1 A formulação apresentada pode ser agora utilizada para se estudar a evolução temporal das funções de onda. No entanto, vamos utilizar este método não para estudarmos a evolução temporal das funções de onda, mas sim, para obtermos as autofunções e os autovalores do Hamiltoniano H. Normalmente, fazemos isto a partir da equação de Schrödinger independente do tempo, deixando para resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo apenas quando precisamos conhecer as transições temporais do sistema. Entretanto, podemos mostrar que, trocando-se t por –i , a equação de Schrödinger passa a ser a equação de difusão de calor, cuja parte espacial é a equação de Schrödinger independente do tempo. Neste caso, a função de onda irá evoluir para o estado fundamental.
2 Para verificarmos que a função de onda evolui para o estado fundamental quando a propagação é feita em tempo imaginário, considere um sistema com um Hamiltoniano independente do tempo, Assim, a função de onda pode ser expandida na base desse Hamiltoniano como Fazendo-se t = – i.
3 Em seguida, calculamos a norma da função As funções de onda obtidas a partir da propagação em tempo imaginário devem ser normalizadas a cada passo.
4 Tomando-se A função de onda convergiu para o autoestado de mais baixa energia Quando a propagação é feita no domínio de tempos imaginários, qualquer função de onda evolui para o estado fudamental de um sistema descrito por um Hamiltoniano H, independente do tempo. Os demais estados podem ser obtidos impondo-se a ortonormalidade das funções de onda. A cada evolução temporal utiliza-se o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. Relembrando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
5 Este procedimento deve ser repetido até que a convergência na energia seja alcançada. Lembre que, para que as aproximações sejam válidas o tempo deve ser pequeno, pois o erro O(dt 3 )