Symlets, Coiflets, Biorthogonal, Reverse Biorthogonal, Meyer, etc Normalmente se utiliza famílias de Wavelets que definem bases ortogonais, pois dessa forma é possível realizar a transformada inversa.

Podemos definir a Tranformada Wavelets Contínua como a soma ao longo do tempo de um sinal multiplicado por uma escala, e deslocado por uma função Wavelet Ψ (Psi), também chamada Wavelet mãe O resultado da CWT são vários coeficientes C, que são funções da escala e da posição.

Podemos também definir a Transformada Wavelets contínua em F(a,b) como: onde as variáveis a e b são valores reais a é um parâmetro de escala (contração ou dilatação) e b é um parâmetro de localização (deslocamento) A função Ψa,b(t) é denominada wavelet e definida como:

Parâmetro de escala A Análise de Wavelet produz um sinal no domínio tempo escala. O que significa o fator de escala aplicada a um sinal? Observa-se na figura que o fator escala a representa uma contração ou dilatação no sinal Para a>1 a função sofre uma dilatação Para a<1 obtemos uma contração do sinal.

Se pensarmos em termo da função wavelet, vamos obter o mesmo efeito de contração ou dilatação da função Assim, quanto menor for a escala, mais comprimida será a função Wavelet, e vice-versa. Então, existe uma relação entre a escala e a freqüência revelada pela Análise de Wavelet Baixa escala wavelet comprimida => Detalhes mudando rapidamente => Alta freqüência . Alta escala wavelet dilatada => Características globais mudando lentamente => Baixa freqüência .

Parâmetro de Posição ou Deslocamento O que significa translação? Transladar uma wavelet significa deslocá-la no eixo do tempo. O fator de deslocamento ou de translação da função na Análise de Wavelet é medido pela variável k o deslocamento de uma função f(t) por k pode ser representado, matematicamente, pela equação f(t-k)

A idéia fundamental da Transformada de Wavelet é que ela é uma transformada pontual e proporcional à escala. Ela analisa o sinal em escalas diferentes e se desloca analisando cada trecho do sinal. O parâmetro translação se relaciona com a localização da “janela”. Analisa-se o sinal aos poucos. Este termo corresponde, obviamente à informação de tempo no domínio da transformada. Processa-se essencialmente o conteúdo que estiver dentro da janela

O escalonamento é o processo de compressão e dilatação do sinal. O parâmetro de escala "a" usado em Wavelets tem interpretação grosso modo idêntica à escala empregada em mapas cartográficos. As altas escalas correspondem a uma visão global do sistema, enquanto que as baixas escalas correspondem a uma visão mais detalhada. As Wavelets são versões transladadas (b) e dilatadas/comprimidas (a) de uma mesma onda protótipo, chamada wavelet-mãe Ψ (t).

Wavelet-mãe em diferentes escalas e localizações

Transformada Wavelet Discreta
A transformada wavelet contínua é calculada fazendo translações e escalonamentos contínuos de uma função sobre um sinal Na prática esta transformada não seria muito útil, pois teria que realizar infinitas translações e escalonamentos, requerendo muito tempo e recursos computacionais e gerando muita redundância. Para superar este obstáculo foram introduzidas as wavelets discretas. Elas não são transladadas nem escalonadas continuamente, e sim em intervalos discretos. Isto pode ser feito com uma pequena modificação na wavelet contínua.

O cálculo da Transformada Wavelet discreta com base da Transformada Wavelet Contínua com parâmetros de escala e translação discretos é expresso da seguinte forma: sendo que

Onde, s(t) é o sinal contínuo, m,p(t) é a função wavelet com os fatores inteiros (m) de escala e translações (p) discretizados, DWT(m,p) é a transformada wavelet discreta (coeficientes wavelet) s0 é fator discreto escala que deve ser maior que 1 (usualmente s0=2) e 0 é a translação que depende do valor de s0 (neste caso, usualmente 0=1)

Essa equação é obtida fazendo s0=2 e 0=1 Nestas condições a amostragem do sinal s(t), no plano tempo-escala, pode ser analisado em um gráfico de amostragem diádico

Localização das wavelets discretas na grade diádica Desta forma, tem-se uma escala de dilatação como uma potencia de dois (am=2m), e passos de translação de um passo de escala de delação (bp=2m p=am,p)

Tipos de Wavelets Existem vários tipos de wavelets citados na literatura. O uso de uma ou outra está associado à aplicação. Regras de construção de wavelets estão sendo propostas por vários pesquisadores, segundo as restrições e necessidades que cada aplicação específica impõe. Isto nos leva a concluir que podemos gerar uma infinidade de wavelets diferentes, e particularmente construir um conjunto de wavelets adequado ao processamento de um tipo de sinal ou aplicação específica, levando à obtenção de resultados melhores.

Wavelets de Haar Unidimensional
Para entender como as wavelets funcionam, vamos começar com um exemplo simples. Suponhamos uma seqüência de uma dimensão com uma resolução de quatro pixes, tendo valores. Para entender como representar esta seqüência na base de Haar computando sua Transformada Wavelet. Para fazer isto, calculamos primeiro a média dos valores em pares, obtendo os novos valores de menor resolução da imagem,

Claramente, um pouco da informação foi perdida neste processo de cálculo da média. Para recuperar os valores dos pixeis originais a partir dos valores de média, precisamos armazenar alguns coeficientes de detalhes, que capturam a informação perdida. Em nosso exemplo, escolheremos 1 para o primeiro coeficiente de detalhe, como a média que computamos está 1 a menos que 9 e 1 a mais que 7. Este único número nos permite recuperar os primeiros dois pixeis de nossa imagem original de quatro pixeis. Semelhantemente, o segundo coeficiente de detalhe é -1, pois 4 + (-1) = 3 e 4 - (-1) = 5. Assim, a imagem original foi decomposta em uma versão de resolução mais baixa (dois pixeis) e um par de coeficientes de detalhes. Repetindo este processo recursivamente até a decomposição completa

Considera-se uma imagem 1D 4-pixel [ ] Average (smoothing) [ ] Detail coefficients (edge detection) (9 + 7)/2 (3 + 5)/2 [ 8 4 ] (9 - 7)/2 (3 - 5)/2 [ ] TW [ ] (8 + 4)/2 6 (8 – 4)/2 2

Coeficientes de Detalhes Resolução Médias ---- 4 [ ] 2 [8, 4] [1, -1] 1 [6] [2] Decomposição wavelet Haar [6, 2, 1, -1]

Assim definiremos a Transformada de Wavelet (também chamada de decomposição de wavelet) da imagem original de quatro pixeis com a simples representação da média global da imagem original, seguido pelos coeficientes de detalhe em ordem de resolução crescente. Para a base de Haar unidimensional, a transformada de wavelet da nossa imagem original de quatro pixeis é dada por: [6, 2, 1, -1]

Análise Multiresolução
A análise de multirresolução em wavelets foi formulada em 1986, em trabalhos de Mallat e Meyer. O método consiste em representar funções como um conjunto de coeficientes que fornecem informação sobre a posição e a freqüência da função em resoluções diferentes. A multiresolução é bastante útil para análise de imagens. Ela permite que objetos difíceis de serem identificados em uma determinada resolução possam ser identificados a partir de uma resolução mais apropriada, (mais alta ou mais baixa). Em uma imagem, esses objetos são entendidos como regiões que possuem texturas ou pixels com intensidades semelhantes. Objetos maiores possivelmente não necessitam de uma resolução muito alta para serem identificados, já para objetos pequenos uma resolução alta pode ser necessária. A idéia é poder transitar entre diferentes resoluções em busca de melhores análises.

Levando em considerações que a transformada Wavelets é uma projeção sobre um conjunto de dados não ortogonais, Ingrid Daubechies desenvolveu um trabalho que trata de decomposição em uma série de Wavelets ortogonais. Logo depois, Stephane Mallat desenvolveu uma nova abordagem chamada “Multiresolução” que se tornou uma ferramenta fundamental na teoria de sianais e fornece recursos poderosos para computar a transformada Wavelets de uma imagem

De ponto de vista teórico, uma multiresolução define operadores lineares que permitem analisar um sinal em diferentes escalas Além disso, pode-se dizer que a construção de uma multiresolução é realizada por uma função escala que se dilata através as escalas O sinal projetado sobre essa função fornece uma representação do sinal de origem numa escala superior Essa representação (coeficiente de projeção) é conhecida como termo de aproximação Afim de reconstruir o sinal a partir dos coeficientes de aproximação, deve-se também projetar o sinal original sobre um espaço perpendicular (conservação de toda informação) Esta segunda projeção contém os detalhes do sinal de origem

De modo geral, pode-se dizer que a função escala é um filtro passa-baixa e a Wavelets é um filtro passa-alta. Os detalhes são portanto as altas freqüências do sinal e essas altas freqüências são muitos importantes em processamento de imagens Existem diferentes aplicações na área de Processamento de Imagens como por exemplo: Detecção de contornos multiescalas Eliminação do ruído (Denoising) Compressão (1D e 2D)

Matematicamente, este conceito pode ser compreendido a partir da utilização de subespaços formados tanto pelas funções de escala quanto pelas wavelets Partindo de um sinal de nitidez (ou refinamento j), que pertence a um subespaço Vj, verifica-se que para representar uma função L2(R) é necessário que: onde a união de todos subespaços é L2(R) e a interseção entre eles é o espaço vazio

Por exemplo, uma função f(t) pode ser projetada em cada passo j no subespaço Vj de acordo com a equação (1) Segundo as equações (1) (2) e (3), se uma função esta definida em um subespaço Vj, a função f(2t) passa a ser definida em um subespaço Vj+1, tal que: Os subespaços são gerados pelas translações da função escala Assim, a relação deve ser satisfeita

Isso significa que a função escala (t) e suas translações internas (t-1) formam a base do subespaço Vj-1 Assim, essa função se define como a combinação linear de (2t-k) o que garante Vj-1Vj O conjunto de funções j,k formam uma base do subespaço Vj e são obtidos através de operações de dilatação j e translação k

A função que gera uma multiresolução é uma função escala  L2(R) No caso diádico, a função escala é definida por O projetor é então O produto interno representa a aproximação do sinal na escala j

Para complementar esta análise, necessita-se de um subespaço complementar Wj ortogonal a Vj, este espaço se chama espaço dos detalhes ou espaço Wavelets (formados pelas Wavelets (t)) Estes subespaços que constituem uma base ortonormalizada em L2(R) a um dado nível de resolução j (escala j) podem ser definidos como o complemento ortogonal (Vjc) de Vj em Vj+1 É o complemento que necessário para passar de um nível de resolução j para um nivel de resolução j+1 Matematicamente, isso é definido como

Deste modo, pode-se definir que pode ser estendido para ou seja sendo arbitraria a escala j do espaço inicial.

Com isso, pode-se dizer que o subespaço Wj contém o detalhe ou informação necessária para se passar de uma aproximação de resolução j para uma de j+1. Portanto, os subespaços de aproximação Vj e os subespaços de detalhes Wj são ortogonais o que permite afirmar que toda informação do sinal é conservada Conseqüentemente, pode-se reconstruir exatamente o sinal Graficamente, isso pode ser representado da seguinte forma

A função que gera Wj é uma Wavelet O operador linear é então O produto interno representa os detalhes do sinal na escala j

A análise multi-resolução estabelece uma relação entre os coeficientes de aproximação e detalhes, da análise Wavelet, partindo de uma escala arbitrária, que permite decompor e reconstruir o sinal através da transformada Wavelet rápida. Em cada nível de decomposição, a soma da aproximação e os detalhes correspondem ao sinal aproximado no nível anterior de decomposição. No esquema de discretização diádico a resolução se reduz à metade após cada nível de decomposição. Estudar o sinal em diferentes escalas temporais, para eliminação de ruído e detecção de singularidades Reconstruir o sinal após a modificação dos coeficientes, segundo o critério de filtragem apropriado para cada circunstância.

Para a análise de multiresolução, o conceito de escala é bastante importante. Diferentes escalas permitem a visualização de diferentes detalhes de um objeto observado. Em um mapa, usando uma escala pequena, são percebidas características macroscópicas da região detalhada, enquanto que em escalas maiores podem ser representados detalhes menores. Qualquer função definida em Vj pode ser expressa como combinação linear das funções que constituem a base do subespaço Vj+1.

Funções bases de Wavelet de Haar Unidimensional
Mostramos como uma imagem unidimensional pode ser considerada como uma seqüência de coeficientes. Alternativamente, podemos pensar em imagens como funções de valores discretos no intervalo de aberto [0, 1). Desta forma, usaremos o conceito de um espaço vetorial. Uma imagem de um pixel é apenas uma função constante em todo o intervalo [0, 1). Considerando V0 o vetor espaço de todas estas funções. Uma imagem de dois pixeis tem dois segmentos constantes nos intervalos [0, 1/2) e [1/2, 1).

Chamando todo o espaço, contendo estas funções, de V1. Se continuarmos desta maneira, o Vj espaço incluirá todas as funções constantes definidas no intervalo [0, 1) com pedaços constantes em cada subintervalo igual de 2j, onde j é o número de funções contidas do espaço. Podemos pensar agora em toda imagem unidimensional com 2j pixeis como um elemento, ou vetor, em Vj. Nota-se que estes vetores são todos das funções definidas no intervalo unitário, todo vetor em Vj está contido em Vj+1.

Algoritmo de Mallat Este algoritmo é esquematizado da seguinte maneira:

Algoritmo de Mallat O sinal x(n) é decomposto por dois filtros de análise LA (filtro baixas freqüências) e HA (filtros altas freqüências) para fornecer dois vetores respectivamente CA (Coeficientes de wavelet de aproximação) e CD (Coeficientes de wavelet de detalhes). Todos os dois são de tamanho aproximadamente igual a metade do vetor de origem. Isso é devido ao fato da operação de decimação por 2 (downsanpling). A reconstrução perfeita teoricamente possível é descrita assim. Os dois vetores CA e CD, passando por um processo de amostragem (upsampling) depois um filtragem respectivamente pelos filtros LR (filtro passa-baixa de reconstrução) resultam na soma do vetor de origem x(n). Essa decomposição/reconstrução é chamada decomposição/reconstrução em banco de filtros. Ela é característica aos sinais unidimensionais. O quádruplo (LA,HA, LR e HR) forma uma banco de filtros espelhos em quadratura.

Algoritmo de Mallat 2D

Algoritmo de Mallat Esta arquitetura é adaptada para análise de
sinais bidimensionais e principalmente imagens. Após uma decomposição de uma imagem (por exemplo) NxM e após a decimação, quatro sub-imagens resultam em denotando C (Coeficientes de aproximação), CH (Coeficientes de detalhes horizontais), CV (Coeficientes de detalhes verticais) e CD (Coeficientes de detalhes verticais). A reconstrução é a operação similar mas inversamente.

Algoritmo de Mallat Em processamento de imagens, as transformadas bidimensionais sao aplicadas por um conjunto de Quadrature Mirror Filters (QMF), formado por dois filtros L (passa -baixa) e H (passa - alta). A aplicação dos (QMF) sobre uma imagem nas direções vertical e horizontal gera um nível de decomposição e produz quatro sub-bandas, LL, LH, HL e HH Este processo pode ser aplicado recursivamente na sub-banda LL.

Transformadas bidimensionais
As transformações bidimensionais em imagens são em sua maioria obtidas a partir de transformações unidimensionais aplicadas separadamente nas direções vertical e horizontal. Assim, as wavelets sao facilmente estendidas para imagens pelo produto de funções de escala e wavelets. Os produtos geram uma função de escala e três funções wavelets

As transformadas wavelets bidimensionais obtidas pelo produto das funções unidimensionais são chamadas separáveis. Essas funções wavelets medem variações em diferentes direções: (x, y)H mede variações horizontais, (x, y)V mede variações verticais (x, y)D mede variações nas diagonais. As funções de base agora são denotadas por um parâmetro de escala j e parâmetros k e l para as translações horizontal e vertical, respectivamente,

A aplicação dos filtros sobre uma imagem nas direções vertical e horizontal gera um nível de decomposição e produz quatro sub-bandas, LL, LH, HL e HH A decomposição pode ser realizada recursivamente na sub-banda LL, obtendo níveis adicionais de decomposição.

As sub-bandas LL e HH denotam, respectivamente, as freqüências baixas e altas da imagem, enquanto LH e HL descrevem as freqüências intermediárias presentes na imagem. As sub-bandas LH, HL e HH correspondem às imagens de detalhe; enquanto que a sub-banda de baixa freqüências , LL, é a aproximação da imagem em uma resolução menor, estando relacionada à informação espacial.

Decomposição Wavelets
LL Coeficientes de Aproximação HL Detalhes Horizontais Decomposição em 1 nível da imagem Detalhes Verticais HH Detalhes Diagonais LH

HL LL HL Decomposição em 2 níveis da imagem LH HH LH HH

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