Como ir do tableau da base (j 1,...j s-1,j s, j s+1....j m ) para o da base (j 1,...j s-1,k, j s+1....j m ) lembrando que : na coluna associada à x ji.

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1 Como ir do tableau da base (j 1,...j s-1,j s, j s+1....j m ) para o da base (j 1,...j s-1,k, j s+1....j m ) lembrando que : na coluna associada à x ji temos e i, Na linha zero para as variáveis básicas remos básicas Γ j =0, Devemos modificar o tableau usando Pivotações, de modo que a coluna k mude de [-Γ k ] [ 0 ] [ π ] [ e s ], isto é seja diagonalizada, sem alterar as colunas j i, i≠s, da sua forma “diagonalizada ”

2 do tableau da base (j 1,...j s-1,j s, j s+1....j m ) para o da base (j 1,...j s-1,k, j s+1....j m ) mudar coluna k de [-Γ k ] para [ 0 ] [ π ] [ e s ], isto é seja diagonalizada, sem alterar as colunas j i, i≠s, da sua forma “diagonalizada ” é feito por: (0)pivô=π s, (1) linha s nova = pivo -1 ( linha s velha); (2 ) linha j (≠s) nova = linha j velha j – π i (linha s nova), (3) linha 0 nova = linha 0 velha + Γ k (linha s nova),

3 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (revisado) Organização matricial; Não calcula Γ=c-A t B -1t c B = c- (B -1 A) t c B, mas sim Γ=c-A t (B -1t c B )=c-A t λ,com λ= (B -1t c B ) daí nome com multiplicadores Operação fundamental é a atualização de inversa de base (B -1 )

4 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (revisado) Forma didática: atualizar só B -1 e b’; Forma completa: considerar linha zero; As Pivotações são as mesmas do simplex tabular

5 Inicialização: fase 0 sem perda de generalidade, b≥0; Resolva o problema Minimizar + sujeito a Ax + Iy =b x≥0 e y≥0. se valor ótimo estritamente positivo: PROBLEMA INVIÁVEL

6 Inicialização: fase 0 Resolva o problema fase 0 se valor ótimo nulo, PROBLEMA VIÁVEL. Mais ainda se base ótima não contém variáveis artificiais (y i ), temos base inicial viável para o problema original(PLC). Caso contrário precisamos manter as variáveis artificiais, garantindo que serão nulas, através de restrições adicionais.

7 Inicialização: fase 0 Se a base ótima da fase 0 for {{y i } iєÇ,{xj} jєJ }, com valor ótimo nulo, resolva o (PLC2) abaixo equivalente ao (PLC) original: Maximize Sujeito a ∑a ij x j =b i para iє {1,2,...m}/Ç; ∑a ij x j + y i =b i para iєÇ; y i + z i =0, y i ≥0, z i ≥0 para iєÇ; x≥0, a partir da base viável {{y i } iєÇ,{xj} jєJ }

8 Hipótese de característica plena resolvida: pois a forma de inicialização apresentada sempre dá base inicial viável.

9 Degenerescência A hipótese de não degenerescência tem foi usada em duas provas: 1-no caso de existência de π i >0, para garantir que a nova m upla de índices (j 1,...j s-1,k, j s+1....j m ) corresponde a base viável; 2-para garantir a convergência com o argumento de que o algoritmo não pode ciclar (repetir base).

10 Degenerescência A hipótese de não degenerescência tem foi usada 1-no caso de existência de π i >0, para garantir que a nova m upla de índices (j 1,...j s-1,k, j s+1....j m ) corresponde a base viável; -este fato pode ser provado notando a manutenção da obediência às restrições e que dependência linear das colunas de indices (j 1,...j s-1,k, j s+1....j m ) leva a π s =0 (em contradição a π s >0)

11 Degenerescência A hipótese de não degenerescência tem foi usada 2 para garantir a convergência com o argumento de que o algoritmo não pode ciclar (repetir base). Para evitar ciclagem existem regras de escolha para as variáveis que entram e saem da base quando em presença de degenerescência: regra lexicográfica, perturbações, Bland,.... Em primeiro curso provaremos em classe a generalização da regra de Bland,

12 SIMPLEX Com isto encerramos a apresentação do simplex sem entrar em detalhes de algebra linear computacional, sem podendo deixar de recomendar a leitura de advertência quanto aos erros mais comuns, dos quais há uma lista no texto usual deste curso BOA PRIMEIRA PROVA