Sistemas de Controle III N8SC3

Apresentação em tema: "Sistemas de Controle III N8SC3"— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas de Controle III N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa 9.a Aula: Realimentação Linear de Variáveis de Estado

2 1.Motivação para realimentação linear de variávreis de estado
Objetivo: Motivar o projeto de controladores com base no modelo de estado e apresentar os principais problemas, que esta abordagem coloca, relacionando-os com os conceitos de controlabilidade e observabilidade .

3 Exemplo: O controle de uma suspensão magnética
O sistema em malha fechada com controle proporcional fica sempre oscilatório não amortecido.

4 Realimentação de Velocidade:
Equação característica de malha fechada: Por ajuste dos coeficientes podemos colocar os pólos arbitrariamente.

5 Por exemplo, se quisermos colocar os pólos em , o
polinómio característico deve ser : Comparando-se este polinómio com o que se obteve com a realimentação da velocidade, tem-se: Igualando os coeficientes, obtém-se o seguinte sistema de equações, que permite calcular os ganhos que levam os pólos à posição desejada:

6 Conclusão: A retroalimentação linear de todas as variáveis de estado permite aumentar a flexibilidade no projeto do controlador (pelo menos aparentemente), dado que temos um procedimento sistemático para colocar os pólos de malha fechada.

7 Conclusão: Levantam-se questões importantes: Acessibilidade do estado. O estado nem sempre está acessível para medida direta, por exemplo, devido a limitações tecnológicas ou de custo dos sensores; Existência de solução das equações.

8 Estimação do estado: Quando o estado não está acessível uma possibilidade é substitui-lo por uma estimativa. Estimador em malha aberta: Esta solução não é boa: Leva-nos a um controlador em malha aberta. As perturbações e os erros de modelação não são atenuados.

9 Solução com observador assimptótico :

10 Um outro exemplo: Compensador em malha aberta de um sistema instável.
Será que este controlador funciona quando o cancelamento é matematicamente exato?

11 Começamos por construir um modelo de estado do sistema
Começamos por construir um modelo de estado do sistema. Para tal, repare que: O diagrama de blocos pode ser desenhado na seguinte forma, em que se indicam as variáveis de estado

12 A resolução destas equações conduz a (* significa “convolução”):
Conclusão: Mesmo quando o cancelamento é exato, o sistema só é estável quando:

13 Repare que é frequente afirmar que o sistema não funciona porque, na prática, o cancelamento não é nunca matematicamente exato. Isto é verdade, mas mais importante ainda é que, mesmo que haja cancelamento perfeito, há modos naturais (associados às condições iniciais) que tendem para infinito.

14 A necessidade de uma descrição interna dos sistemas
Este exemplo ilustra a importância de termos uma descrição interna dos sistemas, que clarifique as questões relativas ao cancelamento de pólos e zeros. Isto vai conduzir-nos uma vez mais aos conceitos de Controlabilidade e Observabilidade.

15 2. Controlabilidade e Observabilidade
Objetivo: Introduzir os conceitos de observabilidade, controlabilidade, reconstrutibilidade e atingibilidade. Critérios de controlabilidade e observabilidade. Relação das propriedades de controlabilidade e observabilidade do modelo de estado com a função de transferência.

16 Questão (relacionada com a Controlabilidade):
Dado o sistema descrito pelo modelo de estado contínuo: Será possível, partindo da origem levar o estado a um valor especificado arbitrário por escolha conveniente das entradas? A resposta a esta questão depende do par de matrizes (A, b).

17 Questão (relacionada com a Controlabilidade):
Uma questão relacionada com esta é: Como escolher a entrada de forma a levar o estado ao ponto especificado? Pode colocar-se uma questão análoga para sistemas discretos.

18 Controlabilidade (definição – sistemas contínuos)
A realização de estado contínuo: Diz-se completamente controlável se, dado um estado inicial na origem x(0)=0 , e qualquer x(f) , existir um instante finito t(f) e uma função de entrada u(t), tal que

19 Nota sobre o conceito de controlabilidade
Para sistemas contínuos a definição de controlabilidade é equivalente a impôr que de qualquer estado se atinja a origem num intervalo de tempo finito por escolha conveniente da entrada. É esta a definição dada em [Rugh]. A definição dada no slide anterior é normalmente referida como atingibilidade. Para sistemas contínuos as duas definições são equivalentes, mas para sistemas discretos não. Referências: Rugh (1996). Linear System Theory. Kailath (1980). Linear Systems.

20 Critério de controlabilidade (sistemas contínuos)
O sistema contínuo É completamente controlável se a matriz dita matriz de controlabilidade, tiver a sua matriz característica n igual a dimensão x da matriz (n=dim x) . Este fato, que necessita demonstração, proporciona-nos um critério de controlabilidade.

21 Revisão Matriz Característica
Uma matriz C não nula é caracterizada pela máxima ordem dos determinantes não todos nulos, que podem ser retirados de C. Ou seja, a característica de C é o número natural p ≥1 somente quando:  pelo menos um determinante for de ordem p diferente de zero. b) todos os determinantes de ordem maior do que p forem nulos. 

22 Revisão Matriz Característica
Exemplo: Dada a matriz acima podemos retirar determinantes de ordem 1, ordem 2 e ordem 3, portanto essa matriz é caracterizada por 1, 2 ou 3. Veja que pelo menos um determinante de ordem 2 será diferente de zero: Veja abaixo todos os determinantes de ordem 3:

23 Revisão Matriz Característica
Note que a primeira e a terceira linha são iguais por isso os determinantes de ordem 3 são iguais a zero. Portanto, a característica da matriz M é 2. Propriedades: Não existe modificação na característica da matriz quando: 1) duas filas paralelas são trocadas. 2) as linhas são trocadas ordenadamente pelas colunas. 3) uma fila é multiplicada por uma constante k ≠ 0. 4) filas nulas são acrescentadas ou extraídas. 5) adicionamos a uma fila uma combinação linear de filas paralelas. 6) uma fila que é combinação linear das demais é eliminada. 

24 Revisão Matriz Característica
Exercício: Exemplo:  Na matriz acima todos os determinantes de ordem 3 são nulos, portanto, ao calcular a característica de M podemos eliminar esta linha. Portanto, a característica de M será igual á da matriz. 

25 Revisão Matriz Característica
Considerando esta matriz podemos eliminar os determinantes de ordem 2, pois a segunda e a terceira linha são iguais. Portanto, a característica de N é igual à da matriz. Nesta matriz todos os determinantes de ordem 3 são nulos, pois a terceira linha é o dobro da primeira. Portanto, a característica de P é igual à da matriz. Sendo assim a característica de Q é 2, pois há pelos menos um determinante de ordem 2 diferente de zero. Conclusão: a característica da matriz M é 2.

26 Exemplo de um sistema não completamente controlável
A partir do diagrama de blocos conclui-se, dado que a entrada não afeta a variável x2, que não podem ser atingidos pontos do espaço fora do eixo x1.

27 Exemplo de um sistema não completamente controlável
Condição de sistema não controlável: Matriz característica é menor que a dimensão da matriz. Logo a realização de estado considerada não é controlável. Apenas podem ser atingidos pontos num subespaço de dimensão do espaço de estados (que tem dimensão 2).

28 Outro exemplo de um sistema não completamente controlável
Repare que os valores próprios são iguais.

29 Vejamos o que diz o critério de controlabilidade:
Como o critério permite concluir que o sistema é não controlável e que apenas se podem atingir a partir da origem pontos do espaço de estados que estão num subespaço de dimensão 1.

30 Exercício 3 (lista 2) Dado o sistema: Pede-se:
Pede-se: Verifique por meio da matriz de controlabilidade se o sistema é completamente controlável. Desenhe um diagrama de bloco do sistema (entrada u e saída y) e verifique se, por meio desse diagrama, pode ser confirmada ou não a conclusão do item anterior.