ESCOLHA A AULA TEMA FÓRMULAS: Prof. Marcio Sandron

Geometria Métrica Espacial “O máximo com o mínimo” 20 cm 1 000 cm3 = 1 L 20 cm 25 cm 4 cm 5 cm 10 cm 25,32 cm (10x5 + 10x5 + 5x20 + 5x20 + 10x20 + 10 x 20) (2x (4x25) + 20x4 + 20x25 + 20x25,32) 2 Área total 700 cm2 Área total 1 186,40 cm2 Volume = 10x5x20 = 1 000 cm3 Volume = 20x4x25 = 1 000 cm3 2 Logo, a primeira caixa é a mais utilizada, pois oferece o mesmo volume com menor custo Prof. Marcio Sandron

Elementos do Poliedro aresta diagonal vértice Na figura dada, temos B D C diagonal E F vértice H G Na figura dada, temos → 6 faces → 12 arestas → 8 vértices → 4 diagonais Prof. Marcio Sandron

Nomenclatura dos Poliedro 4 faces → tetraedro 5 faces → pentaedro 6 faces → hexaedro . . 10 faces → decaedro . . 12 faces → dodecaedro 20 faces → icosaedro Um poliedro convexo é regular se suas faces são polígonos regulares com o mesmo número De lados e em cada vértice converge o mesmo número de arestas. Existem apenas cinco tipos de poliedros regulares: Tetraedro, Octaedro, Icosaedro, Hexaedro e Dodecaedro Prof. Marcio Sandron

Relação de EULER V + F = A + 2 Exemplo: Um poliedro possui 4 faces triangulares e 3 faces hexagonais. Determine o número de arestas e de vértices desse poliedro. Número de faces: 4 + 3 = 7 → F = 7 Número de arestas: 4 faces triangulares → 4 x 3 = 12 arestas 3 faces hexagonais → 3 x 6 = 18 arestas total 30 arestas Como uma aresta é comum a duas faces, então ela foi contada duas vezes. Logo, 2A = 30 → A = 15 Número de vértices: V + F = A + 2 V + 7 = 15 + 2 V = 17 – 7 V = 10 Resp: O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices Prof. Marcio Sandron

Exercícios Propostos: Determine o número de vértices de um poliedro convexo possui 5 faces e 12 arestas. Quantas faces possui um poliedro convexo de 10 vértices e 14 arestas? Determine o número de arestas de um poliedro convexo de 8 vértices e 8 faces. Determine o número de faces de um poliedro convexo, sabendo-se que o número de arestas excede o número de vértice em 6 unidades. 5) Um poliedro convexo possui 6 faces triangulares e 3 faces quadrangulares. Determine o número de arestas e de vértices desse poliedro. 6) Um poliedro convexo possui 5 faces triangulares, 4 faces quadrangulares e 3 faces pentagonais. Quantos vértices possui esse poliedro? 9 vértices 6 faces 14 arestas 8 faces 15 arestas e 8 vértices menu 13 vértices Prof. Marcio Sandron

Prisma r h F Seja a figura abaixo, onde: → 𝛼 e 𝛽 são dois planos paralelos; → P é um polígono contido em 𝛼 ; → r é uma reta que fura 𝛼 no ponto F. r D’ E’ C’ A’ 𝛽 B’ h D E F P C A 𝛼 B ABCDE e A’B’C’D’E’ são as bases. AB, BC, CD, DE, EA, A’B’, B’C’, D’E’, E’A’ das bases são arestas das base. AA’, BB’, BB’CC’, CC’DD’, DD’EE’, EE’AA’ são as faces laterais AA’, BB’, CC’, DD’, EE’, paralelos a r, são as arestas laterais A distância entre 𝛼 e 𝛽 , planos das bases, é a altura (h) Prof. Marcio Sandron

Nomenclatura dos prismas Em função do número de arestas das bases, um prisma recebe os seguintes nome: Triangular: quando as bases são triângulos. Quadrangular: quando as bases são quadriláteros. Pentagonal: quando as bases são pentágonos. Hexagonal: quando as bases são hexágonos, e assim por diante. Prisma reto e prisma oblíquo Obs: se um prisma é reto, as faces laterais são retângulos Prof. Marcio Sandron

Prisma regular Prisma pentagonal regular Prisma triangular regular Se um prisma é regular, as arestas são perpendiculares aos planos das bases, e as bases São polígonos regulares, consequentemente, as faces laterais são retângulos congruentes Entre si. Prof. Marcio Sandron

Paralelepípedo Paralelepípedo são prismas que têm paralelogramo como base. Paralelepípedo retângulo (as seis faces são retângulos) Hexaedro regular ou cubo (as seis faces são quadrados Prof. Marcio Sandron

Exemplo Um prisma quadrangular regular tem 7 cm de aresta lateral e 5 cm de aresta da base. Calcular Área da base Área lateral Área total volume 7 5 5 5 5 20 b) AL= 7x20 = 140 AL = 140 cm2 7 c) AT = 2xAb+AL) AT = 2x25+140 AT = 190 cm2 5 Ab 5 a a) Ab = a2 Ab = 52 Ab = 25 cm2 a2 7 5 5 5 5 a A = a2 Ab 5 d) V = Abxh V = 25x7 = 175 cm3 Prof. Marcio Sandron 5

2) Um prisma triangular apresenta 9 cm de aresta lateral e 4 cm de aresta da base. Determinar: Área da base Área lateral Área total volume b) AL = 9x12 AL = 108 cm2 9 9 4 4 4 c) AT = 2xAb + AL AT = 2.4 3 +108 AT = 8. 3 +108 𝑐 𝑚 2 9 Ab 4 4 4 Ab = 𝑙 2 . 3 4 Ab = 4 2 . 3 4 Ab = 4. 3 𝑐 𝑚 2 9 9 4 4 4 4 4 d) V = Ab x h V = 4. 3 .9 V = 36. 3 𝑐 𝑚 3 Ab 4 Prof. Marcio Sandron

Exercícios Propostos: Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso: Prisma quadrangular regular de aresta lateral 8 cm e aresta da base 4 cm Prisma triangular regular de aresta lateral 2 cm e aresta da base 4 cm Prisma hexagonal regular de aresta lateral 6 cm e aresta da base 3 cm 2) Um prisma quadrangular regular tem 9 cm de aresta lateral e 36 cm2 de área da Base. Determine: Aresta da base Área lateral Área total Volume 3) Um prisma triangular regular tem 20 3 𝑐 𝑚 3 de volume e 5 cm de aresta lateral. Calcule a aresta da base. 4) Um prisma hexagonal regular tem 6 3 𝑐 𝑚 3 de volume e 6 cm de aresta lateral.

Paralelepípedo retângulo V = 𝑎.𝑏.𝑐 d d = 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 b c a Cubo d1= 𝑎 2 d = 𝑎 3 a d At = 6 𝑎 2 d1 a V = 𝑎 3 a Prof. Marcio Sandron

Exemplo 1) Num paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm, calcule: A diagonal A área total O volume d 3 cm 4 cm 5 cm a) D = 5 2 + 4 2 + 3 2 D = 50 D = 5 2 cm b) At = 2 5.4+4.3+5.3 At = 94 𝑐𝑚 2 c) V = 5.4.3 V = 60 𝑐𝑚 3 2) Se a área total de um cubo é 24 cm2, calcule: A aresta O volume At = 6 𝑎 2 24=6 𝑎 2 𝑎 2 =4 𝑎=2 𝑐𝑚 b) V = 𝑎 3 V = 2 3 V = 8 𝑐𝑚 3 Prof. Marcio Sandron

Exercícios Propostos: 1) Calcule a diagonal, a área total e o volume de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 8 cm, 6 cm e 4 cm. 2) A base de um paralelepípedo reto-retângulo é um quadrado de área 36 cm2. Calcule a diagonal, a área total e o volume desse paralelepípedo sabendo-se que sua altura é igual a 4 cm. 3) A base de um paralelepípedo reto-retângulo é um quadrado. Calcule o volume desse paralelepípedo sabendo-se que sua altura é igual a 3 cm e sua área total é igual a 80 cm2. 4) Calcule a diagonal, a área total e o volume de um cubo de aresta igual a 5 cm. 5) Calcule a aresta e o volume de um cubo cuja área total é igual a 96 cm2. cm menu Prof. Marcio Sandron

Pirâmide V h D E C A B α O ponto V é o vértice. O polígono ABCDE é a base. Os lados AB, BC, CD, DE e EA da base são as arestas da base. A distância entre o vértice e o plano da base é a altura (h). Prof. Marcio Sandron

Pirâmide regular Área total Volume V C B R M D A VR = h (altura) VM apótema da pirâmide RM apótema da base Note que o apótema VM da pirâmide é a altura do triângulo isósceles AVB Área total Volume Apótema de um quadrado é 𝑙 2 Apótema de um hexágono 𝑙 3 2 Apótema de um triângulo equilátero 𝑙 3 6 V = AB. h 3 AT = AL + AB Prof. Marcio Sandron

Exemplo Uma pirâmide quadrangular regular de altura h = 4 m tem uma aresta da base medindo 6 m. Calcule: O seu volume; O seu apótema; A sua área total. V 4 R 3 M 6 a) AB = 62=36 m2 b) VM2 = 42 + 32 c) AL = 4 . b . h 2 AT = AB + AL AT = 36 + 60 AT = 96 m2 h = 4 m VM2 = 16 + 9 = 25 AL = 4 . 6 . 5 = 60 m2 2 V = AB.h = 36 . 4 = 48 m3 3 3 VM = 5 m Prof. Marcio Sandron

Exercícios propostos Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 16 cm. Calcule a área total e o volume dessa pirâmide sabendo-se que ela tem uma altura de 6 cm. 2) O apótema da base e o apótema de uma pirâmide quadrangular regular medem, Respectivamente, 5 cm e 13 cm. Calcule a área total e o volume dessa pirâmide. 3) Calcule o volume de uma pirâmide triângular regular que tem uma aresta da base Igual a 6 cm e altura 8 cm. 4) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 4 3 cm. Calcule a área Total e o volume dessa pirâmide sabendo-se que ela tem uma altura de 8 cm. 5) O apótema e a aresta da base de uma pirâmide triangular regular medem, Respectivamente, 10 cm e 12 3 cm. Calcule a área total e o volume dessa pirâmide. AT = 576 cm2 e V=512 cm3 AT = 360 cm2 e V=400 cm3 V=24 𝟑 cm3 AT = 192 𝟑 cm2 e V=192 𝟑 cm3 AT = 288 𝟑 cm2 e V=288 𝟑 cm3 menu Prof. Marcio Sandron

ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM CILINDRO BASE H (ALTURA) BASE Prof. Marcio Sandron

SUPERFÍCIE LATERAL DO CILINDRO H (altura) C = 2.π.R A LATERAL = 2.π.R.H Prof. Marcio Sandron

SUPERFÍCIE TOTAL DO CILINDRO A BASE = π.R2 A LATERAL = 2.π.R.H A = A BASES + A LATERAL A BASE = π.R2 Prof. Marcio Sandron

A BASE = π.R2 A LATERAL = 2.π.R.H A BASE = 2.π.R2 A LATERAL = 2.π.3.13 13 cm A BASE = 2.π.32 A LATERAL = 78.π A BASE = 18.π 6 cm A = A BASES + A LATERAL A = 18.π + 78.π A = 96.π = 301,44 cm2 Prof. Marcio Sandron

A MAIORIA DOS ÓLEOS DE COZINHA TEM EMBALAGENS COM FORMA DE UM CILINDRO. QUANTOS CM2 DE LATA TEM A EMBALAGEM INDICADA NA FIGURA? 5 cm Óleo de soja 18 cm 230 π ou 722,2 cm2 2) NUM CILINDRO RETO, O RAIO DA BASE MEDE 4 CM E A ALTURA, 10 CM. CALCULAR: ÁREA DA BASE ÁREA LATERAL ÁREA TOTAL 16 π cm2 80 π cm2 112 π cm2 Prof. Marcio Sandron

VOLUME DO CILINDRO ml = mililitros V = ABASE . H V = π.R2.H H (CAMADAS) 1 cm3 = 1 ml ml = mililitros Prof. Marcio Sandron

V = ABASE . H H = 9 cm V = π.R2.H V = 3,14 . 3,52 . 9 R = 3,5 cm V = 346,2 cm3 1 cm3 = 1 ml V = 346,2 ml Prof. Marcio Sandron

Para construir uma piscina, foi cavado um buraco cilíndrico de 4 m de Diâmetro por 2,5 m de profundidade. Vamos calcular o volume de Terra retirado do buraco. V = π.R2.H D = 2.R V = 3,14 . 22. 2,5 4 = 2.R V = 3,14 . 22. 2,5 R = 2 V = 31,4 m3 de terra Prof. Marcio Sandron

1)Qual é a quantidade de água necessária para encher completamente o reservatório cujas medidas interiores estão indicadas na figura? 2)Paulo poderá guardar meio litro de leite num recipiente cilíndrico com 4 cm de raio e 10 cm de altura? Apresente os cálculos 3) Num cilindro reto, o raio da base mede 4 cm e a altura, 10 cm, calcular: a) área da base b) área lateral c) área total d) volume 3,5 m 10,99 m3 2 m 4 cm 10 cm Sim, porque V= 0,5024 L > 0,5 L Leite 16 π cm2 80 π cm2 112 π cm2 160 π cm3 Prof. Marcio Sandron

465 CM2 2 M 80 CM 2 512 L menu 1 884 L RESPOSTA PESSOAL 4) (SARESP-SP) CORTANDO-SE UM CILINDRO NA LINHA PONTILHADA DA FIGURA, OBTÉM-SE SUA PLANIFICAÇÃO. VEJA: SE O RAIO DE CADA BASE MEDE 5 CM E O CILINDRO TEM 10 CM DE ALTURA, QUAL É A ÁREA TOTAL DE SUA SUPERFÍCIE?(USE π=3,1) 5) OBSERVE NA FIGURA A PISCINA QUE LEANDRO GANHOU NO DIA DE SEU ANIVERSÁRIO. A)QUAL O VOLUME DA PISCINA, EM LITROS? B) PARA NÃO DERRAMAR ÁGUA PARA FORA, A SUA MÃE COSTUMA ENCHER A PISCINA ATÉ ¾ DA SUA CAPACIDADE. QUANTOS LITROS DE ÁGUA SÃO NECESSÁRIOS? 6) QUAL É O VOLUME APROXIMADO DE UMA LATA DE BATATA? MEÇA A ALTURA E O RAIO DA BASE. 465 CM2 2 M 80 CM 2 512 L menu 1 884 L RESPOSTA PESSOAL Prof. Marcio Sandron

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