Pesquisa Operacional Programação Linear Solução Gráfica.

Apresentação em tema: "Pesquisa Operacional Programação Linear Solução Gráfica."— Transcrição da apresentação:

1 Pesquisa Operacional Programação Linear Solução Gráfica

2 Programação Linear Solução Gráfica
Agenda Programação Linear Solução Gráfica Áreas de Aplicação Solução Gráfica Exercícios Básicos Referência: LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões. Rio de Janeiro: Campus, 2005.

3 Programação Linear Áreas de Aplicação Administração da Produção Análise de Investimentos Alocação de Recursos Limitados Planejamento Regional Logística Custo de transporte Localização de rede de distribuição Alocação de Recursos em Marketing entre diversos meios de comunicação.

4 Programação Linear Problema na Forma Padrão Existem 4 características para um problema na forma padrão: A função objetivo é de Maximizar; As restrições têm sinal de menor ou igual; As constantes de todas as restrições são não negativas; As variáveis podem assumir valores não negativos.

5 max max + x 2 2 x x + + 4 4 x x £ £ 20 20 180 180 x x + + 20 20 x x £
Programação Linear Problema na Forma Padrão Forma Padrão max max 2 1 + x Função Objetivo Restrições: 2 2 x x + + 4 4 x x 20 20 1 1 2 2 180 180 x x + + 20 20 x x 600 600 1 1 2 2 x x , , x x 1 1 2 2

6 Programação Linear Problema na Forma Padrão Forma Não Padrão min x + 2 x Função Objetivo 1 2 Restrições: 2 x + 3 x 20 1 2 180 x + 20 x = 600 1 2 x , x 1 2

7 Programação Linear Solução Ótima A Solução Ótima é uma solução viável especial. Dentre todas as soluções viáveis, aquela(s) que produzir(em) o valor da função objetivo otimizado é chamada de ótima; A grande questão é como determinar a solução ótima.

8 Max Z x   5 2 (b)  4 (c) 9 s r (a) 3 . (d)  , Programação Linear
Solução Gráfica Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente. Max Z x   5 2 1 (b)  4 (c) 9 s r (a) 3 . (d)  ,

9 x  3 x  x  4 x  x2 x1 Programação Linear Solução Gráfica 4 3 2 1 1
1 x  4 2 4 3 2 1 x  2 1 2 3 4 x1

10 9 2 x £ + + = x 2 x 9 9 2 x - = Programação Linear Solução Gráfica x2
1 x + x2 x  3 + = x 2 x 9 Reta Limite 1 1 2 x  1 9 2 1 x - = (1,4) (3,3) (3,4) (0,4) x  4 2 x  2 Região Limitada (0,0) (3,0) x1

11 x2 x1 = Solução Ótima (3,3) (1,4) (0,4) (3,3) (0,0) Solução Viável
Programação Linear Solução Gráfica x2 = Solução Ótima (3,3) (1,4) (0,4) (3,3) (0,0) Solução Viável (0,0) x1 (3,0)

12 Programação Linear Exercício 1 Considere o seguinte o problema de Programação Linear: Encontre a solução ótima. Max 3 x + 3 x 1 2 s . r . 2 x + 4 x 12 1 2 6 x + 4 x 24 1 2 x , x 1 2

13 Programação Linear Exercício 1 x2 (4,0) (0,6) (0,3) (6,0) (0,0) x1 7 6
5 4 (0,3) 3 2 1 (6,0) (0,0) 1 2 3 4 5 6 x1

14 3 x + 3 x Programação Linear Exercício 1 x2 O valor máximo de
7 O valor máximo de será no ponto onde as duas retas se cruzam. 3 x + 6 3 x 1 2 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 x1

15 Programação Linear Exercício 1

16 Programação Linear Exercício 1

17 Programação Linear Exercício 1 x2 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 x1

18 Max 4x1 + 3x2 s.r. x1 + 3x2  7 2x1 + 2x2  8 x1 + x2  3 x2  2
Programação Linear Exercício 2 Max 4x1 + 3x2 s.r. x1 + 3x2  7 2x1 + 2x2  8 x1 + x2  3 x2  2 x1, x2 0 Resolva utilizando o método gráfico.

19 Programação Linear Exercício 2 x1 + x2  3 2x1 + 2x2  8 4x1 + 3x2 x2 x2  2 x1 + 3x2  7 x1

20 Programação Linear Exercício 2 Solução Ótima x2 x1

21 Max 4x1 + 8x2 s.r. 3x1 + 2x2  18 x1 + x2  5 x1  4 x1, x2  0
Programação Linear Exercício 3 Max 4x1 + 8x2 s.r. 3x1 + 2x2  18 x1 + x2  5 x1  4 x1, x2  0 Resolva utilizando o método gráfico.

22 Programação Linear Exercício 3 x1  4 3x1 + 2x2  18 x1 + x2  5 4x1 + 8x2

23 Programação Linear Exercício 3 Solução Ótima

24 ³ + 30 4 x + £ 16 x 2 x 10 x , x ³ Max s.r. Programação Linear
Exercício 4 Max Resolva utilizando o método gráfico. s.r. + 30 4 2 1 x + 16 x 2 x 10 1 2 x , x 1 2

25 Sem Soluções Viáveis ³ + 30 4 x 10 2 16 £ + x Programação Linear
Exercício 4 Sem Soluções Viáveis + 30 4 2 1 x 10 2 16 1 + x

26 Programação Linear O Problema do Pintor Um Pintor faz quadros artesanais para vender numa feira que acontece todo dia à noite. Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e os vende por R$5,00 e R$3,00, respectivamente. Ele só consegue vender 3 quadros grandes e 4 quadros pequenos por noite. O quadro grande é feito em uma hora (grosseiro) e o pequeno é feito em 1 hora e 48 minutos (detalhado). O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira. Quantos quadros de cada tipo ele deve pintar para maximizar a sua receita?

27 Programação Linear O Problema do Pintor O que o desenhista precisa decidir? O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua receita? A decisão dele é como usar as 8 horas diárias. Quantos desenhos pequenos e grandes ele deve fazer.

28 Programação Linear O Problema do Pintor Precisamos traduzir a decisão do Pintor em um modelo de programação linear para resolvê-lo; Chamemos de x1 e x2 as quantidades de quadros grandes e pequenos que ele faz por dia, respectivamente. O Objetivo do Pintor é aumentar sua receita ao máximo.

29 Max Z x   5 3 s r x  3 . x  4 x   1,8 8 x  , Programação Linear
O Problema do Pintor Função-objetivo Maximizar a receita Max Z x   5 3 1 2 1 s r x  3 . Restrição de vendas de quadros grandes x  4 2 Restrição de vendas de quadros pequenos x   1,8 8 1 2 Restrição de tempo x  1 , 2 Não negatividade

30 + - = x z c Programação Linear O Problema do Pintor (3 ; 50/18) 9 70 1
2 + - = x z c (3 ; 50/18)

31 Min 7 x + 9 x s . r . - x + x £ 2 x £ 5 x £ 6 3 x + 5 x ³ 15 5 x + 4 x
Programação Linear Minimização Encontre a solução ótima: Min 7 x + 9 x 1 2 s . r . - x + x 2 1 2 x 5 1 x 6 2 3 x + 5 x 15 1 2 5 x + 4 x 20 1 2 x , x 1 2

32 Programação Linear Minimização x2 14 12 10 8 6 4 2 x1 -2 2 4 6 8 10 -2

33 z = = 7 x + 9 x c x = - x z = = 7 x + 9 x c x = - x +
Programação Linear Minimização z = = 7 x + 9 x 1 2 c x = - 7 x 2 9 1 z = 415 = 7 x + 9 x 65 1 2 (40/13,15/13) c x = - 7 x + 415 2 9 1 117

34 Programação Linear Restrições Redundantes Uma restrição é dita redundante quando a sua exclusão do conjunto de restrições de um problema não altera o conjunto de soluções viáveis deste. É uma restrição que não participa da determinação do conjunto de soluções viáveis. Existe um outro problema sem essa restrição com a mesma solução ótima.

35 Min 6 x + 10 x s . r . - x + x £ 2 x + 2 x ³ 1 x £ 5 x £ 6 3 x + 5 x ³
Programação Linear Restrições Redundantes Considere o problema Min 6 x + 10 x 1 2 s . r . - x + x 2 1 2 x + 2 x 1 1 2 x 5 1 x 6 2 3 x + 5 x 15 1 2 5 x + 4 x 20 1 2 x , x 1 2

36 Restrições Redundantes
Programação Linear Restrições Redundantes x2 14 12 10 8 6 4 2 x1 -2 2 4 6 8 10 -2 Restrição Redundante

37 Min 6 x + 10 x s . r . - x + x £ 2 x £ 5 x £ 6 3 x + 5 x ³ 15 5 x + 4
Programação Linear Soluções Múltiplas Encontre a solução ótima: Min 6 x + 10 x 1 2 s . r . - x + x 2 1 2 x 5 1 x 6 2 3 x + 5 x 15 1 2 5 x + 4 x 20 1 2 x , x 1 2

38 Programação Linear Soluções Múltiplas x2 Soluções Múltiplas x1 14 12
10 8 6 4 Soluções Múltiplas 2 x1 -2 2 4 6 8 10 -2

39 Max 6 x + 10 x s . r . - x + x £ 2 x £ 6 3 x + 5 x ³ 15 5 x + 4 x ³ 20
Programação Linear Solução Ilimitada Encontre a solução ótima: Max 6 x + 10 x 1 2 s . r . - x + x 2 1 2 x 6 2 3 x + 5 x 15 1 2 5 x + 4 x 20 1 2 x , x 1 2

40 Cresce indefinidamente x2
Programação Linear Solução Ilimitada Cresce indefinidamente x2 14 12 10 8 6 4 2 x1 -2 2 4 6 8 10 -2

41 Programação Linear Solução Inviável Um problema de programação linear é dito inviável quando o conjunto de soluções viáveis é vazio. Considere o problema

42 Conjunto de Soluções Viáveis é vazio x2
Programação Linear Solução Inviável Conjunto de Soluções Viáveis é vazio x2 14 12 10 8 6 4 2 -2 2 4 6 8 10 x1 -2

43 Programação Linear Caso Alumilâminas S/A A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de lâmina.

44 Programação Linear Caso Alumilâminas S/A A fábrica de São Paulo tem um custo de produção de R$ ,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ ,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender os pedidos ao menor custo possível? (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).

45 Programação Linear Caso Alumilâminas S/A Variáveis de Decisão X1 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica de São Paulo X2 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica do Rio de Janeiro Função-Objetiva Minimizar Custo de Produção (mil R$) =

46 Restrições de Não Negatividade 8 x + 2 x ³ 16
Programação Linear Caso Alumilâminas S/A Restrições de Demanda Placas Finas Placas Médias Placas Grossas Restrições de Não Negatividade 8 x + 2 x 16 1 2 1 x + 1 x 6 1 2 + 2 x 7 x 28 1 2 x , x 1 2

47 , 28 7 2 6 1 16 8 200 100 ³ + x Min Programação Linear
Caso Alumilâminas S/A - Modelo , 28 7 2 6 1 16 8 200 100 + x Min (1) (2) (3)

48 Programação Linear Caso Alumilâminas S/A - Modelo (1) (3) (2) Função Objetivo

49 Programação Linear Caso Alumilâminas S/A - Modelo Z = 920 x1 = 14/5 e x2 = 16/5 (1) (3) (2) Função Objetivo

50 Programação Linear Caso Esportes Radicais S/A A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas.

51 Programação Linear Caso Esportes Radicais S/A Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-delta vendida é R$ 40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).

52 Programação Linear Caso Esportes Radicais S/A Variáveis de Decisão X1 – Quantidade de Pára-Quedas a serem produzidos X2 – Quantidade de Asa Deltas a serem produzidos Função-Objetiva Max 60x1 + 40x2

53 Caso Esportes Radicais S/A
Programação Linear Caso Esportes Radicais S/A Restrição de Produção Linha 1 Linha 2 Restrição de Não Negatividade 100 10 2 1 + x 42 7 3 2 1 + x , 2 1 x

54 , 42 7 3 100 10 40 6 ³ £ + x Max Programação Linear
Caso Esportes Radicais S/A - Modelo , 42 7 3 100 10 40 6 2 1 + x Max (1) (2)

55 Programação Linear Caso Esportes Radicais S/A - Modelo Função Objetivo (1) Z = 600 x1 = 10 , x2 = 0 (2)