Noções sobre Vetores Exemplo Produto escalar O produto escalar dos vetores de dimensão n: a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por: a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn = Exemplo Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1). . = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6

Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por: onde  é o ângulo formado por e .

Noções sobre Vetores Exemplo Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2). . = 2.(-1) + 4.2 = 6 Portanto, Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º.

Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores Se e então, cosseno Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si.

Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores Exemplo O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares . Exemplo Os vetores = (2,-4) e = (4,2) são ortogonais, já que:

Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores . => Mas, , logo Temos então que:

Noções sobre Vetores Comprimento ou norma de um vetor O comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x1,y1) é: x y x1 y1 Além disso, dado um escalar , pertencente a :

Noções sobre Vetores Versor ou Vetor unitário Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo, então o vetor: é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que .

Noções sobre Vetores Exemplo Seja x = (-3,4). Então: Logo, o vetor É um vetor unitário, pois:

Noções sobre Vetores Produto vetorial Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor. Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por:

Noções sobre Vetores Produto vetorial Exemplo: A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma: Exemplo: Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:

Noções sobre Vetores Produto vetorial O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo. Eles são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0  Por outro lado, î x j = k; j x k = î; k x î = j.  

Noções sobre Vetores Norma do produto vetorial Vimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor ortogonal ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do paralelogramo formado por esses vetores.   u v |u x v| = área do paralelogramo u x v