História da Trigonometria e algumas Curiosidades

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1 História da Trigonometria e algumas Curiosidades
A palavra TRIGONOMETRIA tem origem grega: TRI (três), GONO (ângulo) e METRIEN (medida). Etimologicamente, significa medida de triângulos. Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.  

2 As suas aplicações iniciais foram na área da:
Astronomia Navegação Cartografia Construção

3 Iniciou-se através dos Babilónios e Egípcios,
por volta do século IV e V a.C., para dar resposta a problemas práticos de Astronomia, Agrimensura e Navegação. Papiro de Rhind Também, por volta dos séculos VI e IV a.C., começou-se a desenvolver na Grécia, com o objectivo de dar resposta a problemas de Astronomia.

4 No século V a.C., Hipócrates de Quios estudou
relações entre arcos de circunferência e respectivas cordas. No séc. III a.C., Arquimedes de Siracusa no seguimento do trabalho que desenvolveu para calcular o perímetro de um círculo dado o respectivo raio, calculou o comprimento de grande número de cordas e estabeleceu algumas fórmulas trigonométricas.  

5 Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a. C
Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado "o pai da Trigonometria" pois, na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Evidentemente, Hiparco fez esses cálculos para usá-los nos seus estudos de Astronomia. Hiparco foi uma figura de transição entre a astronomia babilónica e a obra de Ptolomeu.

6 Foi Ptolomeu (séc. II d.C.) quem influenciou o desenvolvimento da
Trigonometria, durante muitos séculos. O seu livro Almagesto, contém uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série de proposições da actual trigonometria.

7 No século III d.C., surgiu a Trigonometria esférica, através dos matemáticos Indianos e Árabes.

8 No século XV, Johann Muller Regiomontanus (1436 – 1476),
conseguiu sistematizar os conhecimentos trigonométricos até então conhecidos. No século XVI, François Viéte (1540 – 1603) introduziu Teoremas que permitiram relacionar lados e ângulos de triângulos não rectângulos.

9 Nos séculos XVIII e XIX, a Trigonometria atinge o seu expoente
máximo, onde se destacaram os trabalhos do matemático suiço Euler ( ) e de Joseph Fourier (1768 – 1830) , no âmbito das funções trigonométricas. Euler Fourier

10 Algumas aplicações atuais:
Telecomunicações Música Astronomia Medicina Física Sociologia

11 Evolução dos instrumentos que medem ângulos
Sextante Quadrante Astrolábio Balestilha (Vara de Jacob) Grafómetro ( Século XVI e XVII) Teodolito GPS

12 Razões trigonométricas
Triângulo retângulo a é o cateto oposto do ângulo α c é o cateto adjacente do ângulo α b é a hipotenusa do ângulo α

13 Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa. sin 𝛼

14 Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa.

15 Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida do cateto adjacente.

16 EXERCÍCIO 1 B Considera o triângulo rectângulo [ABC], retângulo em A. α 5 4 Determina as razões trigonométricas do ângulo α. C A 3 EXERCÍCIO 2 Determina, com duas casas decimais, a amplitude do ângulo α. Nota: Utilizando a calculadora, existem as funções que dado o valor do seno ou do cosseno ou da tangente, conseguimos calcular a amplitude do ângulo. 𝑠𝑖𝑛 −1 (…)

17 EXERCÍCIO 3 Considera o triângulo retângulo. Determina o valor de x, com uma aproximação às décimas. a) b)

18 EXERCÍCIO 4 Determina a altura da torre, apresenta o resultado com uma aproximação às centésimas.

19 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼=1 𝑡𝑔𝛼= 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 1+ 𝑡𝑔 2 𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
Fórmulas Trigonométricas 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼=1 𝑡𝑔𝛼= 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 1+ 𝑡𝑔 2 𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 1+ 1 𝑡𝑔 2 𝛼 = 1 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼

20 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼= 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 1 𝑡𝑔𝛼 𝑠𝑒𝑐𝛼= 1 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼= 1 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝛼= 𝑠𝑖𝑛 −1 𝛼
Apenas por curiosidade, podemos conhecer outras razões trigonométricas 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼= 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 1 𝑡𝑔𝛼 𝑠𝑒𝑐𝛼= 1 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼= 1 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝛼= 𝑠𝑖𝑛 −1 𝛼 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑐𝑜𝑠 −1 𝛼 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝛼= 𝑡𝑔 −1 𝛼

21 Razões trigonométricas dos ângulos especiais: 30º, 45º e 60º
Seno 1 2 2 2 3 2 Cosseno Tangente 3 3 1 3

22 Exercício 1: Sabendo que o ângulo α é 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝛼= 4 5 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛼 −2𝑡𝑔𝛼
Exercício 2: Sabendo que 2𝑠𝑖𝑛𝛼=1,2 e que 0 < 𝛼 < 90º , determina : a) −3𝑐𝑜𝑠𝛼 b) 𝑡𝑔𝛼+2 Exercício 3: Mostra que para qualquer ângulo agudo de amplitude x : 1 − 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥= 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥− 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 b) 𝑡𝑔𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 3 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 c) 𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑡𝑔𝑥= 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 d) 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥= 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥