MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 1º Ano Logarítmo: propriedades

Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Um resumo da história Cálculos que aprendemos nos anos iniciais da escola não eram do conhecimento de todos alguns séculos atrás. Por exemplo, na Europa do século XVII as operações de multiplicar e dividir só eram ensinadas nas universidades e com técnicas bem diferentes das que utilizamos hoje. No entanto, as grandes navegações, que buscavam novas terras e mercados, exigiram cálculos mais precisos e rápidos.

O surgimento dos logaritmos Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades O surgimento dos logaritmos O aparecimento dos logaritmos ocorreu no começo do século XVII. A ideia básica era substituir operações mais complicadas, como multiplicação e divisão, por operações mais simples, como adição e subtração. Os principais inventores dos logaritmos foram o suíço Joost Biirgi (1552-1632) e o escocês John Napier (1550-1617), cujos trabalhos foram realizados isoladamente.

Propriedades gerais dos logaritmos Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Propriedades gerais dos logaritmos Os logaritmos considerados em uma base qualquer a, gozam de propriedades gerais: Em qualquer sistema de logaritmos, o logaritmo da própria base é igual a 1. loga a = 1 Exemplos: log2 2 = 1 log35 35 = 1

Propriedades gerais dos logaritmos Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Propriedades gerais dos logaritmos II) Em qualquer sistema de logaritmos, o logaritmo de 1 é zero. loga 1 = 0 Exemplos: log5 1 = 0 log13 1 = 0 log0,6 1 = 0

Propriedades gerais dos logaritmos Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Propriedades gerais dos logaritmos III) Se a > 1, os números maiores que 1 têm logaritmos positivos, já os números menores que 1 têm logaritmos negativos. Exemplos: log3 10  2,0959 log3 17  2,5789 log3 0,5   0,6309 log3 0,7   0,32466

Propriedades gerais dos logaritmos Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Propriedades gerais dos logaritmos V) Os números negativos não têm logaritmos reais. Exemplos: log5 ( 8) = Ǝ log3 ( 11) = Ǝ log0,8 ( 1) = Ǝ log0,2 ( 4) = Ǝ

Propriedades gerais dos logaritmos Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Propriedades gerais dos logaritmos IV) Quando a < 1, os números maiores que 1 têm logaritmos negativos, enquanto os números menores que 1 possuem logaritmos positivos. Exemplos: log0,5 2   1 log0,5 6   2,58496 log0,5 0,3  1,73697 log0,5 0,01  6,64386

Propriedades gerais dos logaritmos Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Propriedades gerais dos logaritmos VI) Quando a base a é maior do que 1 (a > 1), os logaritmos variam no mesmo sentido dos números. Se N1 > N2, teremos: loga N1 > loga N2 Se a é menor do que 1 (a < 1), os logaritmos variam no sentido contrário. Quando N1 < N2, teremos: Exemplos: log7 5 > log7 4 log0,6 5 < log0,6 4

Propriedades operatórias Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Propriedades operatórias Os logaritmos possuem propriedades que permitem simplificar o cálculo de expressões numéricas. O logaritmo de um produto de n fatores é igual à soma dos logaritmos dos fatores. loga (y1y2y3...yn) = loga y1 + loga y2 + loga y3 + ... + loga yn Exemplos: log2 (2 ∙ 5 ∙ 3) = log2 2 + log2 5 + log2 3 log0,4 (11 ∙ 9 ∙ 7) = log0,4 11 + log0,4 9 + log0,4 7

Propriedades operatórias Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Propriedades operatórias II) O logaritmo de um quociente é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor. loga (y2/y1) = loga y2 – loga y1 Exemplos: Log7 (13/5) = log7 13 – log7 5 Log0,1 (4/9) = log0,1 4 – log0,1 9

Propriedades operatórias Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Propriedades operatórias III) O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base da potência. loga yn = n ∙ loga y Exemplos: log8 34 = 4 ∙ log8 3 log0,9 73 = 3 ∙ log0,9 7

Propriedades operatórias Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Propriedades operatórias IV) O logaritmo de uma raiz é igual ao quociente do logaritmo do radicando pelo índice do radical. Exemplos:

Característica e mantissa Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Característica e mantissa Observando um sistema de logaritmos de base qualquer a, vemos que só as potências inteiras da base têm logaritmos inteiros: loga an = n Exemplos: log2 25 = 5 log7 70,3 = 0,3 log0,6 0,64 = 4

Característica e mantissa Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Característica e mantissa Qualquer número que não seja potência inteira da base terá seu logaritmo constando de uma parte inteira denominada característica do logaritmo mais uma parte fracionária ou decimal (menor que a unidade), chamada mantissa do logaritmo. loga N = característica + mantissa

Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Logaritmos decimais Quando a base do sistema é a = 10, temos y = 10x que define os logaritmos decimais ou logaritmos vulgares. Estes têm propriedades notáveis que os tornam de emprego obrigatório no cálculo numérico.

Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Logaritmos decimais O logaritmo de qualquer potência de 10 é o seu próprio expoente. Exemplos: log 103 = 3 log 107 = 7 log 10-4 =  4

Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Logaritmos decimais II) A característica do logaritmo de um número N > 1, é o inteiro que representa o número de algarismos da parte inteira do número dado, diminuído de uma unidade. Exemplos: log 20,8  1,318 2 algarismos – 1 = 1 log 1024,96  3,0107 4 algarismos – 1 = 3

Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Logaritmos decimais III) A característica do logaritmo decimal de um número positivo menor que 1 é negativa e coincide com o número de zeros que precedem seu primeiro algarismo significativo. Exemplos: log 0,8   0,09691 log 0,03   1,52288 log 0,005   2,30103

Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Logaritmos decimais IV) Quando dois números diferem pela multiplicação por uma potência de expoente inteiro de 10, seus logaritmos têm mantissas iguais. Exemplos: log 3  0,477 log 30 = log 3 ∙ 10  1,477 log 300 = log 3 ∙ 102  2,477

Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Mudança de base Existe uma propriedade dos logaritmos, denominada mudança de base, que permite o cálculo do logaritmo em qualquer base a partir dos logaritmos decimais. A mudança de base é dada pela fórmula:

Atividades resolvidas Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Atividades resolvidas 1) Calcule pela definição de logaritmo. log2 128 log8 16 log25 0,008 a) Fazendo log2 128 = x Por definição, teremos: 2x = 128 2x = 27 Logo: x = 7

x = 4 . b) Fazendo, também, log8 16 = x, teremos: 8x = 16 (23)x = 24 Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades b) Fazendo, também, log8 16 = x, teremos: 8x = 16 (23)x = 24 23x = 24 Assim: 3x = 4 Portanto: x = 4 . 3

c) Mais uma vez, fazendo log25 0,008 = x, teremos: 25x = 0,008 Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades c) Mais uma vez, fazendo log25 0,008 = x, teremos: 25x = 0,008 25x = 8 . 1000 25x = 1 . 125 (52)x = 5−3 52x = 5−3 Logo: 2x = − 3  x =  3 . 2

a) log 200 = log (2 ∙ 100) = log 2 + log 100 = log 2 + log 102 Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades 2) As propriedades operatórias são úteis, pois podem facilitar alguns cálculos. Sabendo que log 2 = 0,301, calcule: log 200 log 25 8 a) log 200 = log (2 ∙ 100) = log 2 + log 100 = log 2 + log 102 = 0,301 + 2 = 2,301 b) log 25 = log 100 = log 100 – log 32 = log 102 – log 25 8 32 = log 102 – 5 ∙ log 2 = 2 – 5 ∙ 0,301 = 2 – 1,505 = 0,495

Atividades Propostas 1) Responda às questões. Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades Atividades Propostas 1) Responda às questões. a) O logaritmo de 256 em certa base é 4. Qual é essa base? b) O logaritmo de 729 em certa base é 6. Qual é essa base? 2) Calcule. log2 256 log 0,0001

4) Dados log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule: log 12 log 125 Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades 3) Admitindo satisfeitas as condições de existência, obtenha loga y, usando as propriedades operatórias. a) y = m ∙ n p ∙ q b) y = 3m2(n + 1)2 . (m + 2)3(n – 1) 4) Dados log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule: log 12 log 125 log 3 600

LINKS https://www.youtube.com/watch?v=ctPKkc8hvVM Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades LINKS https://www.youtube.com/watch?v=ctPKkc8hvVM http://www.brasilescola.com/matematica/propriedades-operatorias-dos-logaritmos.htm http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/aulas/Ernesto19agosto-Logaritmo.pdf