A linguagem dos números

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1 A linguagem dos números

2 Os conjuntos numéricos
Como surgiram os números? Eles foram sendo criados pouco a pouco. A cada nova dificuldade ou necessidade, o homem e a ciência foram juntando novos tipos de números aos já existentes. Com o tempo, por questões práticas, foi preciso agrupá-los, formando estruturas com características e propriedades comuns.

3 Conjuntos – Conceitos iniciais
Ficaram definidos, assim, os conjuntos numéricos ℕ, dos números naturais; ℤ, dos números inteiros; ℚ, dos números racionais; ℝ, dos números reais; ℂ, dos números complexos.

4 Conjunto dos números naturais (ℕ)
A necessidade de contar surgiu com o início da civilização dos povos. Povos primitivos contavam apenas um, dois e muitos. Esses três conceitos, sozinhos, já resolviam seus problemas. Depois outras quantidades (três, quatro, etc.) foram sendo incorporadas. A idéia do zero só surgiu mais tarde. Números utilizados para contar formam o conjunto ℕ dos números naturais, definido assim: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

5 Conjunto dos números inteiros (ℤ)
A soma e o produto de dois naturais são sempre naturais. Mas a diferença de dois naturais nem sempre é natural. Por exemplo, (5 – 2)  ℕ, mas (2 – 5)  ℕ Subtrações como essa última só são definidas com a introdução dos números inteiros negativos (–1, –2, –3, –4, ...). A união dos naturais com os inteiros negativos forma o conjunto ℤ dos números inteiros. ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

6 Conjunto dos números inteiros (ℤ)
Podemos separar os inteiros em três categorias: Os positivos: 1, 2, 3, 4, ... O zero: 0 Os negativos: –1, –2, –3, –4, ... De maneira geral, se k é um número inteiro, o número –k também é inteiro. Dizemos que k e –k são simétricos ou opostos.

7 Conjunto dos números inteiros (ℤ)
Simetria em relação ao zero. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

8 Exemplo De dois inteiros simétricos k e –k, não-nulos, qual é o positivo? Qual o negativo? Dois inteiros simétricos podem ser iguais? A soma, a diferença, o produto e o quociente de dois inteiros são sempre inteiros?

9 Conjunto dos números inteiros (ℤ)
Definem-se, em ℤ, as relações de igualdade e de ordem (desigualdade). Se p e q são dois inteiros, eles satisfazem uma, e somente uma, das seguintes relações: p = q (p é igual a q); p < q (p é menor que q); p > q (p é maior que q). → 3 – 5 = 2 → –5 < –1 < 0 < 3 → 7 > 2 > 0 > –4

10 Observação Certos subconjuntos de ℕ e ℤ são definidos por meio de desigualdades. No caso, devemos estar atentos ao universo indicado. Exemplos A = {x  ℕ / x < 4} → A = {0, 1, 2, 3}. B = {x  ℤ / –3 ≤ x < 2} → B = {–3, –2, –1, 0, 1}. C = {x  ℤ / x ≥ –2} → C = {–2, –1, 0, 1, ...}.

11 Observação Os conjuntos numéricos podem vir acompanhados de certos símbolos, que têm a função de excluir, dele, determinados números. Veja: O símbolo asterisco (*) exclui o zero; O símbolo mais (+) exclui os negativos; O símbolo menos (–) exclui os positivos.

12 Observação Quando colocamos os inteiros em ordem crescente, valem os conceitos de antecessor e sucessor. O antecessor de 8 é o 7 e o sucessor de 8 é o 9. Identifique, entre as sentenças a seguir, as que são verdadeiras. O antecessor de –6 é –5 ( ). Se p é inteiro, seu sucessor é (p + 1) e seu antecessor (p – 1) ( ). Se p, é par e q ímpar, então (p + 1).q é impar ( ). Se p é par e q é ímpar, então (p + q).(q + 1) é par ( ). No conjunto dos naturais, 0 não tem antecessor ( ).

13 Conjunto dos números racionais (ℚ)
A necessidade de operar com grandezas que nem sempre podem ser representadas por números inteiros e, consequentemente exigem subdivisões levou à criação dos números fracionários: 3 8 1 , , , etc. 5 7 10 Divisões como essas são definidas com a introdução do conceito de número racional.

14 Conjunto dos números racionais (ℚ)
Todo quociente p/q da divisão de um inteiro p por um inteiro q (q ≠ 0) é chamado de número racional. Veja a definição do conjunto ℚ dos números racionais. ℚ = {x/x = p/q; p, q  ℤ, q ≠ 0}

15 Exemplo São racionais os seguintes números 8 = 4 (inteiro) 2 3
(fracionário de termos inteiros) 7 –3 = –0,375 (decimal exato) 8 5 = 0,555... (dízima periódica) 9

16 Conjunto dos números racionais (ℚ)
Em resumo, são números racionais Os números inteiros; Os números fracionários; Os decimais exatos; As dízimas periódicas.

17 Transformando decimais exatos em frações
Um número decimal exato é sempre igual a uma fração, cujo denominador é uma potência de base 10 e expoente natural. Exemplos 35 35 7 0,35 = = = 102 100 20 –18 –18 –9 –1,8 = = = 101 10 5

18 Transformando decimais periódicos em frações
Numa dízima periódica, o grupo de algarismos que se repete é chamado período da dízima. Por exemplo na dízima 23, , o período é 72. A fração que dá origem a uma dízima é a sua geratriz.

19 Exemplos Achar a fração geratriz da dízima periódica 0,424242... –
Suponhamos x = 0, (1) ⇒ 100 . x = , ⇒ 100x = 42, (2) subtraindo (2) – (1), membro a membro 100x = 42, – x = 0, 42 14 99x = 42 ⇒ x = = 99 33

20 Exemplos Encontrar a fração geratriz da dízima periódica 4,73333... –
Suponhamos x = 4, (1) ⇒ 10 . x = , ⇒ 10x = 47, (2) subtraindo (2) – (1), membro a membro 10x = 47, – x = 4, 9x = 42,6 426 71 ⇒ 90x = 426 ⇒ x = = 90 15

21 Conjunto dos números racionais (ℚ)
Podemos representar os números racionais por pontos pertencentes a uma reta orientada, bastando para isso fazer subdivisões convenientes no eixo dos inteiros. –5/3 –6/5 0,333... 1,5 -3 -2 -1 1 2 3 0,6

22 Conjunto dos números reais (ℝ)
Vimos anteriormente, que os únicos números decimais racionais são os exatos e as dízimas periódicas. Existirão números decimais que não sejam exatos nem dízimas? Ou seja, números decimais não-racionais?

23 Conjunto dos números reais (ℝ)
Veja a figura a seguir. Ela mostra um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 unidade. Veja o cálculo de sua hipotenusa. x2 = x 1 x2 = 2 x = √2 1 Extraindo a raiz quadrada de 2 nos levará ao número 1, que não é racional.

24 Conjunto dos números reais (ℝ)
Números com √2 são chamados de números irracionais. Sua representação decimal não é exata e nem periódica. De modo geral, número irracional é todo número que, escrito na forma decimal, é infinito e não-periódico. Veja alguns exemplos: √3 = 1, 3√5 = 1,  = 3, 0,

25 Você sabia? que  é aproximadamente
3, …?

26 Conjunto dos números reais (ℝ)
A reunião dos racionais com os irracionais resulta no conjunto dos números reais. Ele é a partir de agora, o nosso universo numérico. ℝ = {x/x é racional ou irracional}

27 Visão geral dos conjuntos numéricos
No nosso estudo você deve ter notado como os conjuntos numéricos ℕ, ℤ, ℚ e ℝ foram sendo construídos. Na verdade, cada um deles amplia o anterior, com acréscimo de novos tipos de números. ℕ ℤ ℚ ℝ + Inteiros negativos + racionais fracionários + irracionais

28 Visão geral dos conjuntos numéricos
Veja sua representação por diagrama. Inteiros negativos racionais fracionários irracionais ℕ ℤ ℚ ℝ

29 Números reais como pontos da reta
O conjunto ℝ dos números reais pode ser colocado em correspondência com o conjunto dos pontos de uma reta. Para isso definimos Um sentido positivo, indicado pela seta; Um ponto O, chamado origem, associado ao zero; uma unidade de medida arbitrária. O 1 u A esta reta, damos o nome de reta real ou eixo real;

30 Números reais como pontos da reta
Na reta da figura marcamos os pontos O(0), A(1), B(–3,5), C(4) e D(–2). B D O A C –3,5 –2 1 4 Na representação: A(1), 1 é a abscissa ou a coordenada do ponto A; Em geral: Escrevemos P(x) para indicar que o ponto P está associado ao número x.

31 Números reais como pontos da reta
A reta estabelece uma ordenação para os números reais, expressas por relações de desigualdade. Sendo a e b dois reais distintos, temos: a < b (a é menor que b) significa que, na reta real, a está à esquerda de b. a > b (a é maior que b) significa que, na reta real, a está à direita de b.

32 Números reais como pontos da reta
Na reta real da figura a seguir, estão representados os números reais 0, p e q. O p q Podemos escrever, por exemplo: p < 0 (p é negativo) q > 0 (q é positivo) p < 0 < q (0 está entre p e q)

33 Observação A relação a ≤ b significa que (a < b ou a = b) e a relação a ≥ b indica que (a > b ou a = b). a ≤ b (a é menor que ou igual a b) a ≥ b (a é maior que ou igual a b) Exemplos 5 ≥ 3 (5 é maior ou igual a 3) –2 ≤ 1 (–2 é menor ou igual a 1)

34 Exemplos A figura mostra a reta real, em que O é a origem. São dados os pontos A(a) e B(b) e sabe-se que OA = OC. A O C B a b Quais são as abscissas de dos pontos O e C. Complete os pontilhados com os sinais de desigualdade > ou <. 0 e –a < > > > a –a a + b a b > –b < ab < –b .... a <

35 Intervalos reais

36 Intervalos reais Considere os conjuntos A = {x  ℤ /–3 ≤ x < 2} e B = {x  ℝ /–3 ≤ x < 2}. É verdade que A = B? O conjunto A tem apenas os elementos –3, –2, –1, 0 e 1, enquanto o conjunto B tem infinitos elementos, dentre os quais estão os elementos de A. O conjunto A pode ter seus elementos representados na reta real, delimitando-se uma parte dessa reta. veja –3 2

37 Intervalos reais Muitas vezes trabalhamos com determinados subconjuntos de ℝ (partes da reta), denominados intervalos reais. Em geral eles são definidos por desigualdades. Suponhamos dois números reais a e b tais que a < b. Os subconjuntos de ℝ definidos a seguir são chamados de intervalos reais de extremos a e b.

38 Intervalos reais – limitados
Intervalo fechado a, b. Representações: [a, b] = {x  ℝ /a ≤ x ≤ b} Na reta real: a b Intervalo aberto a, b. ]a, b[ = {x  ℝ /a < x < b} Representações: Na reta real: a b

39 Intervalos reais – limitados
Intervalo fechado em a e aberto em b. Representações: [a, b[ = {x  ℝ /a ≤ x < b} Na reta real: a b Intervalo aberto em a e fechado em b. ]a, b] = {x  ℝ /a < x ≤ b} Representações: Na reta real: a b

40 Observação Observe que cada intervalo inclui todos os reais entre a e b; para os extremos a e b, temos: inclusão do extremo  fechado  bolinha cheia (•)  colchetes normais [ ]. exclusão do extremo  aberto  bolinha vazia (o)  colchetes invertidos ] [.

41 Intervalos reais – ilimitados
Intervalo de a fechado até +. Representações: [a, +[ = {x  ℝ / x ≥ a} Na reta real: a Intervalo de a aberto até +. ]a, +[ = {x  ℝ /x > a} Representações: Na reta real: a

42 Intervalos reais – ilimitados
Intervalo de – até a fechado. Representações: ]–, a] = {x  ℝ / x ≤ a} Na reta real: a Intervalo de – até a aberto. ]–, a[ = {x  ℝ /x < a} Representações: Na reta real: a

43 Exemplos Vamos analisar, em detalhes, o intervalo real A = [–3, 5[.
Temos um intervalo fechado em –3 e aberto em 5; Representa todos os reais entre –3 e 5; Inclui o extremo –3 e exclui o extremo 5. A = {x  ℝ / –3 ≤ x < 5} –3 5 Note que: –3  A; 4,99  A; 5  A

44 Exemplos Vamos analisar, agora, o intervalo B, representado na reta real. 2 temos um intervalo aberto de 2 a +; estão indicados todos os reais maiores que 2; o extremo 2 está excluído; B = {x  ℝ / x > 2} Note que: 0  B; 2  B; 2,001  B;  B

45 Operações com intervalos reais

46 Operando com intervalos reais
Podemos efetuar, com intervalos, as operações usuais com conjuntos. A  B  A interseção B: conjunto dos elementos comuns a A e B; A  B  A união B: conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B; A – B  A menos B: conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Na prática, operações que envolvem intervalos são efetuadas a partir da representação na reta real.

47 Exemplo Dado os intervalos A = ]–2, 5] e B = ]3, +[, obter A  B, A  B e A – B. Cálculo de A  B. A = ]–2, 5] –2 5 B = ]3,+[ 3 A ⋂ B = ]3, 5] 3 5

48 Exemplo Dado os intervalos A = ]–2, 5] e B = ]3, +[, obter A  B, A  B e A – B. Cálculo de A  B. A = ]–2, 5] –2 5 B = ]3,+[ 3 A  B = ]–2, +[ –2

49 Exemplo Dado os intervalos A = ]–2, 5] e B = ]3, +[, obter A  B, A  B e A – B. Cálculo de A – B. A = ]–2, 5] –2 5 B = ]3,+[ 3 A ⋂ B = ]–2, 3] –2 3

50 Exemplos Complete o quadro abaixo. intervalo Representação na reta
Subconjunto de ℝ ]–, 5] {x  ℝ; x ≤ 5} 5 ]–5, 2] {x  ℝ; –5 < x ≤ 2} –5 2 ]–1, +[ {x  ℝ; x > –1} –1 [–2, ½] {x  ℝ; –2 ≤ x ≤ ½} –2 [–7, 4[ {x  ℝ; –7 ≤ x < 4} –7 4 [3,+[ {x  ℝ; x ≥ 3} 3

51 Exemplos Chama-se amplitude de um intervalo real limitado e fechado a medida de seu comprimento na reta real, ou ainda, a distância entre seus extremos. Qual é a amplitude dos intervalos [2, 5] e [–3, 4]? Sendo a e b reais, com a < b, qual é a amplitude do intervalo [a, b]? Escreva todos os intervalos fechados de amplitude 4, sendo –1 um de seus extremos. 3 e 7 b – a [–5, –1] e [–1, 3]

52 Exemplos Escreva dois intervalos A e B, limitados, aos quais pertença o real  e não pertençam os reais 3 e 4. Escreva, também, um intervalo limitado C, de amplitude 1,5 e ao qual pertençam dois números primos. A = ]3, ] e B = [, 4[ C = [2; 3,5]