Problemas de Otimização Combinatória

Apresentação em tema: "Problemas de Otimização Combinatória"— Transcrição da apresentação:

1 Problemas de Otimização Combinatória
Socorro Rangel UNESP São José do Rio Preto - SP

2 Formulação Geral Seja o conjunto tal que cada elemento do conjunto possui um valor, , Considere uma familia, , de subconjuntos viáveis de . O valor de cada subconjunto é dado por: . Um problema de OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA consiste em determinar um subconjunto viável de F que possua o menor valor total.

3 O Problema da Mochila elementos conhecidos:
um conjunto de itens peso e valor de de cada item Capacidade da Mochila (peso máximo) elementos desconhecidos: um subconjunto de itens a serem incluidos na mochila cuja soma dos pesos é menor ou igual que a capacidade da mochila objetivo encontrar o subconjunto de itens com o maior valor possível

4 O Problema da Mochila Peso: 3,5,4 Valor: 40,10,15 Capacidade: 10
Variáveis de decisão: Seja: j = 1,2,3 : itens disponiveis = 1 se o item j for selecionado 0 caso contrário.

5 Construção de um Modelo de Otimização Binário
Restrições A soma dos pesos dos itens selecionados deve ser menor ou igual que a capacidade da mochila OBJETIVO O valor total dos itens incluídos deve ser o maior possível.

6 Modelo de Otimização Binário
Sujeito a Sujeito a O Problema da mochila

7 O Problema da Designação
pessoas tarefas cij = 1 se a pessoa i for designada para a tarefa j 0 caso contrário

8 O Problema da Designação
x in ,..., 2 , 1 ... = + j ij mj i, = 0 ou 1, cada pessoa pode executar apenas uma tarefa: cada tarefa pode ser executada por apenas uma pessoa:

9 O Problema do Caixeiro Viajante
elementos conhecidos: um conjunto de cidades custo da viagem entre cada par de cidades elementos desconhecidos: um roteiro de viagem que inclua todas as cidades apenas uma vez, e que comece e termine na mesma cidade. objetivo encontrar o roteiro de menor custo possivel

10 Tabela de custos entre pares de cidades
Para - 16 14 15 8 Franca 3 Tanabi 12 6 Birigui 10 Bauru SJRP Cidades De

11 Este problema pode ser representado pela seguinte figura:
SJRP 8 3 Bauru Birigui 14 14 Franca 16 Tanabi

12 Vejamos dois possíveis roteiros:
SJRP Birigui Bauru Tanabi Franca SJRP Tempo = = 56 Roteiro 2 : SJRP Franca Bauru Birigui Tanabi SJRP Tempo = = 46

13 Para este problema temos um total de (5-1). (=24) possíveis roteiros
Para este problema temos um total de (5-1)! (=24) possíveis roteiros. Comparado todos os roteiros encontramos o seguinte roteiro com o menor tempo de viagem: SJRP Tanabi Birigui Bauru Franca SJRP Tempo Total : 46

14 Assim, fica inviável analisar todos os circuitos manualmente!
Vimos que o número total de roteiros é (n-1)!, onde n é o número de cidades. Observe que se aumentássemos para 8 o número de cidades do problema teríamos 7!=5040 circuitos para analisar. Adicionando apenas mais uma cidade, 9 no total, este número iria para 8! = Assim, fica inviável analisar todos os circuitos manualmente!

15 Vejamos porque o método de enumeração completa não é eficiente.

16 *Da ordem de

17 Métodos de Solução de problemas de Otimização Combinatória
Como podemos ver, tentar resolver os problemas de otimização combinatória pelo método de enumeração completa é inviável. Precisamos de técnicas mais avançadas: Particionar e limitar (“branch and bound”) Planos de corte poliédricos Heuristicas Combinação dos Métodos acima.

18 Projetos em desenvolvimento na área de Otimização Combinatória
DCCE

19 Problemas de Corte e empacotamento

20 }2x33 O Problema de Corte Unidimensional L = 200 (1) (3) (4) Perda = 4
40 90 Perda = 4 l1 = 33 l2 = 87 l3 = 40 l4 = 90 x1 = 2 x2 = 0 x3 = 1 x4 = 1 33 40 90 196  200 }2x33 Restrição Física: 33x1 + 87x2 + 40x3 + 90x4  200

21 Problemas de dimensões maiores
corte bidimensional Empacotamento Tridimensional

22 Problema do Corte Bidimensional
O Problema de Corte de Estoque Problema do Corte Bidimensional L  W (1) (2) (3) (5) li wi (4) Aplicação: Indústria de Móveis na Região de S.J. Rio Preto

23 Planejamento da Produção na Indústria de Bebidas (http://www. cotuba
3 linhas de produção 7 tanques para armazenamento de líquido Garrafas recicláveis e descartáveis (10 tipos) Refrigerantes em 11 sabores, incluíndo água

24 Uma linha de produção Máquinas alinhadas em série Esteira rolante
lavar garrafas encher fechar rotular empacotar

25 A unidade de produção Determinar a quantidade e a ordem de produção de refrigerantes de forma a satisfazer a demanda do mercado, com objetivo de minimizar os custos de produção, armazenamento e preparo de máquinas.

26 Problemas de Localização de Serviços

27 ORMaps: Uma Solução

28 Referências Rangel, S.; Lima, D. ORMAPS:Um SAD para os Problemas de Localização. In: XXXIV SBPO - SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL, 2002, Rio de Janeiro. Anais do XXXIV SBPO. Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional, v. 1. Rangel, S.; Ferreira, D. Um modelo de dimensionamento de lote para uma fabrica de refrigerantes. In: XXV CNMAC, 2002, Nova friburgo, RJ. Caderno de Resumos do XXV CNMAC. v. 1, p Conglian, G. CorteBi - Um Sistema para o corte bidimensional - Projeto Final de Graduação do curso BCC, IBILCE, UNESP, 1991. Rangel, S., O Problema do Corte Bidimensional.Dissertação de mestrado, Mestrado em Matemática Aplicada, UNICAMP.

29 O Problema do Corte Bidimensional - Exemplo 1
Vamos considerar um problema onde: Tamanho Padrão L = 85 cm C = 170 cm Itens l1xc1= 50x20 cm, l2xc2=30x60cm, l3xc3=80x85cm demanda para os itens menores é: d1= 100, d2=150, d3=130

30 Problema do Corte Bidimensional Exemplo 1 - Solução

31 Problema do Corte Bidimensional Exemplo 1 - Solução

32 Problema do Corte Bidimensional Exemplo 1 - Solução