EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Torção em Seção Genéricas.

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1 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Torção em Seção Genéricas

2 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Anteriormente considerou-se somente torção em seção não circulares. As seções não permanecem mais perpendiculares ao eixo longitudinal. A formulação para seções genéricas foi desenvolvida por Saint-Venant. Segue os Passos da Formulação Variacional.

3 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Definição da Cinemática Cinemática da torção em seções genéricas

4 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Hipóteses de Saint Venant –Cada seção sofre uma rotação rígida que só depende de x, ou seja, θ = θ(x) –O deslocamento em x só depende de y e z, ou seja, definiremos uma função u(x) = φ(y, z). Da formulação Variacional para seções circulares já havíamos obtido que: v = - zθ(x) w = yθ(x)

5 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Adicionando a função u(x) = φ(y, z), teremos o campo vetorial de deslocamento dado por: Note que se u(x) = 0, cairemos no mesmo campo vetorial da cinemática para seções circulares.

6 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Sendo assim, o conjunto das ações cinematicamente possíveis para uma seção genérica será dada por. V = {u, x = 0, v = - zθ(x), w = yθ(x), u(x) = φ(y, z) e θ(x) é uma função suave}. Quando houver alguma restrição, determina-se o espaço Kinv de V.

7 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Deformação Pela hipótese de Saint Venant, a função u(x) = φ(y, z) depende somente de y e z e portanto ε xx (x)=du(x)/dx = 0 Para determinar a deformação angular para cada componente da tensão de cisalhamento, basta utilizar a mesma demonstração das seções circulares, apenas acrescentando a variação da função φ(y, z) em relação a cada uma de suas coordenadas ( por isso utiliza-se derivadas parciais).

8 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Sendo assim, teremos que: γ xy = dv(x, y, z)/dx +  φ(y, z)/  y γ xz = dw(x, y, z)/dx +  φ(y, z)/  z γ xy = -zdθ(x)/dx +  φ(y, z)/  y γ xz = ydθ(x)/dx (x+  φ(y, z)/  z

9 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas O espaço W das deformações será constituído por γ xy e γ xz Como visto anteriormente, existe um operador relacionando a cinemática à deformação. Neste caso, este operador será em forma matricial da seguinte maneira.

10 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Movimento de corpos rígidos Para se analisar os movimentos de corpos rígidos, basta impor que as deformações sejam simultaneamente nulas, ou seja, γ xy = dv(x, y, z)/dx +  φ(y, z)/  y =0 γ xz = dw(x, y, z)/dx +  φ(y, z)/  z = 0

11 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Integrando respectivamente em relação a y e a z teremos que: Pode-se igualar as expressões.

12 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Como cada parte da equação depende de somente uma variável, temos que a equação será válida para todos os casos quando dθ(x)/dx = 0, [f(z)-g(y)] = 0 Isto implica que f(z) e g(y) são ctes, o que implica que φ(y, z) também deve ser cte. Logo o espaço dos movimentos rígidos deve ser dado por N (D) = {u; u  V | θ (x) = θ constante e u(x) = C}.

13 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Potência Interna A potencia interna associa as componente de deformação com o estado interno de tensão. Neste caso estamos trabalhando com tensões de cisalhamento, o que implica que Substituindo as componentes de deformação, rearranjando e separando a integral em uma integral de área e de comprimento teremos:

14 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas A primeira integral representa o momento torçor e a segunda integral de comprimento pode ser substituida por L, já que as funções não dependem de x. Teremos que

15 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Fazendo uma análise dimensional da segunda derivada, observamos que ela apresenta dimensão de tensão que quando integrada resulta numa força, incoerente portanto com a cinemática de torção. Logo a segunda integral deve ser nula. Sendo assim a P int será dada por

16 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Que integrada por partes resulta em Para satisfazer esta expressão, devemos resolver a segunda integral, que deve ser nula. Integrando por partes e utilizando co- senos diretores teremos que

17 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas E pode-se observar que a primeira parte possui dimensão de tensão e a segunda de força distribuída.

18 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Aplicação do PPV Como Pi=Pe, teremos que E para seções genéricas a restrição

19 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Para a determinação do momento torçor resolve-se apenas o PVC para torção Para resolver o empenamento, é preciso impor que os termos entre colchetes da equação de restrição sejam nulos, já que os empenamentos devem ser arbitrários.

20 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Sendo assim teremos o seguinte PVC bidimensional

21 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Através de manipulações matemáticas e da Lei de Hooke para um material elástico e isotrópico, introduz-se uma função  (y,z) e escreve-se as componentes de tensão de cisalhamento em termos de  (y,z)

22 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Fazendo isto obteremos um PVC de segunda ordem mas com uma única função  (y,z), que pode ser resolvido mais facilmente.

23 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Com algumas manipulações, o momento torçor também pode ser expresso em termos da função  (y,z). Observe que como a tensão de cisalhamento depende da geometria da seção transversal, a função  (y,z) também vai depender

24 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Observe a figura abaixo Neste caso, por exemplo, trata-se de uma elipse. A equação  (y,z) deve ser algo próxima a equação que descreve a geometria.

25 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas A equação que satisfaz o problema de valor de contorno é dada por Onde m é encontrado através do PVC

26 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas A equação do momento torçor já foi obtida pela resolução do PVC anteriormente. Através da integral Obtém-se a função F(x) e com isso a função em  (y,z).

27 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Pela lei de Hooke τ xy (x,y,z) = G*γ xy (x,y,z) O τ pode se escrito em termos de  (y,z) e a deformação angular como γ xy = -zdθ(x)/dx +  φ(y, z)/  y A única função não conhecida é o empenamento e com isso podemos determina-lo. No caso da elipse será dado por

28 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Analogia da Membrana A solução do problema de valor de contorno para  (y,z) não é fácil de ser encontrada, como pôde-se ver. Em muitos casos é possível utilizar a analogia de membrana de Prandtl. Essa analogia parte do princípio que o comportamento de uma membrana fina em uma chapa é idêntico ao de uma seção retangular com diferentes “formatos”

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30 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Sendo assim, Prandtl determinou as expressões para a máxima tensão de cisalhamento e para o ângulo de torção de uma seção retangular com base b e altura a.

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32 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Cuidado com ângulos reentrantes, pois estas equações não valem !!!!!!! Para verificar ou dimensionar, segue-se os procedimentos padrões

33 EM406D UNICAMPAula : Torção em Seções Genéricas Exercício Prático 1 A figura abaixo mostra um eixo de seção circular cheia submetido ao carregamento indicado. Pede-se dimensionar estes eixos sendo dados L=2m, t 0 = 1200N/m (com início em l/2), T = 1600Nm, tensão normal de cisalhamento= 50MPa e G=80GPa. Redimensione o eixo para uma seção como mostrada na figura, considerando a relação a/b=20 (C1=0,333). Qual o eixo mais leve? t0 L/2