REVISÃO MD 1ºEE (EC) Assuntos da prova: Lógica Proposicional, Equivalência Proposicional, Predicados e Quantificadores, Quantificadores Aninhados, Regras de Inferência, Conjuntos, Operadores de Conjuntos, Funções, Sequências e Somatórios.

Lógica e Prova Proposição (p, q, ...): T ou F

Lógica e Prova Tautologia: proposição composta sempre verdadeira Contradição: proposição composta sempre falsa Proposições compostas ( φ, Ψ) são logicamente equivalentes (φ ≡ Ψ) se (φ Ψ) for uma tautologia. (p → q) ≡ (¬p v q)

Lógica e Prova Provar que ¬(p ↔ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p) ¬(p ↔ q) ≡ alguma equação [justificativa] ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p) [justificativa]

Exercício 3.){2, 0 pt} Prove que ((r ∨ s) ↔ q) ≡ (((¬r ∧ ¬s) ∨ q) ∧ (¬q ∨ (r ∨ s)))

Lógica e Prova Quantificadores: ∀xP(x) = “Para todo x do domínio, P(x) é T” ∀xP(x) é F se houver pelo menos um elemento y do domínio tal que P(y) seja F ∃xP(x) = “Existe pelo menos um x do domínio tal que P(x) é T” ∃xP(x) é F se P(x) for falso para todos elementos do domínio.

Lógica e Prova Lei de De Morgan: Quantificador Aninhado: ¬∀xP(x) ≡ ∃x¬P(x) ¬∃xP(x) ≡ ∀x¬P(x) Quantificador Aninhado: ∀x∃y(x + y = 0)

Regras de inferência não podem ser aplicadas a Lógica e Prova Implicação Lógica: (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn) → q Dadas as premissas p1, p2, p3, conclua q. 1. p1 [Premissa] 2. p2 [Premissa] 3. p3 [Premissa] 4. . . . [Justificativa] 5. . . . [Justificativa] 6. . . . [Justificativa] 7. q [Justificativa] Regras de inferência não podem ser aplicadas a subfórmulas.

Conjuntos É uma coleção desordenada de objetos. Propriedades: {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4} = {4, 3, 1, 2, 1, 3} Propriedades: { a | a ∈ A } = A relaciona o elemento ‘a’ com o conjunto A; A = B se, e somente se, ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B); P(a) ≡ a ∈ { x | P(x)}* onde P(x) é uma proposição. Exemplo: Seja P(x) = x >10 temos que P(100) ≡ 100 ∈ { x | P(x)} *conjunto contendo todos elementos x, tal que P(x) seja verdade

Conjuntos Conjunto Vazio (∅) SubConjuntos: ∅ ⊆ A Notações: ∅ ou { } A ⊆ B relaciona o conjunto A com o conjunto B Se A ⊆ B e A ≠ B, então A é subconjunto próprio de B denotado por A ⊂ B.

Conjuntos Cardinalidade (|A|) Conjunto das Partes É o número de elementos distintos de A. |∅| = 0 |{5, 2, 89}| = 3 Conjunto das Partes É o conjunto que contém todos os subconjuntos de A. Notação: P(A) P({0, 1, 2}) = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}

Conjunto Dicas Conjuntos são comparados com = Proposições são comparadas com ≡ 2 ∈ {1, 2, 3} ? 4 ∈ {1, 2, 3} ? {1, 2} ∈ {1, 2, 3} ? {1, 2} ∈ {{1,2}, {3, 4}, {5, 6}} ? 1 ∈ {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} ? A = B se, e somente se, ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B) V F F V F

Tuplas É uma coleção ordenada de objetos. Produto Cartesiano É o conjunto de todos os pares de (a, b) A x B = {(a, b) | (a ∈ A) ^ (b ∈ B)} Propriedades: A x ∅ = ∅ x A = ∅ A x B é, em geral, diferente de B x A A x B = B x A se, e somente se,... A = ∅ B = ∅ C = ∅

Tuplas vs. Conjunto Não permite repetições Permite repetições A quantidade de elementos importa A quantidade de elementos não importa A ordem importa A ordem não importa

Conjuntos Operadores de Conjuntos:

Conjuntos Operadores de Conjuntos: A – B Complemento de A

Exercício 1) Seja CANDIDATOS = {Aécio, Dilma, Marina} A = CANDIDATOS × CANDIDATOS B = {{x, y} | (x ∈ CANDIDATOS) ∧ (y ∈ CANDIDATOS) ∧ (x ≠ y)} C = {(x, y) | (x ∈ CANDIDATOS) ∧ (y ∈ CANDIDATOS) ∧ (x ≠ y)} Qual deles descreve melhor o conjunto (coleção) das possíveis disputas 2º turno das eleições presidenciais de 2014?

Exercício 2) {2, 0 pt} Dadas as premissas a ≥ 10 e a ≤ 100, conclua que: a ∈ {x | ((x ≥ 10) ∨ (x = 0)) ∧ ((x ≤ 100) ∨ (x = 0))}.

Funções f : A → B A = Domínio B = Contradomínio F(x) = y Y = imagem

Funções Injetiva Sobrejetiva: Bijetiva

Funções Função Inversa Função Composta g : A → B e f : B → C Só bijetivas Função Composta g : A → B e f : B → C (f ◦ g)(a) = f (g(a))

Funções Chão (Floor) Teto (ceiling)

Exercícios 3) Seja f : Z → Z a função f(x) = ⌈x⌉. Desenhe o gráfico de f no eixo cartesiano (basta desenhar no intervalo do domínio [−2, +2]).

Exercícios 4) (PM Piauí 2009 – Nucepe) Considerando o conjunto universo U = {2, 4, 6, 8, 10} e os conjuntos não-vazios A e B, subconjuntos de U, tais que B ⊂ A, A U B = {6, 8, 10} e A ∩ B = {8}, pode afirmar, CORRETAMENTE, que A é: a) {6,8,10} b) {4,6} c) {4,6,8} d) {2,6,10} e) {6,8}