1 Álgebra Linear Determinante e Matriz Inversa Prof. Paulo Salgado

Sumário Determinantes 2

3 Conceitos Preliminares Considere o sistema ax = b, a  0. A solução para este sistema é x = b/a Observe que o denominador está associado à matriz dos coeficientes do sistema Em um sistema 2x2 teríamos: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 x 1 = b 1 a 22 – b 2 a 12 a 11 a 22 – a 12 a 21 x 2 = b 2 a 11 – b 1 a 21 a 11 a 22 – a 12 a 21 Denominadores iguais

4 Determinante Quando nos referimos ao determinante, isto é, ao número associado a uma matriz quadrada A = [a ij ], escreveremos  det Aou|A|oudet[a ij ] Então:  det[a] = a  det = = a 11 a 22 – a 12 a 21  det[A 3x3 ] = =.... a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22 a11 a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33

5 Determinante 3x3

6

7 a11.a22.a33 + a21.a32.a13 + a31.a12.a23 – (a13.a22.a31 + a23.a32.a11 + a33.a12.a21)

8 Determinante Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n, existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor do que ele. Exemplo: 1, 2, 3 Permutação no. de inversões inversões (1 2 3)0 - (1 3 2)1(3 e 2) (2 1 3)1(2 e 1) (2 3 1)2(2 e 1) e (3 e 1) (3 1 2)2(3 e 1) e (3 e 2) (3 2 1)3(3 e 2), (3 e 1) e (2 e 1)

9 Determinante Exemplo: 1, 2, 3, 4 Permutação no. de inversões inversões ( )3(3 e 2), (3 e 1) e (2 e 1) ( )6(4 e 3), (4 e 2), (4 e 1) (3 e 2), (3 e 1) e (2 e 1)

10 Determinante Considere o determinante de: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 Observe que: 1) temos, no resultado, cada parcela da forma a 1i a 2j a 3k, onde i, j, k são todas as permutações de 1, 2, 3: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) 2) o sinal é negativo quando a permutação tem um número ímpar de inversões. det

11 Determinante Definição: det[a ij ] = Σ  (-1) J a 1j 1 a 2j 2...a nj n, onde J = J(j 1,..., j n ) é o número de inversões da permutação (j 1,j 2...,j n ) e  indica que a soma é estendida a toda as n! permutações de ( n) OBS:  Se J é par, (-1) J = 1; se J é ímpar (-1) J = -1  Em cada termo do somatório, existe um e apenas um elemento de cada linha, e um e apenas um elemento de cada coluna da matriz

12 Determinante

Determinante 13

Determinante 14

Determinante 15

16 Determinante

17 Determinante

18 Determinante

19 Determinante a 11 …. a 1n … b i1 +c i1 …. b in + c in… a n1 ….a mn det = det + det a a 1n … b i1 ….b in… a n1 ….a mn a a 1n … c i1 ….c in… a n1 ….a mn

20 Determinante

21 Determinante Desenvolvimento de Laplace Vimos que: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 det = a 11 (a 22 a 33 – a 23 a 32 ) – a 12 (a 21 a 33 - a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 –a 22 a 31 ) = a 11.det - a 12.det + a 13.det Observe o padrão do determinante… a 22 a 23 a 32 a 33 a 21 a 23 a 31 a 33 a 21 a 22 a 31 a 32

22 Determinante Desenvolvimento de Laplace = a 11.det - a 12.det + a 13.det a 22 a 23 a 32 a 33 a 21 a 23 a 31 a 33 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

23 Determinante Desenvolvimento de Laplace Assim, det A = a 11  11 + a 12  12 + a 13  13 Onde   ij = (-1) i+j |A ij | = cofator  e A ij é a submatriz da matriz inicial, retiradas a i- ésima linha e j-ésima coluna Para matrizes de ordem n:  det A nxn = Σ j=1 n a ij  ij

24 Determinante Desenvolvimento de Laplace |A| = = -2.   22 + (-1) 

25 Determinante Desenvolvimento de Laplace O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n-1

26 Determinante Desenvolvimento de Laplace

27 Determinante Desenvolvimento de Laplace = e L3 + L2

Hoje vimos... Determinantes 28

29 Álgebra Linear Determinante e Matriz Inversa Prof. Paulo Salgado

Sumário Matriz Adjunta Matriz Inversa 30

31 Matriz Adjunta Dados todos os possíveis cofatores de A (  ij ), podemos montar uma matriz cujos elementos são esses cofatores (A) =  ij  Lembrando que  ij = (-1) i+j |A ij | A matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores de A  adj A = ( A )’ Teorema: A.A’ = A.(adj A) = (det A).I n Matriz identidade de ordem n Adjunta de A

Matriz Adjunta 32

33 Matriz Inversa Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz B tal que A.B = B.A = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n  Escrevemos A -1 para indicar a inversa de A

34 Matriz Inversa Exemplo: Se A =, encontre a inversa de A  Ou seja, queremos encontrar  tal que A.A -1 = A -1.A = I abcdabcd A -1 =

35 Matriz Inversa abcdabcd = Temos assim: 6a + 2c = 1 6b + 2d = 0 11a + 4c = 0 11b + 4d = 1 Resolvendo o sistema encontramos: a = 2 b = -1 c = -11/2 d = 3

36 Matriz Inversa Observações:  Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem e inversíveis, então AB é inversível e (AB) -1 = B -1.A -1  (AB)(B -1 A -1 ) = A(BB -1 )A -1 = AIA -1 = AA -1 = I  E para (B -1 A -1 )(AB) = I?  (B -1 A -1 )(AB) = B -1 (A -1 A)B = B -1 IB = B -1 B = I  Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal que BA = I, então A é inversível e B = A -1  Nem toda matriz tem inversa, mas quando tem?

37 Matriz Inversa Teorema: Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, det A  0  A -1 = (1/det A).(adj A) Exemplo:

38 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo (A : I)  (I : A -1 ) A =

39 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo

40 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo (cont.) L 2 = -2.L 1 + L 2 L 3 = L 3 L 4 = L 1 + L 4

41 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo (cont.) L 1 = L 1 L 3 = -1.L 2 + L 3 L 4 = L 4

42 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo (cont.) L 3 = -1.L 3 L 1 = L 3 + L 1 L 4 = L 3 + L 4 L 2 = -2.L 3 + L 2

43 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo (cont.) L 4 = L 4 L 1 = 2.L 4 + L 1 L 3 = 3.L 4 + L 3 L 2 = -4.L 4 + L 2

44 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo (cont.)

45 Exercícios Sugeridos 4 6 8a 9a 12

Exercício 8a. Calcule o det A, onde A =

47 A Seguir... O Espaço… Vetorial