Determinantes e Sistemas Lineares parte I Profª Juliana Schivani Laplace (1749 – 1827) Pierre Sarrus (1798 – 1861) Jacobi (1804 – 1851)Cramer (1704 – 1752)

Matilda: 1 calça, 2 camisas e 3 pares de meias. (R$ 156,00) Delta: 2 calças, 5 camisas e 6 pares de meias. (R$ 347,00) Senóide: 2 calças, 3 camisas e 4 pares de meia. (R$ 253,00) Quanto custou cada par de meia?

Lembrete: a ij ij a ij é a forma como representamos um elemento de uma matriz que está na linha i e na coluna j. A m x n mn A m x n é a forma como representamos uma matriz de m linhas e n colunas. A ij a ij. A ij é a forma como representamos os cofatores dos elementos a ij.

Equação Linear a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b a 1, a 2, a 3,..., a n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x 1, x 2,x 3,..., x n, e b é um número real chamado termo independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

Equação Linear xy - 3z + t = 8 x 2 - 4y = 3t – 4 3x - 2y + 4z = 7 -2x + 4z = 3t - y + 4

Sistema Linear Conjunto de duas ou mais equações lineares.

Determinantes É um número especial que está associado a uma determinada matriz quadrada. Permite resolver sistemas lineares e obter inversas de uma matriz. barras Representamos determinantes através de barras.

Cálculo de determinantes Só é possível em matrizes quadradas. Ordem 1: O determinante será o próprio elemento. |3| = 3 |0| = 0 |-123| = -123

Cálculo de determinantes Ordem 2: O determinante será o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. = 13 ∙ 0 – (- 5) ∙ 2 = 10 REGRA DE CRAMER:

Cálculo de determinantes Ordem 3: REGRA DE SARRUS: 1.Repete as duas primeiras colunas; 2.Calcula o produto das diagonais principais; 3. Calcula o produto das diagonais secundárias e inverte o sinal de cada resultado; 4. Soma todos os produtos.

Cálculo de determinantes Ordem 3: D = 29

Cálculo de determinantes Ordem ≥ 2: TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAPLACE: O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. seus respectivos cofatores. D = 0 ∙ A ∙ A ∙ A ∙ A 34 Quanto mais zeros a fileira tiver, melhor!!!

Menor complementar É a matriz que se obtém ao eliminar a linha e a coluna de um elemento previamente escolhido D 12 == 2 ∙ ∙ 1 = 2 Menor complementar do elemento que ocupa a posição 12

Cofator A ij (-1) (i+j) ∙ D ij A ij = (-1) (i+j) ∙ D ij a ij A ij (-1) (i+j) D ij O cofator do elemento a ij é o A ij que se obtém multiplicando (-1) (i+j) pelo seu menor complementar D ij A 22 (-1) (2+2) ∙ D 22 A 22 = (-1) (2+2) ∙ D 22 A 22 (-1) 4 ∙ A 22 = (-1) 4 ∙ A 22 1 ∙ 6 = 6 A 22 = 1 ∙ 6 = 6

Teorema Fundamental de Laplace O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. D = 0 ∙ A ∙ A ∙ A ∙ A 34 A 33 (-1) (3+3) ∙ D 33 A 33 = (-1) (3+3) ∙ D 33 A 33 (-1) 6 ∙ A 33 = (-1) 6 ∙ = 1 ∙ ( ) = 7

Teorema Fundamental de Laplace O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. D = 0 ∙ A ∙ A ∙ A ∙ A 34 A 34 (-1) (3+4) ∙ D 34 A 34 = (-1) (3+4) ∙ D 34 A 34 (-1) 7 ∙ A 34 = (-1) 7 ∙ = - 1 ∙ ( ) = -17

Teorema Fundamental de Laplace O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. D = 0 ∙ A ∙ A ∙ A ∙ A 34 D = 2 ∙ ∙ (-17) D = 14 – 17 D = - 3

P.1) P.1) Se uma fileira = 0, então det = 0 Algumas propriedades P.2) P.2) Se 2 fileiras paralelas são iguais, então det = 0

Algumas propriedades P.3) P.3) det M = det M T P.4) P.4) Se duas fileiras paralelas são proporcionais, então det M = 0

Algumas propriedades P.5) P.5) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem, det (AB) = det A ∙ det B

Algumas propriedades P.7)matriz triangular P.7) Na matriz triangular, o det T = produto da diagonal principal OBS: Matriz triangular é a matriz em que os elementos acima, abaixo ou acima e abaixo da diagonal principal são zeros.

P.8) combinação linear P.8) Se uma fileira é combinação linear das outras fileiras então det M = 0 Algumas propriedades

Revisão: Regra de Cramer Regra de Cramer Regra de Sarrus Regra de Sarrus Teorema Fundamental de Laplace Teorema Fundamental de Laplace Propriedades dos Determinantes Propriedades dos Determinantes

Referências IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar. Vol.04. São Paulo: Atual, 1977.