Limites Armando Paulo da Silva

Tangente vem do latim “tangens”, que significa tocando. Assim uma tangente é uma reta que toca a curva. COMO TORNAR PRECISA A IDÉIA DE TANGENTE? Para um círculo, poderíamos simplesmente, como Euclides, dizer que a tangente é uma reta que intercepta o círculo uma única vez. Reta tangente Prof. Armando Paulo da Silva

Reta tangente Prof. Armando Paulo da Silva

No caso geral não parece ser verdade como podemos ver no exemplo abaixo:No caso geral não parece ser verdade como podemos ver no exemplo abaixo: Reta tangente Prof. Armando Paulo da Silva

Graficamente o limite quando em Graficamente o limite quando em Prof. Armando Paulo da Silva

Interpretação de limite Prof. Armando Paulo da Silva

Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos quanto queiramos de L, desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a mas não iguais a a), então escrevemos, que deve ser lidoSe os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos quanto queiramos de L, desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a mas não iguais a a), então escrevemos, que deve ser lido como “o limite de f(x) quando x tende a a é L”. Exemplo: Tomemos a função.Exemplo: Tomemos a função. Definição: Prof. Armando Paulo da Silva

xf(x) 2,55,5 2,85,8 2,95,9 2,995,99 2,9995,999 2,99995, Comportamento da função f(x) quando x se aproxima de 3 xf(x) 3,46,4 3,26,2 3,16,1 3,016,01 3,0016,001 3,00016, Prof. Armando Paulo da Silva

Note que: - quanto mais x se aproxima de 3 por valores menores do que 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. - quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Logo, Matematicamente, afirma-se: Note que: - quanto mais x se aproxima de 3 por valores menores do que 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. - quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Logo, Matematicamente, afirma-se: Prof. Armando Paulo da Silva

Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas maiores do que a), então escrevemosSe os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas maiores do que a), então escrevemos Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas menores do que a), então escrevemosSe os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas menores do que a), então escrevemos Definição de limites laterais Prof. Armando Paulo da Silva

Relação entre limites laterais e bilaterais O limite bilateral de uma função f ( x ) existe em um ponto a se, e somente se, existirem os limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor, isto é: se, e somente se, Relação entre limites laterais e bilaterais O limite bilateral de uma função f ( x ) existe em um ponto a se, e somente se, existirem os limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor, isto é: se, e somente se, Prof. Armando Paulo da Silva

Definição formal de limites Seja f ( x ) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f ( x ) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos: Definição formal de limites Seja f ( x ) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f ( x ) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos: se para todo  > 0, existe um  > 0, tal que sempre que Prof. Armando Paulo da Silva

Definição formal de limite Prof. Armando Paulo da Silva

Definição de limite Prof. Armando Paulo da Silva

Dando a definição formal de uma maneira que não contenha o símbolo de valor absoluto: i) equivale a ii) equivale a Prof. Armando Paulo da Silva

Reformulando a definição de limites, teremos: Significa que, existe um tal que x está no intervalo aberto então f(x) está no intervalo aberto Prof. Armando Paulo da Silva

Usando a definição de limite, prove queUsando a definição de limite, prove que Exemplo 1: Prof. Armando Paulo da Silva

Determine um para o dado, tal que Sabendo que Prof. Armando Paulo da Silva

Usando a definição de limite, prove queUsando a definição de limite, prove que Exemplo 2: Prof. Armando Paulo da Silva

Determine um para o dado, tal que Sabendo que Prof. Armando Paulo da Silva

P 1. Sejam a e c números reais quaisquer,P 1. Sejam a e c números reais quaisquer, então, isto é, o limite de uma constante é a própria constante. constante é a própria constante. P 2. Se a, b, m são números reais, entãoP 2. Se a, b, m são números reais, então Exemplo: PROPRIEDADES Prof. Armando Paulo da Silva

PROPRIEDADES

Exemplo: Determine o seguinte limite: Prof. Armando Paulo da Silva

Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao adotar tal procedimento nos deparamos com resultados do tipo Limites indeterminados Prof. Armando Paulo da Silva

Calcular os limites abaixo: Prof. Armando Paulo da Silva