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PublicouBárbara Peres Cabral Alterado mais de 8 anos atrás
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POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano
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Polinômios Definição Soma de monômios Números Complexos Coeficientes
Expoentes Números Naturais
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Pode assumir valores Complexos Termo independente de x
Polinômios Definição Soma de monômios Pode assumir valores Complexos Termo independente de x
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Polinômios São Polinômios
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Polinômios Não são Polinômios
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Polinômios Valor Numérico
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Polinômios Valor Numérico
Fornece o valor da soma dos coeficientes do polinômio P(x). Fornece o valor do termo independente de x.
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Qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x).
Polinômios Valor Numérico Qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x).
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Qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x).
Polinômios Valor Numérico Qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x). Soma dos coeficientes
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Qual o valor do termo independente de x.
Polinômios Valor Numérico Qual o valor do termo independente de x. Termo independente de x
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Qual o valor do termo independente de x. Termo independente de x
Polinômios Valor Numérico Qual o valor do termo independente de x. Termo independente de x
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é raiz do polinômio P(x). 2 é raiz do polinômio P(x)
Polinômios Raiz de um polinômio é raiz do polinômio P(x). 2 é raiz do polinômio P(x)
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é raiz do polinômio P(x). 2i é raiz do polinômio P(x)
Polinômios Raiz de um polinômio é raiz do polinômio P(x). 2i é raiz do polinômio P(x)
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Não se define grau para um polinômio nulo
Polinômios Polinômio Nulo Não se define grau para um polinômio nulo
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Polinômios Grau de um Polinômio
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Polinômios Grau de um Polinômio
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Polinômios Grau de um Polinômio Observação: Monômio de grau 3: (2 + 1)
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Identidade polinomial
Polinômios Identidade polinomial Idênticos
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Polinômios 1) Se e são polinômios idênticos, então a soma dos valores positivos de é:
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Polinômios
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Operações com Monômios e Polinômios
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Adição de Monômios Devemos efetuar a soma ou subtração dos coeficientes numéricos entre os monômios semelhantes. Ex: 5x2 – 3ay3 + 7x2 + ay3 5x2 + 7x2 – 3ay3 + ay3 Monômios semelhantes Monômios semelhantes = 12x2 – 2ay3
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Multiplicação de Monômios
O produto de monômios é obtido da seguinte forma: primeiro, multiplicam-se os coeficientes numéricos; em seguida, multiplicam-se as partes literais. Ex: (4ax2) . (–13a3x5) = (4) . (–13) . (a1 . a3) . (x2 . x5) = – 52a4x7
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Lembrando... Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes. am.an = am+n Ex: x4.x9 = x4+9 = x13
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Divisão de Monômios A divisão de monômios é obtida da seguinte forma:
primeiro, dividem-se os coeficientes numéricos; em seguida, dividem-se as partes literais.
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Lembrando... Um quociente de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e subtraímos os expoentes. am:an = am–n *com a ≠ 0 Ex: x12 : x8 = x12–8 = x4
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Adição de Polinômios Ex:
Efetue a soma algébrica dos monômios semelhantes. Ex: (4x2 – 7x + 2) + (3x2 + 2x + 3) – (2x2 – x + 6) = eliminando os parênteses = 4x2 – 7x x2 + 2x + 3 – 2x2 + x – 6 = agrupando os termos semelhantes = 4x2 + 3x2 – 2x2 – 7x + 2x + x – 6 = = 5x2 – 4x – 1 forma reduzida * Não esqueça da regra de sinais!
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Multiplicação de Monômio
por Polinômio A multiplicação de um monômio por um polinômio é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio. Ex: 4x2y3 . (2x3 – 5xy4) = = 4x2y3 . 2x3 + 4x2y3 . (– 5xy4 ) * Não esqueça da regra de sinais! = 8x5y3 – 20x3y7
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Multiplicação de Monômio
por Polinômio A multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro e, sempre que possível, reduzindo os termos semelhantes. Ex: (a + b) . (c + d) = ac + ad + bc + bd
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Divisão de Polinômio por Monômio
Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio. Ex: (18x3 – 12x2 + 3x) : (3x) = = (18x3 : 3x) – (12x2 : 3x) + (3x : 3x) = 6x2 – 4x + 1
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Valor Numérico de uma Expressão Algébrica Ex:
Após obtida a expressão algébrica, basta substituir cada incógnita pelo valor estabelecido pelo exercício. Ex: Determine o valor numérico da expressão abaixo para x = 2 e y = 3 3x2 – 2x + 7y + 3x – 17y 1º reduzimos os termos semelhantes 3x2 + x – 10y 2º substituímos os valores de x = 2 e y = 3 – 10.3 – 30 – 30 = - 16
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Teorema da decomposição
Polinômios Equações polinomiais Raízes de uma equação Teorema da decomposição
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2x4 +x³ + 6x² + 2x – 1 = 0 Polinômios
Propriedades: 1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes . Grau da equação ( Representa o número de raízes) 2x4 +x³ + 6x² + 2x – 1 = 0 2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b . 3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz .
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Polinômios Propriedades: 4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k . Exemplo: x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x1 = x2 = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.
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Polinômios Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d = 0
5) Se a = 1 não há raízes fracionárias. 6) Se d = 0 x1 = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) Ex: 2x7+3x4 + 2x² = 0
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Polinômios Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d = 0
5) Se a = 1 não há raízes fracionárias. 6) Se d = 0 x1 = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) Ex: 2x7+3x4 + 2x² = 0 Há duas raízes nulas 7) Se a + b + c + d = 0 x1 = 1 é raiz.
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Polinômios Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 admite, pelo menos, uma raiz complexa. Teorema das raízes complexas ( PRRI)
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Polinômios Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 admite, pelo menos, uma raiz complexa. Teorema das raízes complexas ( PRRI) Divisores do termo independente: 1, 2, 3, 6 -1 1 1 –4 1 6 1 1 –5 –3 6 -2 4 Resto = 0 x1 = -1 é raiz Resto 0x =1 não é raiz. Grau n – 1
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Teorema das raízes complexas
Polinômios Teorema das raízes complexas –1 1 –4 –1 14 10 –1 1 –5 4 10 Resto 1 –6 10 Resto Grau n – 2
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Teorema das raízes complexas
Polinômios Teorema das raízes complexas
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Polinômios Teorema das raízes complexas ( PRRF) 18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0
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Polinômios Teorema das raízes complexas ( PRRF) Divisores do termo independente: 1 18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0
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Polinômios Teorema das raízes complexas ( PRRF) Divisores do termo independente: 1 18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0 Divisores do coeficiente da incógnita de maior expoente: 1, 2, 3, 6, 9, 18 PRRF: 1/2, 1/3, 1/6, 1/9, 1/18 –1/2 18 9 -2 -1 18 -2 Resto x1 = -1/2 18x² +0x -2 = 0 x² = 1/9
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Polinômios Relações de Girard
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Polinômios Relações de Girard
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Polinômios Relações de Girard
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Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b)
Polinômios Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b) P(x) ax + b P(x) = (ax + b) · Q(x) + R Q(x) R Raiz do divisor
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Polinômios P(x) ax + b Q(x) R Teorema de D’alembert
Condição necessária para que P(x) seja divisível por ax + b. Q(x) R
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Polinômios O resto da divisão do polinômio pelo binômio é:
Teorema do resto
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Dispositivo Briot-Ruffini Coeficientes do polinômio a · Q(x)
Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini Grau n Grau 1 Coeficientes de P(x) P(x) ax + b Q(x) R ... Grau n – 1 Raiz do divisor Resto ... Coeficientes do polinômio a · Q(x) Resto
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Dispositivo Briot-Ruffini
Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini 2 3 – 7 6 5 3
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Dispositivo Briot-Ruffini
Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini 2 3 – 7 6 5 + = 3 –1
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Dispositivo Briot-Ruffini
Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini 2 3 – 7 6 5 + = 3 –1 4
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Dispositivo Briot-Ruffini
Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini 2 3 – 7 6 5 + = 3 –1 4 13
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Dispositivo Briot-Ruffini Coeficientes do polinômio a · Q(x)
Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini 2 3 – 7 6 5 3 –1 4 13 Resto Coeficientes do polinômio a · Q(x)
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Dispositivo Briot-Ruffini Coeficientes do polinômio a · Q(x)
Polinômios Dispositivo Briot-Ruffini 2 3 – 7 6 5 3 –1 4 13 Resto Coeficientes do polinômio a · Q(x) Grau do polinômio Q(x) é uma unidade menor que o grau do polinômio P(x)
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Teorema da decomposição
Polinômios Equações polinomiais Raízes de uma equação Teorema da decomposição
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Polinômios Seja p um polinômio de grau seis, cujos coeficientes de termo de maior grau é igual a 2. As raízes deste polinômio são c, 2 e 0, com multiplicidades 3, 2 e 1 respectivamente. Considerando p(1) = 16, o valor da raiz c é igual a: a) –1. b) c) –7. d) 7. e) 15.
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Polinômios Sobre todas as raízes da equação
afirma-se que essa equação possui: uma raiz real e duas complexas.
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Teorema das raízes complexas
Polinômios Teorema das raízes complexas –1 1 –4 –1 14 10 –1 1 –5 4 10 Resto 1 –6 10 Resto Grau n – 2
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Teorema das raízes complexas
Polinômios Teorema das raízes complexas
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Polinômios Seja P(x) um polinômio de terceiro grau, cujo gráfico está representado na figura abaixo: 2 1 –1 x y Então o resto da divisão de P(x) pelo monômio x + 2 é:
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Determine o polinômio de quarto grau, cujo esboço do gráfico é:
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA:
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Mais alguns... Uma das raízes de 2x3 – (m +3)x2 + 11x – m = 0 é 1. Quais são as outras raízes dessa equação?
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Mais alguns... A equação 2x³ - 5x² + x + 2 = 0 tem três raízes reais. Uma delas é 1. Encontre as outras duas.
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Mais alguns... Uma das raízes do polinômio
P(x) = 3x3 + 2x2 – 7x + 2 é – 2. Então, a soma das outras raízes desse polinômio é: a) 2/3 b) -1 c) 4/3 d) -3/4 e) 1
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Só mais um... (ou não) Resolver a equação x3 – 6x2 + 3x + 10 = 0, sabendo que a soma de duas raízes é 1.
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