Exercícios adicionais Matemática Financeira Finanças Corporativas Exercícios adicionais Matemática Financeira Prof. Marcelo Henriques de Castro

Você deseja se aposentar aos 60 anos, recebendo uma aposentadoria de R$ 5000 por mês, durante 25 anos (estimativa de vida). Considerando que você está com 30 anos e que o fundo de investimento garante uma taxa fixa de 2% ao mês, calcule o valor mensal dos depósitos. Este exercício demanda a solução em duas etapas. Primeiramente precisamos definir o fluxo de caixa referente ao benefício: Esperamos receber benefícios de R$ 5.000 durante 25 anos, a partir dos 60 anos (ou durante 300 meses). Se considerarmos que o primeiro benefício é recebido no mês seguinte ao do aniversário de 60 anos, teremos um fluxo de caixa que corresponderá a uma série uniforme, finita e postecipada. Desta forma, poderemos achar o valor Presente do fundo necessário ao pagamento da aposentadoria pela fórmula: 300 1 R$ 5.000,00 i = 2% ao mês Resolvendo pela HP 12C VP = PMT x (1+i)n - 1 (1+i)n x i VP = 5.000 x 1,02300 – 1 = 249.342,51 1,02300 x 0,02 Continua na próxima página

Prestação = 249.342,51 x [0,02 / (1,02360 -1)] / (1,02) = R$ 3,92 Uma vez identificado o valor do fundo que precisaremos ter aos 60 anos (R$ 249.342,51), podemos calcular o valor das prestações que teremos que depositar no banco, de hoje (30 anos) até a data prevista da aposentadoria. Como faremos depósitos mensais durante 30 anos poderemos efetuar 360 depósitos. Desta forma, se considerarmos que o primeiro depósito ocorrerá no ato, teremos uma série uniforme, finita, antecipada 360 Prestação ? i = 2% ao mês 359 Prestação = VF x i / (1+i) (1+i)n - 1 Prestação = 249.342,51 x [0,02 / (1,02360 -1)] / (1,02) = R$ 3,92 Resolvendo pela HP 12C

Prestação = VP x (1+i)n x i (1+i)n - 1 Sua empresa necessita de um financiamento de R$ 50000. O banco cobra uma taxa de 5% ao mês para um prazo de 10 meses. Calcule o valor das 10 prestações, vencendo a mesma 90 dias após a concessão do empréstimo. 1 2 3 12 R$ 50.000 Prestação = ? i = 5% ao mês Primeiramente precisaremos corrigir a dívida pelos meses onde não existirão pagamentos (carência) 1 2 3 12 R$ 50.000 VF = VP x (1+ i)n VP = 50.000 x (1,05)2 = 55.125 Assim, temos uma série de 10 prestações, uniforme, finita e postecipada 1 10 R$ 55.125 Prestação = ? i = 5% ao mês Prestação = VP x (1+i)n x i (1+i)n - 1 Prestação = 55.125 x [(1,0510 x 0,05) / (1,0510 -1)] = R$ 7.138,94

Determine a rentabilidade acumulada de um fundo de investimento que durante 5 meses apresentou os seguintes retornos: Mês 1 1,50% Mês 2 2,40% Mês 3 0,45% Mês 4 -1,10% Mês 5 3,20% A rentabilidade acumulada do fundo é apurada pela capitalização das taxas mensais: (1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) ... 1,015 x 1,024 x 1,0045 x 0,989 x 1,032 = 1,06559 ou 6,559%

Calcule a taxa de juros equivalente para 75 dias de 15% ao ano Neste caso temos uma taxa anual (360 dias) e queremos obter a taxa equivalente para o período de 75 dias. Para tanto aplicamos a fórmula abaixo: (1 + Taxaquero) = (1 + taxatenho)quero/tenho Onde: (1 + Taxa que temos) = 1,15 período que queremos = 75 dias período que temos = 360 dias (1 + taxaquero) = 1,15(75/360) = 1,02955 taxa para 75 dias = 2,955%

R$ 150,00 de entrada e 10 prestações de R$ 80,00 Uma empresa efetua venda de televisores com duas opções de financiamento: R$ 150,00 de entrada e 10 prestações de R$ 80,00 R$ 100,00 de entrada e 15 prestações de R$ 65,00 Sendo a taxa de juros de 2,5% ao mês, qual a alternativa mais atrativa? Explique Na 1a alternativa, podemos considerar que as prestações de R$ 80,00 formam uma série uniforme, finita e postecipada, cujo valor presente é dado por: VP = Prestação x (1 + i)n – 1 => VP = 80 x [(1,02510 -1) / (1,02510 x 0,025)] = 700,16 (1 + i)n x i Somando o valor presente desta série ao valor da entrada, temos o valor presente da primeira alternativa de financiamento oferecida pela empresa. VP1a. Alternativa = R$ 150,00 + R$ 700,16 = R$ 850,16 1 10 Prestações R$ 80,00 R$ 150,00 i = 2,5% ao mês Continua na próxima página

VP2a. Alternativa = R$ 100,00 + R$ 804,79 = R$ 904,79 Na 2a alternativa, podemos considerar que as prestações de R$ 65,00 formam uma série uniforme, finita e postecipada, cujo valor presente é dado por: VP = Prestação x (1 + i)n – 1 => VP = 65 x [(1,02515 -1) / (1,02515 x 0,025)] = 804,79 (1 + i)n x i Somando o valor presente desta série ao valor da entrada, temos o valor presente da segunda alternativa de financiamento oferecida pela empresa. VP2a. Alternativa = R$ 100,00 + R$ 804,79 = R$ 904,79 LOGO, a primeira alternativa representa a melhor opção de financiamento, por apresentar o menor valor presente para o comprador (opção mais barata). 1 15 Prestações R$ 65,00 R$ 100,00 i = 2,5% ao mês

Qual a inflação acumulada em um país com as seguintes taxas mensais: 1,01%, 0,55%, 2,1%, -1,2%, 0,41%, -0,56%, 0,04%, 1,3%, 0,75%, -0,2%, 0,34% Assim como utilizado para o cálculo da taxa de juros acumulada, a inflação acumulada em um período será dada pela capitalização das taxas mensais: (1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) ... 1,0101 x 1,0055 x 1,021 x 0,988 x 1,0041 x 0,994 x 1,0004 x 1,013 x 1,0075 x 0,998 x 1,0034 = 1,0459 A taxa acumulada no período é de 1,0459 ou 4,59%

VF = Prestação x (1 + i)n – 1 x (1 + i) i Qual o saldo ao final de 12 meses de um aplicador que efetue 10 depósitos mensais no valor de R$ 1500, sendo o 1º. Depósito no ato e a taxa de juros de 1% ao mês. Este exercício deverá ser resolvido em duas etapas: Primeiramente calculamos o saldo no 10o. mês, para o qual temos uma série uniforme, finita e antecipada, onde o saldo final será dado pela fórmula: Uma vez calculado o valor no mês 10, poderemos atualizar o valor pelos dois meses restantes, onde os recursos ficaram aplicados no banco, sem depósitos adicionais. 9 10 11 12 i = 1% ao mês Prestação R$ 1500,00 VF = Prestação x (1 + i)n – 1 x (1 + i) i VF = R$ 1.500,00 x [(1,0110 – 1) / 0,01] x (1,01) = 15.850,25 10 11 12 15.850,25 VF = VP x (1 + i)n VF = 15.850,25 x (1,01)2 = 16.168,84

Uma empresa tem uma dívida junto ao banco, com juros de 4,5% ao mês, com os seguintes vencimentos: 30 dias - R$ 5000 60 dias - R$ 10000 90 dias - R$ 8000 120 dias - R$ 8000 150 dias - R$ 8000 A empresa está renegociando a dívida, com o objetivo de transformar a mesma em um financiamento de 12 prestações iguais, vencendo a primeira em 60 dias. Se o banco deseja uma taxa de 5,2% para este refinanciamento, pede-se calcular o valor das novas prestações. Para a solução deste exercício precisaremos inicialmente calcular o valor presente da dívida atual da empresa. Para tanto, temos uma série não uniforme, o que impede a aplicação de fórmula direta. Neste caso será necessário apurar o valor presente (VP) de cada parcela da dívida: 0 30 60 90 120 150 5000 10000 8000 ? VP1 = 5.000 / 1,0451 = 4.784,69 VP2 = 10.000 / 1,0452 = 9.157,30 VP3 = 8.000 / 1,0453 = 7.010,37 VP4 = 8.000 / 1,0454 = 6.708,49 VP5 = 8.000 / 1,0455 = 6.419,61 34.080,46 Continua na próxima página

Uma vez apurado o valor presente da dívida deveremos calcular a atualização do saldo para um mês, uma vez que existirá uma carência de 60 dias. Esta atualização já levará em conta a nova taxa de juros (5,2% ao período): Por fim, poderemos calcular o valor das novas prestações no plano renegociado, considerando a nova taxa de juros de 5,2% por período. Neste cálculo estamos buscando o valor da prestação em uma série uniforme, finita e postecipada. Logo aplicaremos a seguinte fórmula: Prestação = VP x (1 + i)n x i (1 + i)n - 1 Prestação = 35.852,64 x [(1,05212 x 0,052)/(1,05212 – 1)] = R$ 4.090,84 ? 34.080,46 30 dias VF = VP x (1 + i)n VF = 34.080,46 x 1,0521 = 35.852,64 Solução pela HP 12C

Considerando uma taxa de desconto de 18% ao ano, qual a sua decisão? 9. Você é convidado a investir R$ 450 mil em um projeto que fornece o seguinte fluxo de caixa: Anos 1 a 10 => R$ 80.000 por ano Anos 11 a 15 => R$ 120.000 por ano Considerando uma taxa de desconto de 18% ao ano, qual a sua decisão? Para tomarmos esta decisão precisaremos comparar o valor presente dos fluxos de caixa com o montante do investimento. Caso o valor presente dos benefícios (entradas de caixa dos anos 1 a 10 e anos 11 a 15) seja superior ao valor do investimento, teremos um projeto com rentabilidade superior ao retorno mínimo exigido (18%), ou seja, um bom projeto para investir. Para cálculo do valor presente podemos dividir os fluxos em dois: O primeiro dos anos 0 a 10, o qual constitui uma série uniforme postecipada. O segundo dos anos 10 a 15, o qual também será uma série uniforme postecipada. Este fluxo, entretanto, deverá ser posteriormente levado ao valor presente do momento “zero”. 1 10 Fluxos R$ 80.000 i = 18% ao ano 10 11 15 Fluxos R$ 120.000 i = 18% ao ano Continua na próxima página

O valor presente do primeiro fluxo será: VP = Prestação x (1 + i)n – 1 => VP = 80.000,00 x [(1,1810 – 1)/(1,1810 x 0,18)] = 359.526,90 (1 + i)n x i O valor presente do segundo fluxo será: VP = Prestação x (1 + i)n – 1 => VP = 120.000,00 x [(1,185 – 1)/(1,185x 0,18)] = 375.260,52 O valor apurado corresponde ao valor do fluxo no ano 10. Assim, necessitamos levar o fluxo ao ano “zero”: VP = VF / (1 + i)n VP = 375.260,52 / (1,18)10 = 71.698,95 A soma do valor presente dos dois fluxos dará o valor presente total dos benefícios do projeto (entrada de caixa): VP = 359.526,90 + 71.698,95 = 431.225,85 O valor presente líquido será a diferença entre o valor dos benefícios gerados pelo projeto e o valor do investimento: VPL = 431.225,85 - 450.000,00 = - 18.774,15 Ou seja, o VPL é negativo, indicando que o investimento não fornece a remuneração mínima exigida de 18% ao ano, devendo, portanto, ser descartado.

O exercício 9 poderá ser resolvido diretamente pela HP 12C: Limpando as funções financeiras g CFo indica que -450.000 é o primeiro valor do fluxo de caixa, no momento “0” g CFj indica que 80.000 é uma entrada de caixa em momentos posteriores g Nj indica a quantidade de vezes que o valor de R$ 80.000 se repete no fluxo g CFj indica que 120.000 é uma entrada de caixa em momentos posteriores g Nj indica a quantidade de vezes que o valor de R$ 120.000 se repete no fluxo Indica a taxa de juros Fornece o valor presente líquido (VPL) do fluxo de caixa 1 10 11 15 R$ 450.000 R$ 80.000 R$ 120.000 i = 18% ao ano

Você planeja investir em uma nova fábrica o montante de R$ 5 milhões Você planeja investir em uma nova fábrica o montante de R$ 5 milhões. Dois Estados disputam o investimento, com a seguinte configuração financeira: Estado 1 Em milhões de reais Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7 Vendas 10,00 - Impostos (3,00) Custos (5,00) Caixa gerado 2,00 No Segundo Estado os custos operacionais de sua Fábrica serão superiores. Entretanto, o Estado oferece um diferimento do imposto pelo prazo de 2 anos. Estado 2 Em milhões de reais Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7 Vendas 10,00 - Impostos (3,00) Custos (5,50) Caixa gerado 4,50 1,50 Sendo a taxa de desconto de 20%, indique a melhor opção. Justifique a sua escolha.

O VALOR PRESENTE LÍQUIDO do investimento, caso você opte pelo 1o O VALOR PRESENTE LÍQUIDO do investimento, caso você opte pelo 1o. Estado será dado por: VPL = Pgto x (1 + i)n – 1 - Investimento (1 + i)n x i VPL = 2.000.000 x [(1,205 – 1)/(1,205 x 0,20)] – 5.000.000 = 981.224,28 O VALOR PRESENTE LÍQUIDO do investimento, caso você opte pelo 2o. Estado deverá ser calculado por cada valor do fluxo, uma vez que trata-se de uma série não-uniforme: Investimento = -5.000.000,00 VP1 = 4.500.000 /1,201 = 3.750.000,00 VP2 = 4.500.000/1,202 = 3.125.000,00 VP3 = 1.500.000/1,203 = 868,055,55 VP4 = 1.500.000/1,204 = 723.379,63 VP5 = 1.500.000/1,205 = 602.816,36 VP6 = 3.000.000/1,206 = -1.004.693,93 VP7 = 3.000.000/1,207 = - 837.244,94 2.227.312,67 Ou seja, embora tenha um custo operacional maior, o investimento é mais rentável no 2o. Estado (maior VPL), uma vez que o ganho com o diferimento no pagamento dos impostos mais do que compensa a perda operacional. NOTA: Esta é uma estratégia muito comum na guerra fiscal dos Estados para atrair novos investimentos.

Supondo uma aplicação financeira de R$ 10 Supondo uma aplicação financeira de R$ 10.000 pelo período de 100 dias, a uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, pede-se calcular o valor futuro. VF = VP x (1 + i)n VF = 10.000 x (1,015)(100/30) VF = 10.508,81 Como a taxa de juros fornecida no enunciado é para o período de 30 dias, faz-se necessário capitalizar a mesma para o período de 100 dias (veja no exercício 4 – equivalência de taxas).

4 trimestres => 12 meses, período para capitalização da taxa mensal Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000 por 4 trimestres, com uma taxa de juros composta de 2% ao mês? VF = VP x (1 + i)n VF = 12.000 x (1,02)12 VF = 15.218,90 Resolvendo pela HP 12C 4 trimestres => 12 meses, período para capitalização da taxa mensal

Capitalização semestral da taxa Você obtém um empréstimo de R$ 10.000 pelo prazo de 2 anos a uma taxa de juros de 12% a.a., capitalizada semestralmente. Calcule o montante devido no final do período. Proporcionalidade de taxas => 12% / 2 semestres ao ano = 6% ao semestre VF = VP x ( 1 + i )n VF = 10.000 x (1,06)4 VF = 12.624,76 Capitalização semestral da taxa

O banco lhe oferece um empréstimo a uma taxa anual composta de 15% ao ano. Calcule a taxa equivalente para os períodos abaixo: a. 180 dias b. 55 dias c. 398 dias Equivalência de taxas: (1 + taxaquero) = (1 + taxatenho)(no.dias quero / no. dias tenho) a. (1 + Tq) = 1,15(180/360) = 1,07238 Tq = 1,07238 – 1 = 0,07238 ou 7,238% b. (1 + Tq) = 1,15(55/360) = 1,02158 Tq = 1,02158 – 1 = 0,02158 ou 2,158% c. (1 + Tq) = 1,15(398/360) = 1,16709 Tq = 1,16709 – 1 = 0,16709 ou 16,709%

Você precisa efetuar um pagamento de R$ 20. 000 no final de 5 meses Você precisa efetuar um pagamento de R$ 20.000 no final de 5 meses. Sabendo que a taxa de juros composta é de 1,5% ao mês, qual o montante necessário de investimento no momento “zero” para garantir a liquidação de sua obrigação. VP = VF / (1 + i)n VP = 20.000 / 1,0155 VP = 18.565,20 Cálculo do valor presente de um capital descontado pela taxa de juros (desconto racional ou desconto “por dentro”)

Você tem uma dívida de R$ 50. 000 vencendo dentro de 3 meses Você tem uma dívida de R$ 50.000 vencendo dentro de 3 meses. Você gostaria de liquidar de forma antecipada esse compromisso. Sabendo que a taxa composta de juros é de 2% ao mês, qual o valor que liquidaria o débito hoje? VP = VF / (1 + i)n VP = 50.000 / (1,02)3 VP = 47.116,12 Cálculo do valor presente de um capital descontado pela taxa de juros (desconto racional ou desconto “por dentro”)

temos uma série finita, uniforme e postecipada. Você levanta um financiamento no valor de R$ 18.000 para pagamento em 18 prestações mensais e sucessivas, vencendo a 1a prestação 30 dias após a contratação do empréstimo. Sendo a taxa de juro de 2% ao mês, pede-se apurar o valor das prestações. temos uma série finita, uniforme e postecipada. Pgto = VP x [(1 + i)n x i] / [(1 + i)n – 1] Pgto = 18.000 x [(1,02)18 x 0,02] / [(1,02)18 – 1] Pgto = 1.200,64 Resolvendo pela HP 12C Qual seria o valor da prestação no exercício acima, caso a primeira prestação vencesse no ato da contratação do empréstimo? Neste caso a série passaria a ser antecipada Pgto = VP x {[(1 + i)n x i] / [(1 + i)n – 1]} / (1 + i) Pgto = 18.000 x {[(1,02)18 x 0,02] / [(1,02)18 – 1]} / (1,02) Pgto = 1.177,10 Resolvendo pela HP 12C

Você aplicou R$ 25. 000 a uma taxa de juros composta de 1,5% ao mês Você aplicou R$ 25.000 a uma taxa de juros composta de 1,5% ao mês. Se você precisar sacar R$ 10.000 dentro de 6 meses, qual será o montante disponível para saque no final de 1 ano? Este exercício deve ser resolvido em duas etapas: Primeiramente precisaremos atualizar o saldo até o mês 6, efetuando o desconto do valor sacado. Então, deveremos efetuar a atualização dos 6 meses seguintes. ? 10.000 25.000 VF = VP x (1 + i)n VF6 = 25.000 x (1,015)6 VF6 = 27.336,08 – 10.000 = 17.336,08 VF12 = 17.336,08 x (1,015)6 VF12 = 18.956,02

Você adquire um imóvel em construção pelo valor total de R$ 120. 000 Você adquire um imóvel em construção pelo valor total de R$ 120.000. De entrada você paga R$ 25.000. Paga ainda 3 intermediárias, sendo a 1a. de R$ 5.000 no final do 6o mês, a 2a de R$ 10.000 no final do 12o mês e a última de R$ 15.000 no final do 18o mês. As chaves serão entregues no final do 24o mês, mediante o pagamento de uma parcela de R$ 20.000.Sendo a taxa de juros de 2% ao mês, qual o saldo residual do imóvel? ? 25.000 120.000 5.000 10.000 15.000 20.000 Valor líquido do financiamento: 120.000 – 25.000 = 95.000 VF = VP x (1 + i)n VF6 = 95.000 x (1,02)6 – 5.000 VF6 = 101.985,43 VF12 = 101.985,43 x (1,02)6 – 10.000 VF12 = 104.852,15 VF18 = 104.852,15 x (1,02)6 – 15.000 VF18 = 103.080,56 VF24 = 103.080,56 x (1,02)6 – 20.000 VF24 = 96.085,45 i = 2% a.m.

Você tem uma duplicata a receber com prazo de 120 dias e valor total de R$ 25.000. Seu banco efetua empréstimos de capital de giro ao custo de 5% ao mês. Alternativamente, o banco lhe oferece um desconto da duplicata pelo valor de R$ 20.000. Qual a melhor alternativa de financiamento (a mais barata). Custo da alternativa “empréstimo de capital de giro” (1 + i)n => 1,054 = 1,2155 ou 21,55% para todo o período Custo da alternativa “desconto de duplicata” VF = VP x (1 + i)n (1 + i)n = VF / VP (1 + i)n = 25.000 / 20.000 (1 + i)n = 1,25 como o “n” é igual a 1 (ou seja a taxa para todo o período): i = 0,25 ou 25% Logo, a melhor alternativa é tomar o empréstimo de capital de giro, o qual apresenta o menor custo para a empresa

Você toma um empréstimo no valor de R$ 20 Você toma um empréstimo no valor de R$ 20.000, pagando juros de 4% ao mês. Se você fizer uma amortização no valor de R$ 10.000 no final do 4o mês, qual será o saldo devedor no final do 6o. mês? 4 6 20.000 10.000 ? i = 4% a.m. VF = VP x (1 + i)n VF4 = 20.000 x (1,04)4 VF4 = 23.397,17 – 10.000 = 13.397,17 VF6 = 13.397,17 x (1,04)2 VF6 = 14.490,38

Um banco cobra uma taxa de desconto comercial de 2,5% ao mês para desconto de duplicatas. Qual a taxa efetiva da operação (ao mês). Neste caso podemos trabalhar com uma base 100: Supondo o valor da duplicata de R$ 100,00, teríamos um desconto de R$ 2,50 para o prazo de um mês, resultando em um valor líquido de R$ 97,50: fórmula do desconto comercial => VP = VF x (1 – d)n VP = 100 x (1 – 0,025) VP = 97,50 Assim, a taxa efetiva da operação poderia ser calculada fórmula de equivalência de capitais => VF = VP x (1 + i)n 100 = 97,50 (1 + i)n como o “n” é igual a 1 (1 mês) (1 + i) = 100 / 97,50 i = 1,0256 ou 2,56% ao mês

Você vai a uma loja das Casas Bahia disposto a adquirir um televisor novo. Ao chegar lá verifica que a marca desejada pode ser comprada por 25 prestações de R$ 85,00. O preço lhe parece um tanto alto, uma vez que a mesma televisão pode ser adquirida no Ponto Frio por R$ 1.450,00, à vista. Qual o custo mensal (taxa de juros) que está sendo cobrada pelas Casas Bahia nesta operação? Utilizando o valor do Ponto Frio como “valor presente” podemos elaborar o fluxo de caixa: 1 25 i = ? 1.450,00 85,00 A solução desta equação requer a utilização de máquina ou planilha financeira, pois a alternativa manual implicará em resolver um polinômio de 25o grau, demandando a solução por aproximação. Resolvendo pela HP 12C A Resposta será => i = 3,1854% ao mês

Você efetua um projeto de investimento com o seguinte fluxo de caixa: Considerando que a taxa mínima de retorno esperado é de 15% a.a., pede-se apurar o valor presente do fluxo. Como temos uma série não uniforme, a solução demanda que cada termo do fluxo de caixa seja trazido a valor presente, sendo inviável a utilização das fórmulas para cálculo do valor presente de séries: Equivalência de capital VP = VF / (1 + i)n VP = -100 / 1,150 = -100,00 VP = -50 / 1,151 = - 43,47 VP = 50 / 1,152 = 37,81 VP = 100 / 1,153 = 65,75 VP = 150 / 1,154 = 85,76 VP = 150 / 1,155 = 74,58 VP = -100 / 1,156 = - 43,23 VP = 50 / 1,157 = 18,80 VP = 100 / 1,158 = 32,69 VP = 150 / 1,159 = 42,64 171,33 Resolvendo pela HP 12C