SIMPLEX Para o problema canônico: Max sujeito a Ax=b e x≥0.

Apresentação em tema: "SIMPLEX Para o problema canônico: Max sujeito a Ax=b e x≥0."— Transcrição da apresentação:

1 SIMPLEX Para o problema canônico: Max sujeito a Ax=b e x≥0.

2 Iteração do SIMPLEX ideal Entrada: base viável ordenada (j 1,j 2,j 3......j m ) Possíveis saídas (Mutuamente excludentes) : 1- Vértice ótimo 2-Aresta de ilimitação 3-Base ordenada para a próxima iteração.

3 Cálculo do vértice associado à base VIÁVEL conhecida (j 1,j 2,j 3......j m ); Calcule a inversa de base B -1 por B -1 = (A j1,A j2,A j3......A jm ) -1 ; Não esqueça que para o correspondente vértice, v k =0 se k não estiver na base Calcule as componentes do vértice que não são obrigatoriamente nulas por: b´= B -1 b e v ji = b’ i, i=1,2.....m.

4 Teste de otimalidade: Compute a projeção do vetor da função objetivo c em cada arestas emergentes de v, ou seja, escreva a função objetivo em termos de variáveis não básicas (quando Ax=b): = +, onde Γ=c-A t B -1t c B...... note que Γ B =0. Note que (A t B -1 c B )não é bem definido.

5 Preparo de uma das três possíveis saídas. Compute inteligentemente, Γ=c-A t B -1t c B lembrando que = + para todo x tal que Ax=b

6 Cálculos ideais em cada iteração: Cálculo do vértice associado à base VIÁVEL conhecida (j 1,j 2,j 3......j m ); Teste de otimalidade; Preparo de uma das três possíveis saídas.

7 Vértice ótimo Como = + para todo x tal que Ax=b e para todo ponto viável Ax=b e x≥0, segue que: Γ=c-A t B -1t c B ≤0 → v, que é viável, é solução do (PLC).

8 Aresta de ilimitação Se existe k tal que: 1)Γ K =(Γ=c-A t B -1t c B ) K >0 e 2)π=B -1 A k ≤0 Então: (x B =b’-λπ, x k =λ, x j =0 para j≠k) λ≥0 é semireta de ilimitação do (PLC).

9 3-Base ordenada para a próxima iteração. Se existe k tal que: 1)Γ K =(Γ=c-A t B -1t c B ) K >0 e 2)π=B -1 A k tem componente positiva, a base (j 1,j 2,..,j î-1,k, j î-1,.....j m ) é viável e sob (HND) está associada a vértice melhor que v.

10 Iteração do SIMPLEX “real” Entrada: base viável ordenada (j 1,j 2,j 3......j m ) e resultados da iteração anterior (B -1,b’,Γ k,π...) Possíveis saídas (Mutuamente excludentes) : 1- Vértice ótimo 2-Aresta de ilimitação 3-Base ordenada para a próxima iteração.

11 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (forma 1) Na forma de tabela (“tableau”) de sistema linear, onde as variáveis dependentes são escritas em termos das independentes. -

12 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (tabular) Na forma de tabela (“tableau”) de sistema linear, onde as variáveis dependentes são escritas em termos das independentes. --o teste de otimalidade recai nesta caracterização e daí surge linha zero. -

13 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (tabular) Na forma de tabela (“tableau”) de sistema linear, onde as variáveis dependentes são escritas em termos das independentes. --o teste de otimalidade recai nesta caracterização e daí surge linha zero. -tableau original: z-c t x=0 -----------1 -c t [ 0 Ax=b ---------- 0 A [ b -

14 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (tabular) Na forma de tabela (“tableau”) de sistema linear, onde as variáveis dependentes são escritas em termos das independentes. --o teste de otimalidade recai nesta caracterização e daí surge linha zero. -tableau original: z-c t x=0 -----------1 -c t [ 0 Ax=b ---------- 0 A [ b -tableau da base B : z-Γ t x =c t v ---------1 -Γ t [c t v 0 B -1 A[ b’

15 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (tabular) -tableau da base B : z-Γ t x =c t v ---------1 -Γ t [c t v Ax =b 0 B -1 A [ b’ -

16 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (tabular) -tableau da base B : z-Γ t x =c t v ---------1 -Γ t [c t v Ax =b 0 B -1 A [ b’ - Na coluna associada a x j temos B -1 A j ; -Em particular na coluna associada à x ji temos e i ;

17 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (tabular) -tableau da base B : z-Γ t x =c t v ---------1 -Γ t [c t v Ax =b 0 B -1 A [ b’ - Na coluna associada a x j temos B -1 A j ; -Em particular na coluna associada à x ji temos e i ; -Para a linha zero, na coluna associada a x j temos -Γ j, sendo que para as básicas Γ j =0.

18 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (tabular) -tableau da base B : z-Γ t x =c t v ---------1 -Γ t [c t v Ax =b 0 B -1 A [ b’ - Na coluna associada a x j temos B -1 A j ; -Em particular na coluna associada à x ji temos e i ; -Para a linha zero, na coluna associada a x j temos -Γ j, sendo que para as básicas Γ j =0. -Pivotações.

19 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (revisado) Organização matricial; Não calcula Γ=c-A t B -1t c B = c- (B -1 A) t c B, mas sim Γ=c-A t (B -1t c B )=c-A t λ,com λ= (B -1 c B ) daí nome com multiplicadores

20 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (revisado) Organização matricial; Não calcula Γ=c-A t B -1t c B = c- (B -1 A) t c B, mas sim Γ=c-A t (B -1t c B )=c-A t λ,com λ= (B -1t c B ) daí nome com multiplicadores Operação fundamental é a atualização de inversa de base (B -1 )

21 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (revisado) Forma didática: atualizar só B -1 e b’;

22 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (revisado) Forma didática: atualizar só B -1 e b’; Forma completa: considerar linha zero;

23 COMO USAR DADOS DA ITERAÇÃO ANTERIOR (revisado) Forma didática: atualizar só B -1 e b’; Forma completa: considerar linha zero; Pivotações